2024杭州联谊学校（“桐・浦・富・兴”教研联盟）高二下学期5月期中考试试数学试题含解析

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高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 36B. 48C. 96D. 24
2. 某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（ ）
A. 0.15B. 0.25C. 0.3D. 0.2
3. 已知随机变量的分布列如下，则（ ）
A B. C. D.
4. 已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲､乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（ ）
A. 24B. 12C. 48D. 36
7. 已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ）
A. 23B. 22C. 24D. 25
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对两个变量和进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，拟合效果越好
B. 若变量和具有线性相关关系，则回归直线方程至少经过样本点的其中一个点
C. 建立两个回归模型，模型1的线性相关系数，模型2的线性相关系数，则模型1的线性相关性更强
D. 残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，模型的拟合效果越好
10. 已知，则下列说法正确是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数，其中，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. ，使有两解，则
D. 有最大值
非选择题部分
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，且，则__________.
13. 已知盒子内有大小相同，质地均匀的2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量为取出的红球的个数，则__________.
14. 已知函数满足，且，当时，，则不等式的解集为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求；
（2）求的极值.
16. 为贯彻落实《健康中国行动（2023-2030年）》､《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，其中男生与女生人数之比为，并对他们进行了“是否喜欢体育运动”的问卷调查，得到如下统计结果：
（1）请根据要求完成列联表，并根据独立性检验，判断是否有的把握认为“是否喜欢体育运动”与性别有关；
（2）为了了解学生不喜欢体育运动的原因，从上述不喜欢体育运动的同学中随机选3位同学进行咨询，所选的3人中已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
参考公式：.
17. 已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.
18. 有一款闯关游戏，其规则如下：一颗棋子位于数轴原点处，若掷出的骰子大于或者等于3，则棋子向右移动一个单位（从0移动到1），若掷出的骰子小于或者等于2，则棋子向右移动两个单位（从0移动到2），若棋子移动到99处，则“闯关失败”，若棋子移动到100处，则“闯关成功”，无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏，记棋子在坐标处的概率为.
（1）求；
（2）求证：等比数列（其中），并求出；
（3）若有5人同时参加此游戏，记随机变量为“闯关成功”人数，求（结果保留两位有效数字）.
19. 已知函数.
（1）当时，求单调区间；
（2）若关于的方程有两根（其中），
①求的取值范围；
②当时，求的取值范围.1
2
3
性别
体育运动
合计
喜欢
不喜欢
男生
50
女生
15
合计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828