高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.6利用导数研究不等式恒(能)成立问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.6利用导数研究不等式恒(能)成立问题(精讲)(原卷版+解析)，共18页。

【知识储备】
1.恒成立与能成立问题的解决策略大致分四类：
= 1 \* GB3 ①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
= 4 \* GB3 ④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．
【题型精讲】
【题型一 端点效应处理不等式求参】
例1 (2023·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝ex－eq \f(1,2)x2－ax－1，g(x)＝csx＋eq \f(1,2)x2－1．
(1)当a＝1时，求证：当x≥0时，f(x)≥0；
(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
【题型精练】
1．(2023·天津·崇化中学期末）设函数f(x)＝(1－x2)ex．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．
2. (2023·山东济南高三期末）设函数f (x)＝(1＋x－x2)ex(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当x≥0时，f (x)≤ax＋1＋2x2恒成立，求实数a的取值范围．
【题型二 分离参数法处理不等式求参】
方法技巧 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
例2 (2023·山东青岛高三期末）已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
【题型精练】
1．(2023·天津市南开中学月考）已知函数f(x)＝ex＋ax2－x．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥ eq \f(1,2)x3＋1，求a的取值范围．
2. (2023·安徽省江淮名校期末）已知函数f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围．
【题型三 最值法处理不等式求参】
方法技巧 最值法处理不等式求参
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
例3 (2023·河南高三期末）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
【题型精练】
1．(2023·广东·高三期末）已知a∈R，设函数f(x)＝aln(x＋a)＋lnx．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤＋lneq \f(x,a)－1恒成立，求实数a的取值范围．
【题型四 同构法处理不等式求参】
例4 (2023·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）已知函数f(x)＝eax－x．
(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)≥eaxln x－ax2对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围．
【题型五 双变量不等式求参】
例5 (2023·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数f(x)＝eq \f(a＋1,x)＋aln x，其中参数a