专题02 复数的几何意义（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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复数是人类理性思维的演绎成果，它的产生首先是因为数学家解决数学自身问题的需要，在很长的一段时间内，人们并不清楚它与现实世界到底有怎样的联系；后来，数学家建立了复数与向量，即复数与几何的关联，在大学学习力学和电磁学时，会看到复数在其中的重要作用，复数在数学及其他科学领域中也越来越体现出它的重要性；现在，复数已经成为数学工作者与许多领域的科技人员熟练掌握并广泛应用的基本数学工具；
一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
9.1 复数及其四则运算
9.1.1复数的引入与复数的四则运算；9.1.2复数的实部、虚部与共轭；
9.2 复数的几何意义
9.2.1复平面与复数的坐标表示；9.2.2复数的向量表示；9.2.3复数加法的平行四边形法则；9.2.4复数的模
9.3 实系数一元二次方程
9.3.1实数的平方根；9.3.2实数系一元二次方程；
*9.4 复数的三角形式
9.4.1复数的三角形式；
9.4.2三角形式下复数的乘除运算；9.4.3三角形式下复数的乘方与开方
【本章内容提要】
复数是我们继自然数、整数、有理数和实数的学习之后，新认识的一种数.
1、复数系与相关概念
（1）虚数单位，满足.
（2）复数的代数形式：（）.
（3）复数的相等：（）的充要条件是同时为；
复数（）的充要条件是且.
（4）复数的实部与虚部：复数（）的实部是，虚部是；
虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虛数.；
（5） 复数的共轭：复数（）的共轭复数是；
（6）复数的模：复数（）的模是；
复数的模有如下性质：对、、，
，；；；（复数的三角不等式）.
2、复数的四则运算
（1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果：设
；．
（2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果：设，
.
本质：化简分式.
（3）复数模对乘、除的分配性：复数积（商）的模等于模的积（商）：设
；（）.
3、复数的坐标表示
（1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虛轴.
（2）复数的坐标表示与向量表示：复数（）可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示.
（3）复数模的几何意义：复数（）的模等于点与原点的距离，也等于向量的模.
（4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量.
（5）两复数差的模的几何意义：两复数、差的模是这两个复数在复平面上对应点、之间的距离，即.
4、实系数一元二次方程
给定方程（，），并令为其判别式，则
（1）当时，方程有两个不相等的实根；
（2）当时，方程有两个相等的实根（二重根）
（3）当时，方程有一对共轭虛根
*5、复数的三角形式
（1）复数的辐角：设复数对应复平面上的点，则以原点为顶点、轴的正半轴为始边、射线为终边的角称为的辐角，记作；满足的辐角称为的辐角主值，记为.
（2）复数的三角形式：设复数的模为，辐角为，则，复数的这种表示形式称为它的三角形式.（3）三角形式下复数的乘法与除法公式：给定三角形式的复数与，则
，（）.
（4）三角形式下复数的乘方与开方公式：给定三角形式的复数，则对任何正整数，有：；
的次方根，；
1、复平面及其相关概念
复平面的有关概念：在平面上建立直角坐标系，以坐标为的点表示复数，
就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面叫做复平面；
在复平面上，轴上的点具有形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把轴叫做实轴；
同理，轴上的点（除坐标原点外）都对应纯虚数， 所以把轴叫做虚轴
坐标原点表示实数；
【特别提醒】（1）虚轴上的原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数；故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；
（2）复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，这就是复数的一种几何意义，也是复数的另一种表示方法，即几何表示法；
2、共轭复数的“数、形”特征
共轭复数和在复平面上所对应的点和关于轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭；
特别地，如果，即是实数，则，此时、在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点；
【典例】
3、 复数、点与向量“三者”间的对应
复数一一对应复平面内的点；
复数一一对应平面向量；
因此，复数、复平面内的点和平面向量
之间的关系可用右图表示.
为方便起见，常把复数说成点或向量；
【规定】1、相等的向量表示同一个复数；
2、本质：建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系；
3、应用：通过两种对应关系的建立，可以直观、有效地表示复数，便于理解复数的意义；
4、复数加、减法的几何意义
（1）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行；
设复数对应的向量分别为，四边形为平行四边形，
则与对应的向量是，与对应的向量是;
（2）实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算 (数形结合)；
（3）应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目；
5、 复数的模
1、复数，对应的向量为，则向量的模叫作复数的模(或绝对值)，
2、记作：；
3、由模的定义可知：；
4、复数模的几何意义是：复数对应复平面上的点到原点的距离；
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
（1）a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
（2）|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
6、复数模的性质
①；②；③；
④；⑤；
⑥；
7、复平面上两点间距离公式
设、是复平面上的两个点，
其对应的复数、，则由平面上两点间距离公式可知：
题型1、准确把握复数与点的对应
例1、（1）当实数m分别取何值时，在复平面内，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点Z满足下列条件？
①在x轴上方；②在实轴负半轴上；
（2）在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：
①在虚轴上；②在第二象限；③在y＝x的图象上，分别求实数m的值或取值范围．
【说明】1、复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义；
2、利用复数与点的对应关系解题的步骤：①找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据；②列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解；
题型2、理解与会用复数与平面向量的对应
例2、（1）若O为复平面的原点，向量eq \(OZ1,\s\up6(—→))对应的复数是5－4i，向量eq \(OZ2,\s\up6(—→))对应的复数是－5＋4i，则eq \(OZ1,\s\up6(—→))＋eq \(OZ2,\s\up6(—→))对应的复数是（ ）
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
（2）在复平面内，把复数1＋i对应的向量按逆时针方向旋转180°，则所得向量对应的复数为___________
【说明】复数与平面向量的对应关系：
1、根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；
2、解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化；
题型3、复数的模及其计算
例3、（1）求复数z1＝6＋8i及z2＝－eq \f(1,2)－eq \r(2)i的模，并比较它们模的大小；
【说明】1、计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算；2、两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；
（2）已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求：复数z；
【说明】1、定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值；2、记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|；3、公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)；
题型4、复数的模与点的轨迹的交汇
例4、（1）已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形（ ）
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
（2）已知复数z1＝eq \r(3)＋i，z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
①求|z1|及|z2|并比较大小；
②设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
题型5、共轭复数的几何特征
例5、（1）如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ）
A．A B．B
C．C D．D
（2）复数eq \x\t(z)＝1＋eq \r(3)i和z＝1－eq \r(3)i在复平面内的对应点关于（ ）
A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称
【说明】共轭复数和在复平面上所对应的点
和关于轴对称；
反之，如果复平面上的两个点关于轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭；
特别地，如果，即是实数，则，此时、在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点；
题型6、共轭复数模的性质及其应用
例6、（1）设，则=（ ）
A．2 B．C． D．1
（2）若，则________.
【说明】复数模的性质：
①；②；③；
④；⑤；
⑥；
【重要结论】
（1）一个重要的复数等式：;
（想一想：如何推导）
（2）一个重要的复数不等式：;
（想一想：等号成立条件）
题型7、复数加法（减法）的几何意义
例7、如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i；
求：
（1）eq \(AO,\s\up6(→))对应的复数；（2）eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数；（3）eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数及|eq \(OB,\s\up6(→))|的长度；
【说明】复数与向量的对应关系的两个关注点：
（1）复数z＝a＋bi(a，b∈R)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应；
（2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变；
题型8、利用代数方法求复数模的最值
例8、（1）已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2) D．1
（2）已知复数z满足eq \f(z－1,z＋1)是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________.
题型9、利用复数模的几何意义求最值
例9、（1）设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2eq \r(2)＋i|的最大值是( )
A．3 B．2eq \r(3)
C．1＋2eq \r(2) D．4
（2）如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B．eq \f(1,2)
C．2 D．eq \r(5)
【说明】两个复数差的模的几何意义
1、|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
2、|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
3、涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
题型10、利用复数模的几何意义求最值
例10、（1）△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
（2）已知复数z1＝eq \r(3)－i，z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
①求|eq \(z1,\s\up6(－))|，|eq \(z2,\s\up6(－))|的值并比较大小；
②设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．
1、已知复平面内的向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数分别是－2＋I，3＋2i，则|eq \(OB,\s\up6(→))|＝________.
2、若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________．
3、若复数z对应的点在y＝2x的图象上，且|z|＝eq \r(5)，则复数z＝________________.
4、已知复数z对应的向量为Oeq \(Z,\s\up8(→))(O为坐标原点)，Oeq \(Z,\s\up8(→))与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为
5、已知O为坐标原点，eq \(OZ,\s\up8(→))1对应的复数为－3＋4i，eq \(OZ,\s\up8(→))2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若eq \(OZ,\s\up8(→))1与eq \(OZ,\s\up8(→))2共线，则a的取值为
6、已知集合M＝{z||z＋1|＝1}，集合N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝
7、设复数z满足|z－i|＝|z＋i|，i为虚数单位，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论一定正确的是( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x＝0 D．y＝0
8、设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cs B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9、已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
10、在复平面内，O是原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的复数为2＋i.
（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数；
（2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．