中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题23解答题重点出题方向反比例函数与几何综合专项训练(原卷版+解析)

这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题23解答题重点出题方向反比例函数与几何综合专项训练(原卷版+解析)，共72页。试卷主要包含了2022中考真题集训，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。
1．(2023•镇江）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B．
（1）k＝ ，b＝ ；
（2）连接并延长AO，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
2．(2023•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
3．(2023•安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（4，0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于C，P（﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
4．(2023•济南）如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
5．(2023•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且CDDO=34，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
6．(2023•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
7．(2023•大庆）已知反比例函数y=kx和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b+k3）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数y=13x，y＝3x的图象分别与函数y=kx（x＞0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
8．(2023•湖北）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y=k1x（x＞0）和y=k2x（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C，D分别在函数y=k1x（x＞0）和y=k2x（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．
9．(2023•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y=8x（x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．
10．(2023•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为410，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
11．(2023•苏州）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为72时，求a的值．
12．(2023•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．
13．(2023•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y=kx（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
14．(2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=2x（x＜0）、y2=kx（x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）求点A的横坐标；
（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．
15．(2023•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=nx的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．
模块二 2023中考押题预测
16．(2023•开封二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数y=nx（n≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交于点A（1，m），B（﹣3，﹣1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出kx+b＞nx的解集；
（3）已知直线AB与y轴交于点C，点P（t，0）是x轴上一动点，作PQ⊥x轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值．
17．(2023•裕安区校级一模）如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0）．CD边所在直线y1＝mx+n与x轴交于点C，与双曲线y2=kx（x＜0）交于点D．
（1）求直线CD对应的函数解析式及k的值．
（2）当x＜0时，使y1﹣y2≤0的自变量x的取值范围为 ．
18．(2023•林州市一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为（2，4），点M是AB的中点，反比例函数y=kx的图象经过点M，交CD于点N．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数图象上的一个动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），求△POC面积的最小值．
19．(2023•槐荫区二模）如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点A坐标为（1，0），点D坐标为（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD中点M，连接BE、EF、EM、FM．
（1）当t＝1时，求点F的坐标．
（2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？
（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？
20．(2023•礼县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点B、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
21．(2023•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．若点D的坐标为（4，n）．
（1）求反比例函数y=kx的表达式．
（2）设点E是x轴上一动点，若△CEB的面积等于6，求点E的坐标．
22．(2023•台山市校级一模）如图，矩形OABC的边AB、BC分别与反比例函数y=4x的图象相交于点D、E，OB与DE相交于点F．
（1）若点B的坐标为（4，2），求点D、E、F的坐标；
（2）求证：点F是ED的中点．
23．(2023•太康县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点M、N，且M为AB的中点，点B（4，3）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求△MON的面积．
24．(2023•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy中，函数y=kx（其中x＜0）的图象经过平行四边形ABOC的顶点A，函数y=8x（其中x＞0）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，△AOC的面积为6．
（1）求k的值；
（2）求直线AB的解析式．
25．(2023•香洲区校级三模）如图，已知反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若BD＝3OC，求直线BC的解析式；
（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
26．(2023•金凤区校级一模）如图，点A的坐标为（0，4），BA＝OA，BA⊥y轴，反比例函数（x＜0）的图象经过点B，点C在线段AB上运动（不与点A，B重合），过点C作DE⊥x轴于点E，交反比例函数图象于点D，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE，连接OC，FC，BD，且点C为线段AB的中点．
（1）求k的值；（2）求证：OC＝BD．（3）求直线CF的解析式．
27．(2023•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）．
（1）直接写出这个反比例函数的表达式 ；
（2）若△ABC与△EFG关于点M成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①直接写出OF的长 、对称中心点M的坐标 ；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．
28．(2023•婺城区校级模拟）如图，点A是反比例函数y=kx（k＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC⊥x轴于点C．M为是线段AC的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、D两点．顺次连接A、B、C、D．设点A的横坐标为t．
（1）求点B的坐标（用含有k、t的代数式表示）．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
（3）若△ABM的面积为8，当四边形ABCD是正方形时，求直线AB的函数表达式．
29．(2023•中阳县模拟）如图，反比例函数y=kx的图象与矩形OABC交于点E、D，已知点E的坐标是（45，52），点D是AB的中点．
（1）求函数y=kx的函数解析式．
（2）求矩形OABC的面积．
30．(2023•济南一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线，将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）求tan∠COF的值及反比例函数表达式．
（2）在x轴上是否存在一点M，使|MF﹣MG|的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形，请直接写出OP的长．
31．(2023•岳麓区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣6与x轴交于点B，与y轴交于点A，与双曲线y=ax（x＞0）交于点C（4，b），点P是双曲线上的动点，横坐标为m（0＜m＜4），作PQ∥y轴交直线AB于点Q，连接PO、QO．
（1）求a、b的值；
（2）求△OPQ的面积S与m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）当四边形AOPQ为平行四边形时，连接PC，并将直线PC向上平移n个单位后与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于M、N两点，与直线AB交于点T，设M、N、T三点的横坐标分别为xM、xN、xT，是否存在正实数n使得等式1xM+1xN=9xT成立，如果存在，求出n的值，如果不存在，请说明理由．
32．(2023•兴庆区校级三模）如图，Rt△ABC的边BC在x轴上，点O为BC的中点，点A的坐标为（3，23），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A，将△ABC沿x轴x向右平移得到△A′B′C′，A′C′与反比例函数的图象交于点D，连接B′D．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）在平移过程中，当△A′DB′∽△ABC时，求点D的坐标．
33．(2023•兴庆区校级一模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（−32，0），与反比例函数y=kx（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标以及反比例函数的解析式．
（3）求矩形ABCD的面积．
34．(2023•海珠区校级二模）如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，OA＝2，AB＝4．双曲线y=kx（k＞0）与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．
（1）若点E是AB的中点，求点F的坐标；
（2）将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作EG⊥OC于点G．问：△EGD与△DCF是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．
35．(2023•余姚市模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），C坐标为（2，m）（m＞0），双曲线y1=k1x上经过点C，直线CD：y2＝k2x+b在经过点C交y轴于点D，与双曲线的另一分支相交于点P（﹣4，﹣1）．
（1）分别求双曲线y1=k1x和直线y2＝k2x+b的函数关系式；
（2）判断点B是否在双曲线上；
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
专题23 解答题重点出题方向反比例函数与几何综合专项训练（解析版）
模块一 2022中考真题集训
1．(2023•镇江）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B．
（1）k＝ 4 ，b＝ 2 ；
（2）连接并延长AO，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
思路引领：（1）将点A（1，4）分别代入反比例函数y=kx（k≠0）和一次函数y＝2x+b的解析式中，求解即可；
（2）根据题意，需要分类讨论：当点D落在y轴的正半轴上，当点D落在y轴的负半轴上，△COD∽△AOB或△COD∽△BOA，依次根据比例关系，求解即可．
解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数y=kx（k≠0）的解析式中，
∴k＝1×4＝4；
将A（1，4）代入一次函数y＝2x+b，
∴2×1+b＝4，
解得b＝2．
故答案为：4；2．
（2）当点D落在y轴的正半轴上，
则∠COD＞∠ABO，
∴△COD与△ABO不可能相似．
当点D落在y轴的负半轴上，
若△COD∽△AOB，
∵CO＝AO，BO＝DO＝2，
∴D（0，﹣2）．
若△COD∽△BOA，则OD：OA＝OC：OB，
∵OA＝CO=17，BO＝2，
∴DO=172，
∴D（0，−172），
综上所述：点D的坐标为（0，﹣2），（0，−172）．
总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的系数，三角形相似的性质，解题的关键根据相似三角形的性质进行分类讨论．
2．(2023•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
思路引领：（1）设点A的坐标为（m，8m），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，4m），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH=12AD，设点A的坐标为（m，8m），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．
解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，8m），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC=12AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，4m），
∵2m×4m=8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH=12AD，
设点A的坐标为（m，8m），
∴CH＝m，AD=8m，
∴m=12×8m，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，
2k+b=4b=2
∴k=1b=2；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴2a+n=04a+n=2，
∴a=1n=−2，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．
总结提升：本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．(2023•安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（4，0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于C，P（﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
思路引领：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y=kx可得反比例函数的解析式为y=16x，即得m=164=4；
（2）连接AC，BD交于H，由C（4，4），P（﹣8，﹣2）得直线CD的解析式是y=12x+2，即得D（0，2），根据四边形ABCD是菱形，知H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），设B（p，q），有p+02=4q+22=2，可解得B（8，2），从而可知B在反比例函数y=16x的图象上．
解：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y=kx得：
﹣2=k−8，
解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y=16x，
∵C（4，m）在反比例函数y=16x的图象上，
∴m=164=4；
∴反比例函数的解析式为y=16x，m＝4；
（2）B在反比例函数y=16x的图象上，理由如下：
连接AC，BD交于H，如图：
把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：
4a+b=4−8a+b=−2，
解得a=12b=2，
∴直线CD的解析式是y=12x+2，
在y=12x+2中，令x＝0得y＝2，
∴D（0，2），
∵四边形ABCD是菱形，
∴H是AC中点，也是BD中点，
由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），
设B（p，q），
∵D（0，2），
∴p+02=4q+22=2，
解得p=8q=2，
∴B（8，2），
在y=16x中，令x＝8得y＝2，
∴B在反比例函数y=16x的图象上．
总结提升：本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数法，菱形的性质及应用，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是求出点B的坐标．
4．(2023•济南）如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
思路引领：（1）将点A的坐标代入y=12x+1求得a，再把点A坐标代入y=kx求出k；
（2）先求出A，B，C三点坐标，作CF⊥x轴于F，交AB于E，求出点E坐标，从而求得CE的长，进而求得三角形ABC的面积；
（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y=12x求得点P的横坐标．
解：（1）把x＝a，y＝3代入y=12x+1得，
12a+1=3，
∴a＝4，
把x＝4，y＝3代入y=kx得，
3=k4，
∴k＝12；
（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，
∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，
把y＝6代入y=12x得x＝2，
∴C（2，6），
①如图1，
作CF⊥x轴于F，交AB于E，
当x＝2时，y=12×2+1=2，
∴E（2，2），
∵C（2，6），
∴CE＝6﹣2＝4，
∴S△ABC=12CE⋅xA=12×4×4=8；
②如图2，
当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，
∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，
∴yP＝1+3﹣0＝4，
当y＝4时，4=12x，
∴x＝3，
∴P（3，4），
当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），
由yQ′﹣yB＝yP′﹣yA得，
0﹣1＝yP′﹣3，
∴yP′＝2，
当y＝2时，x=122=6，
∴P′（6，2），
综上所述：P（3，4）或（6，2）．
总结提升：本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．
5．(2023•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且CDDO=34，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
思路引领：（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和勾股定理求出OA＝BC＝AB＝5，然后求出点C的坐标，即可求出解析式；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出OG=167，DG=127，然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可．
解：（1）根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形OABC是菱形，
设点A为（0，m），
∴OA＝BC＝AB＝m，
∵点B为（﹣4，8），
∴BF＝4，AF＝8﹣m，
在直角△ABF中，由勾股定理，则AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，
解得：m＝5，
∴OA＝BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣4，3），
把点C代入y=kx，得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y=−12x(x＜0)；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵CDDO=34，
∴ODOC=47，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴OGOH=DGCH=ODOC=47，
∵点C的坐标为（﹣4，3），
∴OH＝4，CH＝3，
∴OG4=DG3=47，
∴OG=167，DG=127，
∴点D的纵坐标为127，
∵DE∥x轴，
∴点E的纵坐标为127，
∴127=−12x，解得x＝﹣7，
∴点E的坐标为（﹣7，127）．
总结提升：本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练理解题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
6．(2023•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
思路引领：（1）根据解析式求出B点的坐标，根据A点的坐标和B点的坐标得出三角形AOB的面积，根据面积比求出三角形COD的面积，设出C点的坐标，根据面积求出k的值，再用待定系数法求出p即可；
（2）根据C点的坐标得出E点的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可．
解：（1）∵直线y＝px+3与y轴交点为B，
∴B（0，3），
即OB＝3，
∵点A的横坐标为2，
∴S△AOB=12×3×2=3，
∵S△AOB：S△COD＝3：4，
∴S△COD＝4，
设C（m，km），
∴12m•km=4，
解得k＝8，
∵点A（2，q）在双曲线y=8x上，
∴q＝4，
把点A（2，4）代入y＝px+3，
得p=12，
∴k＝8，p=12；
（2）∵C（m，km），
∴E（m，12m+3），
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE＝S△COE，
∵S△BOE=32m，S△COE=m2（12m+3）﹣4，
∴32m=m2（12m+3）﹣4，
解得m＝4或m＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为（4，2）．
总结提升：本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
7．(2023•大庆）已知反比例函数y=kx和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b+k3）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数y=13x，y＝3x的图象分别与函数y=kx（x＞0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）把（3a，b），（3a+1，b+k3）代入y＝x﹣1中，列出方程组进行计算即可解答；
（2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，即△ABP周长最小，先求出A，B两点坐标，从而求出AB的长，
再根据点B与点B′关于y轴对称，求出B′的坐标，从而求出AB′的长，进而求出△ABP周长的最小值．
解：（1）把（3a，b），（3a+1，b+k3）代入y＝x﹣1中可得：
b=3a−1b+k3=3a+1−1，
解得：k＝3，
∴反比例函数的关系式为：y=3x；
（2）存在，
作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，即△ABP周长最小，
由题意得：y=3xy=3x，
解得：x=1y=3或x=−1y=−3，
∴B（1，3），
由题意得：y=3xy=13x，
解得：x=3y=1或x=−3y=−1，
∴A（3，1），
∴AB＝22，
∵点B与点B′关于y轴对称，
∴B′（﹣1，3），BP＝B′P，
∴AB′＝25，
∴AP+BP＝AP+B′P＝AB′＝25，
∴AP+BP的最小值为25，
∴△ABP周长最小值＝25+22，
∴△ABP周长的最小值为25+22．
总结提升：本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．(2023•湖北）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y=k1x（x＞0）和y=k2x（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C，D分别在函数y=k1x（x＞0）和y=k2x（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AGO≌△OHB（AAS），可解答；
（2）根据△COD≌△AOB和反比例函数的对称性可得：B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，可得结论．
解：（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，
∵A（1，4），
∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，
∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠AOG＝∠OBH，
∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，
∴B（4，﹣1），
∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；
（2）存在，
如图2，∵△COD≌△AOB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，﹣4）．
总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数的对称的性质，熟练掌握反比例函数是轴对称图形是解本题的关键．
9．(2023•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y=8x（x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．
思路引领：（1）根据平移的特点和反比例函数的性质解答即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质求出D，F点的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）联立两个函数解析式，根据三角形的面积公式解答即可．
解：（1）过A点作AH⊥BO于H，
∵△ABO是等腰直角三角形，A（m，2），
∴OH＝AH＝2，
∴m＝﹣2，
由平移可得D点纵坐标和A点纵坐标相同，设D（n，2），
∵D在y=8x图像上，
∴n＝4，
∴D（4，2）．
（2）过D作DM⊥EF于M，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFM＝45°，
∴DM＝MF＝2，
由D（4，2）得F（6，0），
设直线DF的表达式为：y＝kx+b，将F（6，0）和D（4，2）代入得：
2=4k+b0=6k+b，
解得：k=−1b=6，
∴直线DF的表达式为y＝﹣x+6．
（3）延长FD交y=8x图像于点G，
y=−x+6y=8x，
解得：x1=4y1=2，x2=2y2=4，
∴G（2，4），
由（1）得EF＝BO＝2HO＝4，
∴S△EFG=12EF•Gy=12×4×4＝8．
总结提升：本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合运用，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解答本题的关键．
10．(2023•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为410，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
思路引领：（1）运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点B的坐标，（也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．）观察图象即可得出x的取值范围；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，可证得△AOE是等腰直角三角形，得出：∠AOE＝45°，OA=2AE＝22，再根据菱形性质可得：AB⊥CD，OC＝OD，利用勾股定理即可求得D（1，﹣1），再根据对称性可得C（﹣1，1），运用待定系数法即可求得菱形的边所在直线的解析式．
解：（1）设反比例函数y2=kx，把A（2，2）代入，得：2=k2，
解得：k＝4，
∴y2=4x，
由y=xy=4x，解得：x1=2y1=2，x2=−2y2=−2，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA=2AE＝22，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为410，
∴AD=10，
在Rt△AOD中，OD=AD2−OA2=(10)2−(22)2=2，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则m+n=−12m+n=2，
解得：m=3n=−4，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y=13x+43，BD所在直线的解析式为y=13x−43．
总结提升：本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质等，难度适中，熟练掌握待定系数法是解题关键．
11．(2023•苏州）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为72时，求a的值．
思路引领：（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据S△CAP＝S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．
解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k=12，
∴y=12x+2，
把A（2，n）代入y=12x+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y=mx，得m＝6，
∴k=12，m＝6；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
∵P（a，0）为x轴上的动点，
∴PC＝|a+4|，
∴S△CBP=12•PC•OB=12×|a+4|×2＝|a+4|，S△CAP=12PC•yA=12×|a+4|×3，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴32|a+4|=72+|a+4|，
∴a＝3或﹣11．
总结提升：本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
12．(2023•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．
思路引领：（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，即可根据A、B坐标证明△AOE≌△BOF（SAS），得到∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，再求出C、D坐标即可得到OC＝OD，即可证明△AOD≌△BOC．
（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），
∴a＝2，
∴将M（2，2）代入y=kx中，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为y=4x，
∵点A（1，m）在y=4x的图象上，
∴m＝4，
∴A（1，4），
由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，
将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；
（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．
由（1）知，反比例函数的解析式为y=4x，
∵点B（n，﹣1）在y=4x的图象上，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
∵A（1，4），
∴AE＝BF，OE＝OF，
∴∠AEO＝∠BFO，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，
由（2）知，b＝3，
∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，
又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C（﹣3，0），D（0，3），
∴OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
OA=OB∠AOE=∠BOFOD=OC，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
总结提升：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
13．(2023•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y=kx（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
思路引领：（1）将A点坐标代入直线l解析式，求出n的值，确定A点坐标，再代入反比例函数解析式即可；
（2）通过已知条件求出直线l′解析式，用△BOC的面积﹣△ACD的面积解答即可．
解：（1）∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y=−3x；
（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），
∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），
设l′：y＝kx+b，则3=−k+b0=2k+b，
解得：k=−1b=2，
∴l′：y＝﹣x+2，
∴l′与y轴的交点为D（0，2），
∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积=12×4×4−12×2×1＝7．
总结提升：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
14．(2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=2x（x＜0）、y2=kx（x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）求点A的横坐标；
（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．
思路引领：（1）把y＝﹣2代入y1=2x（x＜0）即可求得；
（2）求得B（2，k2），即可得到PC＝OQ=k2∴AC＝2+k2，BC＝1+2＝3，然后根据S＝S△ABC﹣S△PQC即可得到结论．
解：（1）∵点A在函数y1=2x（x＜0）的图象上，点A的纵坐标为﹣2，
∴﹣2=2x，解得x＝﹣1，
∴点A的横坐标为﹣1；
（2）∵点B在函数y2=kx（x＞0，k＞0）的图象上，点B的横坐标为2，
∴B（2，k2），
∴PC＝OQ=k2，BQ＝2，
∵A（﹣1，﹣2），
∴OP＝CQ＝1，AP＝2，
∴AC＝2+k2，BC＝1+2＝3，
∴S＝S△ABC﹣S△PQC=12AC•BC−12PC•CQ=12×3×(2+k2)−12×k2×1＝3+12k．
总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出线段的长度是解题的关键．
15．(2023•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=nx的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．
思路引领：（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函数y=nx求出n的值即可得出其函数解析式，再把B（m，﹣1）代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把A，B两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，求出k、b的值即可得出其解析式；
（2）根据已知确定AD的长和点D的坐标，由DC＝2AD可得DC＝6，从而得点C的坐标．
解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y=nx的图象上，
∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴其函数解析式为y=−2x；
∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴﹣m＝﹣2，
∴m＝2，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴−k+b=22k+b=−1，解得k=−1b=1，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，
∴AD＝3，D（2，2），
∵DC＝2DA，
∴DC＝6，
∵点C是直线l上一动点，
∴C（2，8）或（2，﹣4）．
总结提升：本题是反比例的综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，在解答此题时要注意数形结合思想的运用．
16．(2023•开封二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数y=nx（n≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交于点A（1，m），B（﹣3，﹣1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出kx+b＞nx的解集；
（3）已知直线AB与y轴交于点C，点P（t，0）是x轴上一动点，作PQ⊥x轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值．
思路引领：（1）把点B坐标可确定反比例函数关系式，进而确定点A的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的关系式；
（2）由图象的交点坐标以及函数的增减性直接得出答案；
（3）利用点P坐标和三角形的面积公式列方程求解即可．
解：（1）点B（﹣3，﹣1）在反比例函数y=nx的图象上，
∴n＝﹣3×（﹣1）＝3，
∴反比例函数的关系式为y=3x，
当x＝1时，m=31=3，
∴点A（1，3），
把A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y＝kx+b得，
−3k+b=−1k+b=3，
解得k=1b=2，
∴一次函数的关系式为y＝x+2，
答：反比例函数关系式为y=3x，一次函数的关系式为y＝x+2；
（2）由图象可知，不等式kx+b＞nx的解集为x＞1或﹣3＜x＜0；
（3）一次函数的关系式为y＝x+2与y轴的交点C（0，2），即OC＝2，
当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2，
即S△COP+S△POQ＝2，而S△POQ=12|k|=32，
∴12×|t|×2+32=2，
即|t|=12，
∴t=±12
因此t=±12时，使以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2．
总结提升：本题考查一次函数、反比例函数图象的交点坐标，利用待定系数法求函数关系式以及由函数关系式求交点坐标是解决问题的关键．
17．(2023•裕安区校级一模）如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0）．CD边所在直线y1＝mx+n与x轴交于点C，与双曲线y2=kx（x＜0）交于点D．
（1）求直线CD对应的函数解析式及k的值．
（2）当x＜0时，使y1﹣y2≤0的自变量x的取值范围为 ﹣5≤x＜0 ．
思路引领：（1）根据勾股定理求得AB的长，进而求得D、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线CD的函数表达式及k的值；
（2）根据函数的图象即可求得使y1≤y2的自变量x的取值范围，即可得到结论．
解：（1）∵点A（0，3），点B（4，0），
∴AO＝3，BO＝4．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=32+42=5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝BC＝AB＝5，
∴OC＝5﹣4＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（﹣5，3）．
∴对于直线y1＝mx+n，有−m+n=0−5m+n=3，
解得m=−34n=−34，
∴y=−34x−34
∵双曲线y2=kx（x＜0）交于点D，
∴k＝﹣5×3＝﹣15；
（2）由图象可知，当﹣5≤x＜0时，y1≤y2，
所以，当x＜0时，使y1﹣y2≤0的自变量x的取值范围为﹣5≤x＜0，
故答案为﹣5≤x＜0．
总结提升：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式等；求得D、C的坐标是解题的关键．
18．(2023•林州市一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为（2，4），点M是AB的中点，反比例函数y=kx的图象经过点M，交CD于点N．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数图象上的一个动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），求△POC面积的最小值．
思路引领：（1）先确定点M的坐标，再把点M点的坐标代入y=kx中求出k得到反比例函数解析式；
（2）利用正方形的性质确定点C的坐标为（6，0），再利用反比例函数解析式确定点N的坐标为（6，23），利用反比例函数的性质得到当m＝6时，n有最小值23，然后计算出△POC面积的最小值．
解：（1）∵点A坐标为（2，4），
∴OB＝2，AB＝4，
∵M是AB的中点，
∴点M的坐标是（2，2），
把点M（2，2）代入y=kx得k＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y=4x；
（2）∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（2，4），
∴点C的坐标是（6，0），
当x＝6时，y=4x=46=23；
∴点N的坐标是（6，23），
∵反比例函数y=4x图象上的动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），
∴n随m的增大而减少，且2≤m≤6，
∴当m＝6时，n有最小值23，
∴△POC面积的最小值为12×6×23=2．
总结提升：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx（k为常数，k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数的性质和正方形的性质．
19．(2023•槐荫区二模）如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点A坐标为（1，0），点D坐标为（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD中点M，连接BE、EF、EM、FM．
（1）当t＝1时，求点F的坐标．
（2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？
（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？
思路引领：（1）由题意可得点E（1，2），可得双曲线解析式：y=2x，即可求点F坐标；
（2）由平行线的性质和角平分线的性质可得EF＝BF＝1，即可求t的值；
（3）延长EM，BC交于点N，由“AAS”可证△DEM≌△CNM，可得EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，由“SAS”可证△EMF≌△NMF，可得EF＝NF，即可求t的值．
解：（1）当t＝1时，EG＝1×1＝1＝AB
∴点E（1，2）
设双曲线解析式：y=kx
∴k＝1×2＝2
∴双曲线解析式：y=2x
∵OB＝OA+AB＝2，
∴当x＝2时，y＝1，
∴点F（2，1）
（2）∵EG＝AB＝t，
∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）
设双曲线解析式：y=mx
∴m＝1+t
∴双曲线解析式：y=t+1x
当x＝1+t时，y＝1
∴点F（1+t，1）
∵BE平分∠AEF
∴∠AEB＝∠BEF，
∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBF＝∠BEF
∴EF＝BF＝1
∴(t+1−1)2+(1+t−1)2=2t＝1
∴t=22
（3）延长EM，BC交于点N，
∵EG＝AB＝t，
∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣（1+t）＝2﹣t，
设双曲线解析式：y=nx
∴n＝1+t
∴双曲线解析式：y=t+1x
当x＝1+t时，y＝1
∴点F（1+t，1）
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠NCD，∠DEM＝∠MNC，且DM＝CM，
∴△DEM≌△CNM（AAS）
∴EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，
∵CF＝BC﹣BF＝2
∴NF＝CF+CN＝2﹣t+2＝4﹣t，
∵∠EMF为直角，
∴∠EMF＝∠NMF＝90°，且EM＝MN，MF＝MF，
∴△EMF≌△NMF（SAS），
∴EF＝NF，
∴2t＝4﹣t
∴t＝42−4
总结提升：本题考查了反比例函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．
20．(2023•礼县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点B、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
思路引领：（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D（2，1），从而可得反比例函数表达式；再求出点E、F坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．求出直线E'F的解析式后令y＝0，即可得到点P坐标．
解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y=2x．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y=12．
故点E坐标为（1，2），F（4，12）．
设直线EF的解析式为y＝k2x+b，代入E、F坐标得：2=k2+b12=4k2+b，
解得：k2=−12b=52，
故一次函数的解析式为y=−12x+52．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：−2=m+n12=4m+n，
解得：m=56n=−176．
则直线E'F的解析式为y=56x−176，
令y＝0，则x=175．
∴点P坐标为（175，0）．
故答案为：（175，0）．
总结提升：本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．
21．(2023•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．若点D的坐标为（4，n）．
（1）求反比例函数y=kx的表达式．
（2）设点E是x轴上一动点，若△CEB的面积等于6，求点E的坐标．
思路引领：（1）根据线段中点的概念求出点C的坐标，解方程组求出k，得出反比例函数的解析式；
（2）设点E的坐标为（x，0），根据△CEB的面积等于6求出x的值即可．
解：（1）∵点D的坐标为（4，n），AD＝3，
∴点A的坐标为（4，n+3），
∵点C是AO的中点，
∴点C的坐标为（2，n+32），
把点C、D的坐标代入y=kx，
得4n=k2×n+32=k，
解得：n=1k=4，
则反比例函数的解析式为：y=4x；
（2）设点E的坐标为（x，0），
由（1）知，C（2，2），
∵S△CBE=12BE×2＝6，
∴BE＝6，
当点E在点B左侧时，E（﹣2，0）；
当点E在点B右侧时，E（12，0）．
综上所述，点E的坐标为（﹣2，0）或（12，0）．
总结提升：本题考查的是待定系数法求反比例函数解析式，熟知待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是解题的关键．
22．(2023•台山市校级一模）如图，矩形OABC的边AB、BC分别与反比例函数y=4x的图象相交于点D、E，OB与DE相交于点F．
（1）若点B的坐标为（4，2），求点D、E、F的坐标；
（2）求证：点F是ED的中点．
思路引领：（1）根据矩形的性质可知，D点横坐标为4，E点纵坐标为2，再结合D、E点在函数y=4x上，即可求D、E点坐标，由待定系数法求出直线ED、直线OB的解析式，直线ED与OB的交点即为F点；
（2）利用中点坐标公式求出ED的中点，刚好和F点重合．
（1）解：∵点B的坐标为（4，2），
∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2，
∴D（4，1），E（2，2），
设直线ED的解析式为y＝kx+b，
∴4k+b=12k+b=2，
解得k=−12b=3，
∴直线ED的解析式为y=−12x+3，
∵直线OB的解析式为y=12x，
联立方程组y=−12x+3y=12x，
解得x=3y=32，
∴F（3，32）；
（2）证明：设点B（a，b），
∴点E（4b，b），点D（a，4a），
∴则DE的中点坐标为（ab+42b，ab+42a），
∵点B（a，b），点O（0，0），
∴直线OB的解析式为：y=bax，
当x=ab+42b时，y=ab+42a，
∴DE的中点在直线OB上，
即点F是ED的中点．
总结提升：本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，中点坐标公式，直线交点的求法是解题的关键．
23．(2023•太康县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点M、N，且M为AB的中点，点B（4，3）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求△MON的面积．
思路引领：（1）根据矩形的性质得出AB∥y轴，AB＝3，OA＝BC＝4，求出点M的坐标，再求出k即可；
（2）求出点N的坐标，再根据矩形的性质得出∠BCO＝∠BAO＝∠B＝90°，BN＝4﹣2＝2，BM＝1.5，OC＝BA＝3，根据图象得出△MON的面积S＝S矩形OCBA﹣S△OCN﹣S△BMN﹣S△OAM，再求出答案即可．
解：（1）∵四边形OCBA是矩形，B（4，3），
∴AB∥y轴，AB＝3，OA＝BC＝4，
∵M为AB的中点，
∴M的坐标是（4，1.5），
把M点的坐标代入y=kx，得k＝4×1.5＝6，
所以反比例函数的解析式是y=6x；
（2）把y＝3代入y=6x，得x＝2，
即点N的坐标是（2，3），
∵四边形OCBA是矩形，B（4，3），M（4，1.5），
∴∠BCO＝∠BAO＝∠B＝90°，BN＝4﹣2＝2，BM＝1.5，OC＝BA＝3，
∴△MON的面积S＝S矩形OCBA﹣S△OCN﹣S△BMN﹣S△OAM
＝4×3−12×3×2−12×2×1.5−12×4×1.5
＝12﹣3﹣1.5﹣3
＝4.5．
总结提升：本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，能求出点M和N的坐标是解此题的关键．
24．(2023•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy中，函数y=kx（其中x＜0）的图象经过平行四边形ABOC的顶点A，函数y=8x（其中x＞0）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，△AOC的面积为6．
（1）求k的值；
（2）求直线AB的解析式．
思路引领：（1）根据点C的横坐标是2求出C点坐标，再由平行四边形得出AC∥x轴，根据三角形的面积公式求出AC的长，故可得出A点坐标，进而可得出k的值；
（2）根据四边形ABOC是平行四边形可知BO＝AC＝3，故可得出B（﹣3，0），再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可．
解：（1）∵点C的横坐标是2，
∴2y＝8，y＝4
∴C（2，4），
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC∥x轴，
∵S△AOC＝6，即12×4AC＝6，
∴AC＝3，
∴AD＝3﹣2＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，4）
∴k＝﹣1×4＝﹣4；
（2）∵四边形ABOC是平行四边形，
∴BO＝AC＝3
∴B（﹣3，0）
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则−3k+b=0−k+b=0，
∴k=2b=6，
∴直线AB的解析式为y＝2x+6．
总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
25．(2023•香洲区校级三模）如图，已知反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若BD＝3OC，求直线BC的解析式；
（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，BD即可解决问题．
（3）设B（a，8a），由平行四边形的性质可得△BCF∽△BED，利用相似三角形的性质可求得a的值，则可求得B点坐标．
解：（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴m＝8，
∴反比例函数y=8x（x＞0）．
（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），
∴OC＝2，
∵BD＝3OC，
∴BD＝6，
∵BD⊥x轴，
∴B（43，6），
∵C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有b=243k+b=6，
解得k=3b=2，
∴直线BC的解析式为y＝3x+2；
（3）存在．如图，设BD交AC于F．设B（a，8a），
∵A（4，2）
∴AC＝4，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝4，且CF∥DE，
∴△BCF∽△BED，
∴CFDE=BFBD，即a4=8a−28a，解得a＝2，
∴B（2，4）．
总结提升：本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想等知识．在（1）中用待定系数法，在（3）中由平行四边形的性质得到相似三角形，从而得到关于a的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
26．(2023•金凤区校级一模）如图，点A的坐标为（0，4），BA＝OA，BA⊥y轴，反比例函数（x＜0）的图象经过点B，点C在线段AB上运动（不与点A，B重合），过点C作DE⊥x轴于点E，交反比例函数图象于点D，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE，连接OC，FC，BD，且点C为线段AB的中点．
（1）求k的值；
（2）求证：OC＝BD．
（3）求直线CF的解析式．
思路引领：（1）可求得点B的坐标，进而求得k的值；
（2）先求得点D的坐标，进而得出BC，CD的值，进而证明△BCD≌△OEC，进而得出结果；
（3）先求得点F的坐标，设直线CF的解析式为：y＝mx+n，将点F和点C坐标，进一步得出结果．
（1）解：∵A（0，4），AB＝OA，
∴点B（﹣4，4），
∴y=kx，
∴k＝xy＝4×（﹣4）＝﹣16；
（2）证明：∵点时AB的中点，
∴CA=12AB＝2，
∴xD＝xC＝﹣2，
∴yD=−16−2=8，
∴CD＝DE﹣CE＝4，
∴CD＝CE，
∵OE＝AE＝BC＝2，∠BCD＝∠CEO＝90°，
∴△BCD≌△OEC（SAS），
∴OC＝BD；
（3）解：∵EF＝DE＝8，
∴OF＝OE+EF＝2+8＝10，
∴点F（﹣10，0）
设直线CF的解析式为：y＝mx+n，
∴−2m+n=4−10m+n=0，
∴m=12n=5，
∴y=12x+5．
总结提升：本题考查了求反比例函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
27．(2023•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）．
（1）直接写出这个反比例函数的表达式 y=3x ；
（2）若△ABC与△EFG关于点M成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①直接写出OF的长 1 、对称中心点M的坐标 （32，32） ；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．
思路引领：（1）由D点坐标可求得k的值，可求得反比例函数的表达式；
（2）①由中心对称的性质可知△ABC≌△EFG，由D点坐标可求得B点坐标，从而可求得BC和AC的长，由全等三角形的性质可求得GE和GF，则可求得E点坐标，从而可求得OF的长，再由B，F两点的坐标求出对称中心点M的坐标即可；
②由条件可证得△AOF≌△FGE，则可证得AF＝EF＝AB，且∠EFA＝∠FAB＝90°，则可证得四边形ABEF为正方形．
解：（1）∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过点D（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数表达式为y=3x．
故答案为：y=3x；
（2）①∵D为BC的中点，
∴BC＝2，B（3，2）
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴△ABC≌△EFG（中心对称的性质），
∴GF＝BC＝2，GE＝AC＝1，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E（1，3），即OG＝3，
∴OF＝OG﹣GF＝1；
∴F（0，1），
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴对称中心M是线段BF的中点，
∴M（32，2+12），即M（32，32）．
故答案为：1，（32，32）；
②如图，连接AF、BE，
∵AC＝1，OC＝3，
∴OA＝GF＝2，
在△AOF和△FGE中
AO=FG∠AOF=∠FGEOF=GE
∴△AOF≌△FGE（SAS），
∴AF＝EF，
∴∠GFE＝∠FAO＝∠ABC，
∴∠GFE+∠AFO＝∠FAO+∠BAC＝90°，
∴EF∥AB，且EF＝AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
又AF＝EF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵AF⊥EF，
∴四边形ABEF为正方形．
总结提升：本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得E点坐标是解题的关键，在（2）②中证得△AOF≌△FGE是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
28．(2023•婺城区校级模拟）如图，点A是反比例函数y=kx（k＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC⊥x轴于点C．M为是线段AC的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、D两点．顺次连接A、B、C、D．设点A的横坐标为t．
（1）求点B的坐标（用含有k、t的代数式表示）．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
（3）若△ABM的面积为8，当四边形ABCD是正方形时，求直线AB的函数表达式．
思路引领：（1）由点A在双曲线上，确定出A坐标，进而得出点B的纵坐标，即可得出结论；
（2）由（1）得到的点B，D，M的坐标判断出MB＝MD，AM＝MC，得出四边形ABCD是平行四边形，再用BD⊥AC即可；
（3）由（2）结合AC＝BD建立方程求出点B，A坐标即可．
（1）解：当x＝t时，y=kt，
∴A（t，kt）．
由题意知，BD是AC的中垂线，
∴点B的纵坐标为k2t．
∴把y=k2t代入y=kx得x＝2t，
∴B（2t，k2t）；
（2）证明：∵BD⊥AC，AC⊥x轴，
∴BD⊥y轴，
由（1）知，B（2t，k2t），A（t，kt），
∴D（0，k2t），M（t，k2t），
∴BM＝MD＝﹣t，
∵AC⊥x轴，
∴C（t，0），
∴AM＝CM，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（3）解：当四边形ABCD是正方形时，△ABM为等腰直角三角形．
∴AM＝BM，
∵△ABM的面积为8
∴S△ABM=12AM2＝8，
∴AM＝BM＝4．
∵M为线段AC的中点，
∴AC＝2AM＝8，BD＝2BM＝8，
∴2t＝﹣8，kt=8，
∴A（﹣4，8），B（﹣8，4）．
设直线AB的解析式为y＝k′x+b，
∴−4k′+b=8−8k′+b=4，
∴k=1b=12，
直线AB的函数表达式为y＝x+12．
总结提升：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用t，k表示出点A，B，D，M的坐标．
29．(2023•中阳县模拟）如图，反比例函数y=kx的图象与矩形OABC交于点E、D，已知点E的坐标是（45，52），点D是AB的中点．
（1）求函数y=kx的函数解析式．
（2）求矩形OABC的面积．
思路引领：（1）直接把点E（45，52）代入反比例函数的解析式求出k的值即可；
（2）由点D是AB的中点可知D点纵坐标为54，代入（1）中反比例函数的解析式求出x的值，进而可得出结论．
解：（1）∵点E（45，52）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=45×52=2，
∴函数解析式为：y=2x；
（2）∵点D是AB的中点，
∴D点纵坐标为54，
∴设D（x，54），
∵点D也在反比例函数的图象上，
∴54=2x，解得x=85，
∴OA=85，OC=52，
∴矩形OABC的面积＝OA•OC=85×52=4．
总结提升：本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式及矩形的性质，根据题意得出D点坐标是解题的关键．
30．(2023•济南一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线，将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）求tan∠COF的值及反比例函数表达式．
（2）在x轴上是否存在一点M，使|MF﹣MG|的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形，请直接写出OP的长．
思路引领：（1）△ODE是△OAB旋转得到的，可得tan∠COF＝tan∠AOB=12，求得点F的坐标为（1，2），即可求解；
（2）通过分析可知存在这样的点，当直线FD与x轴交于M时，满足条件|MF﹣MG|的值最大；
（3）分GF＝PF、PF＝PG、GF＝PG三种情况，分别求解即可．
解：（1）∵△ODE是△OAB旋转得到的，
即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，
∴tan∠COF＝tan∠AOB=12，
∴CF2=24，
∴CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
∵y=kx（x＞0）的图象经过点F，
∴2=k1，得k＝2，
解析式为：y=2x；
（2）∵y=2x，当x＝4，得y=12，
∴点G的坐标为（4，12），
由题意可知延长FD与x轴交于M点时|MF﹣MG|的值最大，
设直线FD的解析式为：y＝kx+b，
将F，G点坐标代入可得：
2=k+b12=4k+b，
解得：k=−12b=52，
∴y=−12x+52，当y＝0时，x＝5；
∴M点的坐标为：（5，0）；
（3）设点P（m，0），而点F（1，2），点G（4，12），
则FG2＝9+94=454，PF2＝（m﹣1）2+4，
PG2＝（m﹣4）2+14，
当GF＝PF时，454=（m﹣1）2+4，
解得，m=2+292或2−292（舍去负值），
当PF＝PG时，同理可得：m=158；
当GF＝PG时，同理可得：m＝4−11或4+11（舍去）；
综上，OP的长为2+292或158或4−11．
总结提升：本题考查的是反函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
31．(2023•岳麓区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣6与x轴交于点B，与y轴交于点A，与双曲线y=ax（x＞0）交于点C（4，b），点P是双曲线上的动点，横坐标为m（0＜m＜4），作PQ∥y轴交直线AB于点Q，连接PO、QO．
（1）求a、b的值；
（2）求△OPQ的面积S与m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）当四边形AOPQ为平行四边形时，连接PC，并将直线PC向上平移n个单位后与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于M、N两点，与直线AB交于点T，设M、N、T三点的横坐标分别为xM、xN、xT，是否存在正实数n使得等式1xM+1xN=9xT成立，如果存在，求出n的值，如果不存在，请说明理由．
思路引领：（1）将C（4，b）代入y＝2x﹣6，求出b的值，将C（4，2）代入y=ax，求a的值即可；
（2）由题意可得P（m，8m），Q（m，2m﹣6），可求S=12×PQ×m＝﹣m2+3m+4，则当m=32时，S有最大值254；
（3）由四边形AOPQ为平行四边形，求出m＝2，再由待定系数法求直线PC的解析式，则平移后的直线解析式为y＝﹣x+6+n，联立方程组y=−x+6+ny=2x，根据根与系数的关系可得xM+xN＝6+n，xM•xN＝2，则1xM+1xN=6+n2，再联立方程组y=2x−6y=−x+6+n，可求xT＝4+13n，则9xT=2712+n，由题意可得方程6+n2=2712+n，求n的值即可．
解：（1）∵C（4，b）在直线y＝2x﹣6上，
∴b＝2，
∴C（4，2），
将C点代入y=ax，
∴a＝8；
（2）∵P点横坐标为m，
∴P（m，8m），
∵PQ∥y轴，
∴Q（m，2m﹣6），
∴PQ=8m−2m+6，
∴S=12×（8m−2m+6）×m＝﹣m2+3m+4＝﹣（m−32）2+254，
∴当m=32时，S有最大值254；
（3）不存在正实数n使得等式1xM+1xN=9xT成立，理由如下：
∵四边形AOPQ为平行四边形，
∴OA＝PQ，
令y＝0，则x＝﹣6，
∴A（0，﹣6），
∴OA＝6，
∴8m−2m+6＝6，
解得m＝2或m＝﹣2，
∵0＜m＜4，
∴m＝2，
∴P（2，4），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，
∴2k+b=44k+b=2，
解得k=−1b=6，
∴y＝﹣x+6，
∴平移后的直线解析式为y＝﹣x+6+n，
联立方程组y=−x+6+ny=2x，
整理得，x2﹣（6+n）x+2＝0，
∴xM+xN＝6+n，xM•xN＝2，
∴1xM+1xN=xM+xNxN⋅xM=6+n2，
联立方程组y=2x−6y=−x+6+n，
解得x＝4+13n，
∴xT＝4+13n，
∴9xT=9×312+n=2712+n，
∵1xM+1xN=9xT，
∴6+n2=2712+n，
解得n＝﹣9+37或n＝﹣9﹣37，
∵n是正实数，
∴不存在．
总结提升：本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
32．(2023•兴庆区校级三模）如图，Rt△ABC的边BC在x轴上，点O为BC的中点，点A的坐标为（3，23），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A，将△ABC沿x轴x向右平移得到△A′B′C′，A′C′与反比例函数的图象交于点D，连接B′D．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）在平移过程中，当△A′DB′∽△ABC时，求点D的坐标．
思路引领：（1）将点A的坐标代入反比例函数y=kx（x＞0）可得k的值，从而得出答案；
（2）根据相似三角形的性质得∠A'DB'＝∠ABC＝90°，作DH⊥OB'于H，根据tan∠ACB=33，得∠ACB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得点D的纵坐标，再代入反比例函数解析式可得答案．
解：（1）将点A（3，23）代入反比例函数y=kx（x＞0）得，
k＝3×23=63，
∴反比例函数的解析式y=63x；
（2）∵△A′DB′∽△ABC，
∴∠A'DB'＝∠ABC＝90°，
作DH⊥OB'于H，
∵AB＝23，OB＝3，点O为BC的中点，
∴BC＝6，
∴tan∠ACB=33，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B'DH＝30°，
由平移知B'C'＝6，
∴B'D＝3，
∴DH=332，
当y=332时，
∴63x=332，
解得x＝4，
∴D（4，332）．
总结提升：本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，平移的性质，三角函数，相似三角形的性质等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
33．(2023•兴庆区校级一模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（−32，0），与反比例函数y=kx（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标以及反比例函数的解析式．
（3）求矩形ABCD的面积．
思路引领：（1）一次函数经过点B（0，2），与x轴交于点E（−32，0），通过代入法，即可求出解析式；
（2）作DF⊥x轴于F，证明△DEF≌△BEO，求出OF长度，进而得点D的坐标及反比例函数的解析式；
（3）S矩形ABCD=4S△ABE=4×12×AE×OB，AE＝BE，只需求出S△ABE面积，即可求出矩形ABCD的面积．
解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（−32，0），
∴b=2−32a+b=0，解得a=43b=2，
∴一次函数的解析式为y=43x+2；
（2）作DF⊥x轴于F，
∵B（0，2），E点坐标（−32，0），
∴OB＝2，OE=32，
∵四边形ABCD是矩形，∴BE＝ED，
∵DF⊥x轴，BO⊥x轴，∴∠DFE＝∠BOE＝90°，
∵∠DEF＝∠BEO，
∴△DEF≌△BEO（AAS），
∴OB＝DF＝2，EF＝OE=32，
∴OF＝OE+EF＝3，
∴D（﹣3，﹣2），
∵点D在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式y=6x；
（3）∵B（0，2），E点坐标（−32，0），
∴OB＝2，OE=32，
∴BE=OB2+OE2=52∵四边形ABCD是矩形∴EA＝BE=52，
∴S矩形ABCD=4S△ABE=4×12×AE×OB=4×12×52×2＝10，
∴矩形ABCD的面积为10．
总结提升：本题是一道函数与几何图形综合应用的一道经典题型，考查了学生对反比例函数和矩形的性质的把握程度，综合性很强，难度较大．
34．(2023•海珠区校级二模）如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，OA＝2，AB＝4．双曲线y=kx（k＞0）与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．
（1）若点E是AB的中点，求点F的坐标；
（2）将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作EG⊥OC于点G．问：△EGD与△DCF是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．
思路引领：（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；
（2）证明∠GED＝∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（k2，2），点F坐标为（4，k4），即可得CF=k4，BF＝DF＝2−k4，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．
解：（1）∵点E是AB的中点，OA＝2，AB＝4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入y=kx，可得k＝4，
即反比例函数解析式为：y=4x，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标=44=1，
∴点F的坐标为（4，1）；
（2）由折叠的性质可得：BE＝DE，BF＝DF，∠B＝∠EDF＝90°，
∵∠CDF+∠EDG＝90°，∠GED+∠EDG＝90°，
∴∠CDF＝∠GED，
又∵∠EGD＝∠DCF＝90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为（k2，2），点F坐标为（4，k4），
则CF=k4，BF＝DF＝2−k4，ED＝BE＝AB﹣AE＝4−k2，
在Rt△CDF中，CD=DF2−CF2=(2−k4)2−(k4)2=4−k，
∵CDGE=DFED，即4−k2=2−k44−k2，
∴4−k=1，
∴CDGE=4−k2=12．
总结提升：本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F的横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质．
35．(2023•余姚市模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），C坐标为（2，m）（m＞0），双曲线y1=k1x上经过点C，直线CD：y2＝k2x+b在经过点C交y轴于点D，与双曲线的另一分支相交于点P（﹣4，﹣1）．
（1）分别求双曲线y1=k1x和直线y2＝k2x+b的函数关系式；
（2）判断点B是否在双曲线上；
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
思路引领：（1）因为点P（﹣4，﹣1）在双曲线y1=k1x上，所以代入P点坐标即可求出双曲线y1=k1x的函数关系式，又因为点C（2，m）在y1=k1x双曲线上，代入即可求出m的值，得到C的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）先求出点B的坐标，判断即可得出结论；
（3）根据图象直接得出结论．
解：（1）将点P（﹣4，﹣1）代入y1=k1x中，得k1＝﹣4×（﹣1）＝4，
∴反比例函数的解析式为y1=4x，
将点C（2，m）代入y1=4x中，得m=42=2，
∴C（2，2），
把P、C的坐标代入y2＝k2x+b得−4k2+b=−12k2+b=2，
解得k2=12b=1，
∴直线的函数关系式为y=12x+1；
（2）因为四边形ABCD是菱形，A（2，0），C（2，2），
∴m＝2，B（4，12m），
∴B（4，1），
由（1）知双曲线的解析式为y1=4x，
∵4×1＝4，
∴点B在双曲线上；
（3）由（1）知C（2，2），
由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为x＜﹣4或0＜x＜2．
总结提升：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用m表示出点D的坐标是解本题的关键．