浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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命题：桐乡风鸣高级中学 饶彬、李新华
审题：慈溪实验高级中学 傅依 宁海知恩中学 辛振雷 校稿：沈阿琴
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 在复平面内，复数（其中是虚数单位）对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知平面向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 2
3. 如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 在中，角，，的对边分别是，，.若，，，则角等于（ ）
A. 30°B. 45°C. 135°D. 90°
5. 在平行四边形中，，，则用，表示向量和分别是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
6. 已知圆台的上、下半径分别为，，.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则B.
C. D. 若，则
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为等腰或直角三角形
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（ ）
A. 球的体积为
B. 球内接圆柱的侧面积的最大值为
C. 球在正方体外部体积小于
D. 球在正方体外部的面积大于
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数______.
13. 已知平面向量，，不共线，且两两所成角相等，若，，，则的值为______.
14. 如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，虚数单位.
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.
16. 如图，在正方体中，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
17. 如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点且满足，，.

（1）试用向量，表示，；
（2）若，，求向量，夹角的余弦值.
18. 在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面.
（1）当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面；
（2）当正方体棱长为2时，求线段长度最小值.
19. 在中，角，，的对边分别为，，.若，.
（1）若为锐角三角形时，求边的取值范围；
（2）求面积的最大值；
（3）在（1）的条件下，若，分别为，的中点，连接，交于点，求的取值范围.