高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第08课时直线与双曲线的位置关系(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第08课时直线与双曲线的位置关系(原卷版+解析)，共38页。
【回归教材】
1.直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
2.直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
=
或
3.双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化
【典例讲练】
题型一 直线与双曲线位置关系
【例1-1】已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【例1-2】若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习1-1】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【练习1-2】直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型二 双曲线的弦长
【例2-1】过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________.
【例2-2】求直线被双曲线截得的弦长.
归纳总结：
【练习2-1】已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【练习2-2】设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
题型三 中点弦问题
【例3-1】双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.
【例3-2】已知双曲线的实轴长为2，一条渐近线方程为
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程．
归纳总结：
【练习3-1】已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
题型四 直线与双曲线的综合应用
【例4-1】直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【例4-2】已知双曲线，过点的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
归纳总结：
【练习4-1】设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
【练习4-2】已知双曲线C的方程为，离心率为，右顶点为(2，0)
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线C的一支交于两点，求的取值范围．
【完成课时作业（五十七）】
【课时作业（五十七）】
A组 基础题
1．直线与双曲线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
2．已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
3．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．【多选题】已知双曲线，则下列说法正确的（ ）
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．直线被双曲线C截得的弦长为
D．直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
6．已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.
7．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______．
8．已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．
9.已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与一条渐近线平行.
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
B组 能力提升
1．【多选题】已知双曲线，的左右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．的面积为 D．的面积为1
2．若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为______．
3．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③．
第 8 课时 直线与双曲线的位置关系
编写：廖云波
【回归教材】
1.直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
2.直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
=
或
3.双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化
【典例讲练】
题型一 直线与双曲线位置关系
【例1-1】已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【解析】联立方程组消去y，并依x聚项整理得：(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ①
(1)当1－k2=0即k=±1时，方程①可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，
故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).
(2)当1－k2≠0时，即k≠±1，此时有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，
则k∈，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.
(3)若4－3k2=0(k2≠1)，则k=±，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).
(4)若4－3k2