2024内蒙古中考数学二轮专题复习 二次函数与几何综合题 类型五 与角度有关的问题（课件）

这是一份2024内蒙古中考数学二轮专题复习 二次函数与几何综合题 类型五 与角度有关的问题（课件），共28页。PPT课件主要包含了例1题图，例2题图，例3题图，例4题图①，例4题解图，例4题图③等内容，欢迎下载使用。
例1　如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(1，0)，点A在第一象 限，且AB⊥x轴于点B，若∠AOB＝30°，则点A的坐标为___________.
例2　如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(2，0)，点P为直线y＝1上一点，若∠APB＝90°，则点P的坐标为 ________________________________．
例3　如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，点C为直线AB上一点， (1)当OC平分∠AOB时，点C的坐标为_____________； (2)当∠ACO＝∠AOB时，点C的坐标为____________； (3)当∠OCB＝2∠A时，点C的坐标为__________________．
1. 若所求角度为90°，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；2. 若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解；3. 若探究角度之间的等量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解直角三角形求解．
例4 如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋3 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为M，对称轴与x轴交于点E.
(1)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得∠CPB＝90°，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】要使得∠CPB＝90°，根据等角的余角相等，从而过点C作ME的垂线，构造相似三角形，列比例式并求解，或设出点P的坐标，利用坐标表示出线段长，利用勾股定理列等式求解．
∴∠CPT＋∠EPB＝90°.∵∠CTP＝90°，∴∠TCP＋∠CPT＝90°，
∴∠EPB＝∠TCP.∵∠CTP＝∠PEB＝90°，∴△CTP∽△PEB， ∴ 即 ， 当e＜0或e＞3 时，
整理得e2－3 e－18＝0，解得e1＝ ，e2＝ 当0＜e＜3 时，整理得e2－3 e＋18＝0，方程无解， 综上所述，点P的坐标为(3， )或(3， )；
(2)已知点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使得∠PCB＝∠PBC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】由∠PCB＝∠PBC可知，点P为线段BC的垂直平分线与抛物线的交点，作线段BC的垂直平分线SL，利用待定系数法求出SL的解析式，联立即可求得点P的坐标．
如解图，过点S作SL⊥BC，交x轴于点L，交抛物线于点P，连接AC，此时点P即为所求，∵OC＝3 ，OA＝3，OB＝9，∴AC＝6，BC＝6 ，则∠ACO＝∠CBO＝30°，BS＝ BC＝3 ， ∴ ＝6， ∴OL＝OB－BL＝9－6＝3，则点L的坐标为(3，0)，设直线SL的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，
将点L，S的坐标代入， 得 解得∴直线SL的解析式为y＝ x－3 ， 联立 解得 或综上所述，点P的坐标为(6，3 )或(－9，－12 )；
(3)点P是抛物线上一个动点，连接MP，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，若∠MPQ＝2∠PME，求点P的坐标；
【思维教练】由点P的位置不确定，可分点P在点Q下方和点P在点Q上方两种情况进行讨论，当点P在点Q下方时，∠PME＝∠MPQ，不符合题设条件，排除，当点P在点Q上方时，由已知易得PQ∥ME，∠MPQ＋∠PME＝180°，进行求解即可．
(3)∵ME∥y轴，PQ∥y轴，∴ME∥PQ.
①如解图，当点P在点Q的下方时，∠PME＝∠MPQ，此时不符合题设条件；
②如解图，设ME交BC于点F，当点P在点Q的上方时，∠PMF＋∠MPQ＝180°，∵∠MPQ＝2∠PMF，∴∠PMF＝60°.当点P在点M的右侧时，由(2)知，∠CBO＝30°，∴∠BFE＝60°，
∴∠PMF＝∠BFE，∴MP∥FQ.易得直线BC的解析式为y＝－ x＋3 ， ∴设直线MP的解析式为y＝－ x＋p， 将x＝3代入抛物线方程，得M(3，4 )， 将点M(3，4 )代入，得－ ×3＋p＝4 ，解得p＝5 ，
∴直线MP的解析式为y＝－ x＋5 ， 联立 解得 ， (舍去) 此时点P的坐标为(6，3 )；
③如解图，当点P在点M的左侧时，延长MP交x轴于点K，则∠MKE＝30°，∠KME＝60°，
∴KE＝ ME＝4 × ＝12，∴KO＝KE－OE＝9，∴点K的坐标为(－9，0)，易得直线MK的解析式为y＝ x＋3 ，∴直线MK与抛物线的交点为点C和点M，即此时点P和点C、Q重合，∠MPQ不存在，∴舍去．
综上所述，点P的坐标为(6，3 )；
(4)点P为y轴上一点，连接BP，是否存在点P使得∠OBC＋∠OBP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】根据∠OBC＋∠OBP＝45°可知作线段BC的垂线，构造等腰直角三角形可求出PD的长，再根据面积公式求出点P的坐标，最后根据对称性可求得另外一点坐标．
∵∠PBD＝45°， ∴PD＝ PB＝ ∵S△BCP＝ BC·PD＝ OB·CP， ∴ ×6 × ＝ ×9×(3 －n)， 化简得n2－18 n－81＝0， 解得n1＝9 ＋18(舍去)，n2＝9 －18，∴P(0，9 －18)；
如解图，作点P关于x轴的对称点P1，则∠OBP＝∠OBP1，∴∠OBP1＋∠OBC＝45°，OP1＝OP＝18－9 ，∴P1(0，18－9 )．
综上所述，点P的坐标为(0，9 －18)或(0，18－9 )．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2－2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝－ x＋b经过点A，与y轴交于点B，连接OM.(1)求b的值及点M的坐标；
∵直线y＝－ x＋b经过点A，∴－3＋b＝0，∴b＝3；
(2)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx＋n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求证：∠ADM－∠ACM＝45°；
如解图，过点D作DH⊥CM于点H，设直线DH的解析式为y＝2x＋k，将点D(2，0)代入，得4＋k＝0，∴k＝－4，∴直线DH的解析式为y＝2x－4. 联立 解得∴H(1，－2)．∵D(2，0)，H(1，－2)，
∴DH＝ .∵M(3，－3)，D(2，0)，∴DM＝ ，∴sin∠DMH＝∴∠DMH＝45°.∵∠ACM＋∠DMH＝∠ADM，∴∠ADM－∠ACM＝45°；
(3)点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G.当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
∵GP∥EQ， ∴ 设GP＝4K，EQ＝3K，则OP＝GP＝4K，PF＝8K，FQ＝AQ＝6K，∴OF＝AF＝12K＝3，∴K＝ ，∴OF＝3，FQ＝AQ＝ ，EQ＝ ， ∴OQ＝ ，