2024贵州中考数学一轮知识点复习 第26讲 矩形、菱形、正方形（课件）

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矩形的证明与计算(黔东南州2022.20，贵阳3考)
1. (2022黔东南州20题3分)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________．
2. (2023贵阳19题10分)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.(1)求证：△ABN≌△MAD；
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DMA＝∠NAB.∵BN⊥AM，∴∠D＝∠ANB＝90°.(3分)又∵AM＝AB ，∴△ABN≌△MAD(AAS)；(5分)
(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
3. (2022毕节11题3分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O，点E，F分别是AO, AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm, BC＝8 cm，则EF的长是(　　)A. 2.2 cm B. 2.3 cmC. 2.4 cm D. 2.5 cm
4. (2022遵义10题3分)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为(　　)A. 10　　　 B. 12　　　 C. 16　　　 D. 18
5. (2022黔南州17题4分)如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB＝6，BC＝8，则四边形OECD的周长为____．
6. (2022遵义24题10分)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点. (1)求证：CP＝AQ；
(1)证明：证法一：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FDQ＝∠EBP＝90°，AE∥CF，AD＝BC，(1分)∴∠E＝∠F.(2分)又∵BE＝DF，∴△FDQ≌△EBP(ASA)，(3分)∴DQ＝BP，(4分)∴BC－BP＝AD－DQ，∴CP＝AQ；(5分)
证法二：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠FDQ＝∠EBP＝90°，DA＝BC，(1分)∴∠BPE＝∠CPQ＝∠DQF，(2分)在△BEP与△DFQ中，∴△BEP≌△DFQ(AAS)，(3分)∴BP＝DQ，(4分)∴BC－BP＝AD－DQ，∴CP＝AQ；(5分)
证法三：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠EAQ＝∠FCP＝90°.(1分)∵BE＝DF，∴AE＝CF，(2分)又∵AD∥BC，∴∠AQE＝∠CPF，(3分)在△AEQ和△CFP中，∴△AEQ≌△CFP(AAS)，(4分)∴CP＝AQ；(5分)
∴四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EPC＝∠BPQ＝∠FQA，(2分)∵BE＝DF，∴AE平行且等于CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴∠AFQ＝∠CEP，AF＝CE，(3分)∴△AFQ≌△CEP(AAS)，(4分)∴CP＝AQ；(5分)(其他证明方法根据实际情况酌情给分)
证法四：如解图，连接AF、CE，(1分)
(2)若BP＝1，PQ＝2 ，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．
解法二：解：∵四边形ABCD是矩形，∠AEP＝45°，∴∠BPE＝∠AQE＝45°.∵BP＝BE＝1，∴EP＝ ，∴EQ＝ ，∴ ，(6分)∴ .(7分)
又∵S△EBP＝ ×1×1＝ ，∴S△EQA＝ ，∴S四边形BPQA＝S△EQA－S△EBP＝ － ＝4，(8分)∵S四边形BPQA＝S四边形DQPC，(9分)∴S矩形ABCD＝2S四边形BPQA＝2×4＝8.(10分)
菱形的证明与计算(黔西南州2考，黔东南州5考，贵阳5考)
7. (2023贵阳4题3分)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(　　)A. 1 cm　 　B. 2 cm　 　C. 3 cm　 　D. 4 cm
8. (2022贵阳5题3分)如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为(　　)A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
9. (2022黔东南州4题4分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为(　　)A. 2 B. 3 C. D. 2
10. (2022黔东南州8题4分)若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为(　　)A. 16 B. 24 C. 16或24 D. 48
11. (2023黔东南州14题3分)如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为________度．
12. (2022遵义8题3分)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(　　)A. AB＝AD B. AC⊥BDC. AC＝BD D. ∠BAC＝∠DAC
13. (2022遵义9题4分)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为(　　)A. B. C. 4 D.
14. (2023铜仁8题4分)如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝ CD，CF＝ CB，则S△CEF＝(　　)A. 　　　B. C. 　　　 D.
15. (2022黔南州17题3分)已知菱形的周长为4 ，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为________．
正方形的证明与计算(黔西南州2考，黔东南州2考，贵阳3考)
16. (2023贵阳10题3分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠DCB＝90°，且BC＝2AD.以AB，BC，DC为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3.若S1＝3，S3＝9，则S2的值为(　　)A. 12 B. 18 C. 24 D. 48
17. (2023黔东南州8题4分)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为(　　)A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°
18. (2023黔西南州10题4分)如图，在正方形 ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的结论是(　　)A. ①② B. ①③C. ②③ D. ①②③
19. (2023三州联考16题3分)如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为________．
20. (2023贵阳16题4分)在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______________．
21. (2023六盘水16题5分)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝________度．
【对接教材】人教：八下第十八章P52－P69； 北师：九上第一章P1－P29.
具有平行四边形的所有性质边：对边平行且相等角：四个角都是________对角线：对角线互相平分且________对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有_____条对称轴
有一个角是________的平行四边形是矩形对角线________的平行四边形是矩形有________个角是直角的四边形是矩形
面积：S＝ab(a、b分别表示长和宽)
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
面积：S＝ mn＝ah，m，n分别为两条对角线的长，a为菱形的边长，h为菱形某一边上的高(若已知m、n、a、h中任意三个，可以用等面积法求出另一个)
具有平行四边形的所有性质边：四条边都相等，对边平行对角线：对角线互相__________且平分，每条对角线平分一组对角对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有____轴
有一组邻边________的平行四边形是菱形四条边都________的四边形是菱形对角线________的平行四边形是菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
既有矩形的性质，又有菱形的性质边：四条边都相等，对边平行角：四个角都是________对角线：对角线互相________且相等，每条对角线_______一组对角对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有______条对称轴
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
面积：S＝a2＝ l2(a为正方形的边长，l为对角线的长)
有一组邻边________，并且有一个角是________的平行四边形是正方形有一组邻边相等的________是正方形对角线互相垂直的________是正方形有一个角是直角的________是正方形对角线相等的________是正方形
平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
(1)从边、角的角度看：
(2)从对角线的角度看：
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形
例1 如图①，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD交于点O.
一、矩形的判定及相关计算
(1)当∠DAB＝_______°时，四边形ABCD是矩形；【解题依据】判定方法是__________________________________；
有一个角是直角的平行四边形是矩形
(2)当AC＝________ 时，四边形ABCD是矩形；【解题依据】判定方法是_______________________________________；(3)如图②，若四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，且AB＝6.①若BC＝8，则BD的长为________；
对角线相等的平行四边形是矩形
②若∠AOD＝120°，则矩形ABCD的面积为________，周长为________．
例2 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，连接AC、BD交于点O，点E为CD上一点．(1)如图①，连接EO，若EO⊥BD，BC＝4，则CE的长为________；
(2)如图②，连接BE交AC于点F，若点F为OC的中点，连接OE，若BC＝4，则OE的长为________；
(3)如图③，连接BE交AC于点M，BE为∠ABC的平分线，若∠EBD＝15°，求BM的长．
(3)如解图③，过点M作MN⊥BC于点N，
例3 (1)如图①，在四边形ABCD中，BC＝CD＝AD，添加一个条件________，使得四边形ABCD是菱形；
【解题依据】判定方法是________________________________；
四条边都相等的四边形是菱形
(2)如图②，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD交于点O，有下列三个条件：①AC⊥BD；②AB＝CD；③AC＝BD，从中选择一个条件______，使得四边形ABCD为菱形；【解题依据】判定方法是______________________________________；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(3)如图③，已知AD平分∠BAC，AB＝AC，E是AD上一点，且BE∥CD，CE∥BD，求证：四边形BECD为菱形．
(3)证明：证法一：∵BE∥CD，CE∥BD，∴四边形BECD为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AB＝AC，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD，∴BD＝CD，∴四边形BECD为菱形．
证法二：∵BE∥CD，CE∥BD，∴四边形BECD为平行四边形．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴四边形BECD为菱形．
例4 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12.
(1)四边形ABCD的周长为________；(2)四边形ABCD的面积为________；(3)若点H为BC的中点，连接OH，则OH＝________；(4)若OH⊥BC于点H，则OH＝_____________；(5)若点E为OC上一点，且点E在BC的垂直平分线上，则OE＝_______．
例5 在边长为2 的菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，点F为AD上一点．(1)如图①，∠ABC＝135°，DE交AC于点G，连接GF，GF⊥AD，则△DFG的周长为________；
(2)如图②，AC交BD于点O，若BD＝4.①DE的长为________；②若点F为AD的中点，连接BF交DE于点M，则线段AE的长为______，线段EM的长为______；
③如图③，点P为BD上一动点，DF＝2AF，连接FP、PE，则PF＋PE的最小值为________．
三、正方形的证明与计算
例6 如图①，在边长为3的正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是对角线AC上一点，连接DE.
(1)OA的长为__________；【解题依据】性质依据为______________________________________________________；(2)若CD＝CE，则∠BDE的度数为________；【解题依据】性质依据为___________________________；
都是直角，且对角线互相平分
正方形的对角线平分一组对角
正方形的四条边相等，四个角
(3)如图②，若∠CDE＝60°，延长DE交CB的延长线于点N，过点B作BP⊥DN于点P，则BP的长为________；
(4)如图③，若DE平分∠ADB交CB的延长线于点G，交AB于点M，则线段AM的长为________；