初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形优秀当堂达标检测题

这是一份初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形优秀当堂达标检测题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若两个相似三角形的周长的比为1︰4，则这两个三角形对应边的比是( )
A. 1︰2B. 1︰4C. 1︰8D. 1︰16
2.△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若BC=2，则EF的长是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.如图，点O为正方形ABCD的中心，AD=1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD=BF，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC.下列结论中错误的是( )
A. OH/​/BFB. OG：GH= 2+1
C. GH= 2−12D. ∠CHF=2∠EBC
4.如图，已知▵ABC∽▵EDC，AC:EC=2:3，若AB的长度为6，则DE的长度为( )
A. 4B. 9C. 12D. 13.5
5.如图，已知点A(1,0)，点B(b,0)(b>1)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为b4，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：2.当BC=1，对应边EF的长是
A. 2B. 2C. 3D. 4
7.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF=CE，BF=3AF.连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，与CD相交于点M，连接BG，DG，则下列结论：①FG=EG；②CMAF=35；③BG= 34；④∠FDG=∠BFG.正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.已知△ABC∽△DEF，SΔABC：SΔDEF=1:4.若BC=1，则EF 的长为 ( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.三角形的三邊長之比爲3∶5∶7，與它相似的一個三角形的最長邊的長爲21 cm，則其餘兩邊長的和爲( )
A. 24 cmB. 21 cmC. 19 cmD. 9 cm
10.两个相似三角形对应边上的高之比为2:3，则它们的面积比为( )
A. 2:3B. 2: 3C. 3:2D. 4:9
11.两个相似三角形一组对应边上的中线长分别是2cm和5cm，且其中较大三角形的周长为20cm，则较小三角形的周长为( )
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 20cm
12.若两个相似三角形周长的比为1：8，则这两个三角形对应边的比是( )
A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：16
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.现将△BCG向左平移，相应的△CDH和△ABF进行相似变换.如图2，当GE/​/AD时，已知AE=a，DE=b，则EF= ______(结果用含a，b的代数式表示)．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为______．
15.已知ΔABC∽ΔDEF，且SΔABC=4，SΔDEF=2，则ABDE=____．
16.若两个相似三角形面积之比为16:9，则它们的对应中线之比为________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A的坐标为(2,1)，点B的坐标为(m，−4)．
(1)求反比例函数y=kx与一次函数y=ax+b的解析式．
(2)结合图象，请直接写出不等式ax+b(3)在y轴上是否存在一点P，使得△PDC与△CDO相似，且点P不与原点O重合？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
18.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=axx>0的图象于A4,−8，Bm,−2两点，交x轴于点C．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是什么？
(3)若点P在x轴上，点Q在坐标平面内，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形时，求点P的坐标．
19.(本小题8分)
已知在四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，P是BC边上一点，且△ABP∽△PCD.请在图中用直尺(没有刻度)和圆规作出所有满足条件的点P.(保留作图痕迹，不写作法)
20.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在边AC上，将△ABD沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，连接AE．
(1)当AD=2CD时，求证：点D是△ABE的外心；
(2)若△ADE与△BCD相似，求AE的长．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设点P、Q运动时间为t(s)，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，BA与弦DC的延长线交于点P，OD平分∠CDB．
(1)求证：AC // OD；
(2)若PA=5，PC=6，，求⊙O的半径．
23.(本小题8分)
如图，抛物线y=12x2−2x−52交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C，D为第四象限的抛物线上一点，DE⊥BC于点E.若△CDE与△OBC相似，求点D的坐标．
24.(本小题8分)
在RtΔABC中，∠C=90∘,AC=20cm,BC=15cm，现有动点P从点A出发，
沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，
如果点P的速度是4cm/s，点O的速度是2cm/s，它们同时出发，
当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动(0≤t≤5).设运动时间为t秒，求：
(1)用含t的代数式表示CQ，CP；
(2)当t为多少时，PQ的长度等于4 10？
(3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？
25.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为ts(0答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比．根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．
【解答】
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴BCEF=12，
∴EF=2BC=4．
故选Ｄ．
3.【答案】C
【解析】解：①过点E作EP⊥BD于点P，则EP=EC，
∵∠BDC=45°，
∴△DPE是等腰直角三角形，
∴PD=EP，
在Rt△BEP和Rt△BEC中，
BE=BEPD=EP
∴Rt△BEP≌Rt△BEC(HL)，
∴BP=BC，
∵BD=BF，
∴PD=CF，
∴EC=CF，
在△BCE和△DCF中，
EC=CF∠BCE=∠DCFBC=DC
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，即BH⊥DF，
∴DH=HF，
∵OD=OB，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH//BF，故①正确；
∴OH=12BF，
∵点O为正方形ABCD的中心，AD=1，
∴BC=AD=1，BF=BD= 2AD= 2，
∴OH= 22，
∵OH/​/BC，点O为正方形ABCD的中心，
∴点G为CD的中点，
∴OG是△DBC的中位线，
∴OG=12BC=12，
∴GH=OH−OG= 2−12，
∴OG：GH=12： 2−12=1 2−1= 2+1，故②正确；
∵OH/​/BC，CD⊥BC，
∴CD⊥OH，
∴∠CGH=90°，
∵GH= 2−12，
∴斜边CH>GH= 2−12，故③错误；
④∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴∠EBC=22.5°，
∵∠BHF=90°，
∴∠F=90°−22.5°=67.5°，
∵H是DF中点，
∴CH=HF，
∴∠CHF=180°−67.5°−67.5°=45° 5°−67.5°=45°，
∴∠CHF=2∠EBC，故④正确．
综上，①②④正确，③错误．
故选：C．
①过点E作EP⊥BD于点P，求出EC=CF，证明△BCE≌△DCF，然后可得BH⊥DF，再根据等腰三角形三线合一与中位线定理可得出结论；②结合①，再证明OG是△DBC的中位线，则有OG=12BC=12，进而可得GH=OH−OG= 2−12，问题随之得证：③根据∠CGH=90°GH= 2−12，可得CH>GH= 2−12，问题得证：④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出∠EBC=22.5°，进而得到∠F=67.5°，再由H是DF中点，可得CH=HF，求出∠CHF即可得出结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定，相似三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC=2：3．
∴ABED=ACEC=23，
∴当AB=6时，DE=9．
故选：B．
根据相似三角形的性质列比例式即可求解．
本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵点P的纵坐标为b4，
∴点P在直线y=b4上．
①当△PAO≌△PAB时，
AB=b−1=OA=1，b=2，
则P(1,12)；
②∵当Rt△PAO∽Rt△BAP时，PA：AB=OA：PA，
∴PA2=AB⋅OA，
∴b216=b−1，
∴(b−8)2=48，
解得b=8±4 3，
∴P(1,2+ 3)或(1,2− 3).
综上所述，符合条件的点P有3个．
故选：D．
利用相似三角形的对应边成比例来求点P的坐标．注意，全等是一种特殊的相似．
本题考查了相似三角形的判定，坐标与图形性质．此题属于易错题，同学们解题时，往往忽略了全等是一种特殊的相似这一情况．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方，比较简单，熟记性质是解题的关键．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解．
【解答】
解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，
∴(BC：EF)2=1：2，
解得BC：EF=1： 2，
∵BC=1，
∴EF= 2．
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：①过点F作FH⊥AB交AG于H，如下图所示：
∵四边形ABCD为正方形，EF与对角线AC相交于点G，
∴∠BAC=∠ACD=45°，∠BCD=90°，
∴△AFH为等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴AF=FH，∠FHA=45°，
∴∠FHG=180°−∠FHA=180°−45°=135°，
∵AF=CE，
∴FH=CE，
∵∠ECG=∠DCE+∠ACD=90°+45°=135°，
∴∠FHG=∠ECG=135°，
在△FHG和△ECG中，
∠FHG=∠ECG∠FGH=∠EGCFH=CE，
∴△FHG≌△ECG(AAS)，
∴FG=EG，
故结论①正确；
②∵四边形ABCD为正方形，AB=4，
∴AB=BC=CD=AD=4，AB/​/CD，
∵BF=3AF，
∴AF=1，BF=3，
∴AF=CE=1，
∴BE=BC+CE=4+1=5，
∵AB/​/CD，
∴△ECM∽△EBF，
∴CMBF=CEBE，
∴CMCE=BFBE=35，
即CMAF=35，
故结论②正确；
③在Rt△BEF中，BF=3，BE=5，
由勾股定理得：EF= BF2+BE2= 34，
由①正确可知：FG=EG，
∴点G为Rt△BEF斜边EF的中线，
∴BG=12EF= 342，
故结论③不正确；
④在Rt△ADF中，AF=1，AD=4，
由勾股定理得：DF= AF2+AD2= 17，
在Rt△DCE中，CE=1，CD=4，
由勾股定理得：DE= CE2+CD2= 17，
∴DF=DE，DF2+DE2=34，
又∵EF= 34，
∴DF2+DE2=EF2，
∴∠EFD=90°，
即△DEF为等腰直角三角形，
又∵FG=EG，
根据等腰三角形三线合一定理得：∠FDG=45°，
在Rt△BEF中，BF=3，BE=5，
∴∠BFG≠45°，
∴∠FDG≠∠BFG，
故结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①②，共2个．
故选：B．
①过点F作FH⊥AB交AG于H，先证△AFH为等腰直角三角形得AF=FH=CE，∠FHG=∠ECG=135°，由此可判定△FHG和△ECG全等，据此可对结论①进行判断；
②先求出AF=CE=1，BF=3，则BE=5，证明△ECM∽△EBF得CMCE=BFBE=35，据此可对结论②进行判断；
③先根据勾股定理得EF= 34，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BG=12EF= 342，据此可对结论③进行判断；
④先求出DF=DE= 17，再由EF= 34，得△DEF为等腰直角三角形，则∠FDG=45°，在Rt△BEF中由BF=3，BE=5得∠BFG≠45°，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：4，
∴BC：EF=1：2，
∵BC=1，
∴EF=2，
故选B．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段EF的长．
此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的平方，难度不大．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
根据相似三角形对应边的比相等解答即可．
【解答】
解：设其余两边的长分别是xcm，ycm，
由题意得x：y：21=3：5：7，
解得x=9，y=15，
故其余两边长的和为9+15=24(cm)．
故选A．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质的有关知识，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方直接得出结果．
【解答】
解：∵两个相似三角形对应高的比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为4：9．
11.【答案】B
【解析】略
12.【答案】C
【解析】解：两个相似三角形的周长比为1：8，它们对应的相似比为1：8．
故选：C．
根据“相似三角形周长的比等于相似比”即可解答．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
13.【答案】ab2−a3a2+b2
【解析】解：由图形变换可知，在图2中，四边形ABCD为矩形，△AED≌△CGB，△CHD≌△AFB，△AED∽△DHC，△AFB≌△BGC，
∵AD//EG，
∴∠GEF=∠DAE，
∴tan∠GEF=tan∠DAE=DEAE=ba，
∵△AED≌△CGB，
∴BG=DC=b，CG=AE=a，
∵△CHD≌△AFB，
∴设DH=BF=x，则HE=GF=b−x，
∵tan∠GEF=GFEF=ba，
∴EF=abGF=ab(b−x)=a−abx，
∵△AED∽△DHC，
∴AEDH=DECH，即：CH=DH⋅DEAE=bxa，
∵△CHD≌△AFB，
∴AF=CH=abx，
∴EF=AF−AE=abx−a，
∴a−abx=abx−a，解得：x=2a2ba2+b2，
∴EF=a−abx=a−ab⋅2a2ba2+b2=ab2−a3a2+b2．
故答案为：ab2−a3a2+b2．
根据平移的性质可得△AED≌△CGB，△CHD≌△AFB，△AED∽△DHC，△AFB≌△BGC，在根据正切的定义可得tan∠GEF=tan∠DAE=DEAE=ba，在根据全等三角形的性质可得BG=DC=b，CG=AE=a，DH=BF=x，则HE=GF=b−x，进而得到EF=abGF=ab(b−x)=a−abx；在根据相似三角形的性质可得CH=DH⋅DEAE=bxa，AF=CH=abx，进而得到EF=AF−AE=abx−a，即a−abx=abx−a可得x=2a2ba2+b2，最后代入EF=abx−a即可解答．
本题主要考查了平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
14.【答案】4或254
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解.先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可．
【解答】
解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= 82+62=10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时，ADAB=APAC，即510=AP8，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时，ADAC=APAB，即58=AP10，解得AP=254．
故答案为4或254．
15.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】
解：∵△ABC∽△DEF，
∴S△ABCS△DEF=(ABDE)2，即(ABDE)2=42=2，
解得，ABDE= 2，
故答案为 2．
16.【答案】4:3
【解析】解：∵两个相似三角形的面积比为16:9，
∴它们对应中线的比= 169=43．
故答案为4:3．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
17.【答案】解：(1)把A(2,1)代入反比例解析式得：1=k2，即k=2，
则反比例解析式为y=2x，
∵点B的坐标为(m,−4)，
∴−4=2m，
解得：m=−12，
∴B(−12,−4)，
把A与B坐标代入一次函数解析式得：2a+b=1−12a+b=−4
解得：a=2b=−3，
∴一次函数的解析式为y=2x−3;
(2)由(1)得A(2,1)，B(−12，−4)，
∵ax+b∴x<−12或0(3)P与O不重合，在y轴上存在一点P，使得△PDC与△CDO相似，理由为：过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，如图所示，
∵C、D两点在直线y=2x−3上，
当x=0时，y=−3，当y=0时，x=32，
∴C、D的坐标分别为C(32,0)，D(0,−3)，
∴OC=32，OD=3，CD= OC2+OD2=32 5，
∵△PDC∽△CDO，
∴PDCD=CDDO，
即PD3 52=3 523，
解得：PD=154，
∴OP=DP−OD=154−3=34，
则点P的坐标为(0,34).
综上所示，P的坐标为(0,34).
【解析】本题考查的是反比例函数与一次函数，待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，相似三角形的性质，勾股定理有关知识
(1)把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；把B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，由A与B坐标，利用待定系数法确定出直线AB解析式即可；
(2)根据题意得出不等式的解集即为直线在反比例函数下面的部分，结合图象即可得出结果；
(3)过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，根据直线AB解析式确定出C与D坐标，得到OC，OD，DC的长，由△PDC∽△CDO，得比例求出PD的长，由DP−OD求出OP的长，即可确定出P坐标．
18.【答案】解：(1)∵反比例函数y=ax(x>0)的图象于A(4,−8)，
∴k=4×(−8)=−32．
∵双曲线y=ax过点B(m,−2)，
∴m=16．
由直线y=kx+b过点A，B得：4k+b=−816k+b=−2,
解得，k=12b=−10,
∴反比例函数关系式为y=−32x，一次函数关系式为y=12x−10．
(2)观察图象可知，当4(3)在直线y=12x−10中，令y=0，则x=20，
∴C(20,0)，
∴OC=20，AC= (20−4)2+82=8 5，BC= (20−16)2+22=2 5，
AO= 42+−82=4 5，
∴AO2+AC2=80+320=400=OC2
∴△OAC为直角三角形
∴OA⊥AB
四边形是矩形时分三种情况①当PA⊥AB时
∵OA⊥AB
∴P点以O点重合
∴P点坐标为(0,0)
②当PB⊥AB时
设P(m,0)，则PC=20−m，
∵∠PBC=∠OAC=90°，∠PCB=∠OCA
∴△BCP∽△ACO，
∴PCOC=BCAC，即20−m20=2 58 5，，
∴m=15，
此时P(15,0)，
③当∠APB=90°时
设P(m,0)，作AM⊥OC，BN⊥OC
∴∠AMP=∠BNP=90°
∵A(4,−8)，B(16,−2)
∴AM=8，BN=2，PM=m−4，NP=16−m
∵∠APB=90°
∴∠APM+∠BPN=90°
∵∠MAP+∠APM=90°
∴∠MAP=∠BPN
∴△APM∽△PBN，
∴AMPN=PMBN，即816−m=m−42，
解得：m=10±2 5
此时P(10+2 5,0)或(10−2 5,0)
综上，四边形是矩形时P点的坐标为(0,0)，(15,0)，P(10+2 5,0)或(10−2 5,0)．

【解析】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及反比例函数和一次函数的交点问题，这里体现了数形结合的思想．
(1)将点A(4,−8)，B(m,−2)代入反比例函数y=ax(x>0)中，可求m、a；再将点A(4,−8)，B(m,−2)代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；
(2)根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值小于反比例函数的值时x的范围；
(3)根据矩形形的性质，分类讨论，即可得出结论．
19.【答案】解：以AD为边向下作等边△ADE，
作出等边△ADE的外接圆，圆与BC的交点即为所求点．
即图中的点P，点P′即为所求作的点.
【解析】本题考查圆周角定理及其推论，用尺规作图作三角形外接圆和相似三角形的性质.关键是抓住∠B=∠C=60°且△ABP∼△PCD，把问题转化成在BC边上找一点P使∠APD=60º，然后根据圆周角定理同弧所对的圆周角相等，作出等边三角形的外接圆和直线BC的交点即可解答．
20.【答案】(1)证明：如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，AC= 3，
∵AD=2CD，
∴CD=13AC= 33,AD=2 33，
∵BD= BC2+CD2= 1+13=2 33，
∴AD=BD，
∵将△ABD沿直线BD翻折，
∴BD=ED，
∴AD=BD=ED，
∴点D是△ABE的外心；
(2)如图，
∵△ADB沿直线BD翻折后点A落在点E处，
∴∠ABD=∠EBD，AD=DE，AB=BE，
连接AE，
∵△ADE与△BCD相似，
∴∠ADE=∠BCD=90°，
∴AD⊥ED，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+45°=75°，
在△ABE中，∠ABE=180°−2×75°=30°，
∴∠ABD=12∠ABE=12×30°=15°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=90°−30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=60°−15°=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BC=1，
∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×1=2，
∴AC= AB2−BC2= 22−12= 3，
∴AD=AC−CD= 3−1，
∴AE= 2AD= 2( 3−1)= 6− 2．

【解析】【分析】(1)根据含30度角的直角三角形求出AC的长，证明AD=BD=ED，即可得点D是△ABE的外心；
(2)根据相似三角形对应边的比相等列式，即可求出AE的长．
本题考查了相似三角形的性质，含30度角的直角三角形，翻折变换，勾股定理，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的外心．
21.【答案】由题意，得AP=t cm，BP=(6−t)cm，BQ=2t cm，AB=6 cm，BC=8 cm．
当△PBQ∽△ABC时，PBAB=BQBC，
即6−t6=2t8，解得t=125．
当△PBQ∽△CBA时，PBBC=BQAB，
即6−t8=2t6，解得t=811．
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是125或1811．

【解析】见答案
22.【答案】【小题1】
解：连接BC，OC，由OD平分∠CDB，可证得△OCD≌△OBD，∴CD=BD，∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴AC // OD；
【小题2】
∵AC // OD，∴OACD=PAPC=56，设OA=OB=5x，则CD=6x，由△PAC∽△PDB，得PAPD=PCPB，∴PA·PB=PC·PD，即5(5+10x)=6(6+6x)，
解得x=1114，∴OA=5x=5514，即⊙O的半径为5514．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
23.【答案】解：由题意可求得B(5,0)，C(0,−52)．
①当△CDE∽△BCO时，∠DCE=∠CBO，
∴CD // AB，∴由对称性可得D(4,−52)；
②当△CDE∽△CBO时，∠BCO=∠DCE，作BF // CD交y轴于点F，
则∠FBC=∠DCE=∠BCO，∴FC=FB.设OF=t，则FB=t+52，由OF2+OB2=FB2，得52+t2=(t+52)2，解得t=154，∴F(0,154)，
∴可求得直线FB：y=−34x+154，
∴直线CD：y=−34x−52，
联立{=12x2−2x−52,y=−34x−52,可求得D52,−358．
∴点D的坐标为(4,−52)或52,−358．

【解析】见答案
24.【答案】解：(1)由运动知，AP=4tcm，CQ=2tcm，
∵ AC=20cm， ∴ CP=(20−4t)cm，
∵ 点P在AC上运动，
∴ 4t≤20，即t≤5，
∵ 点Q在BC运动，
∴ 2t≤15，
∴ t≤7.5，
∴ 0≤t≤5，
故答案为：CQ=2t cm，CP=(20−4t)cm，0≤t≤5；
(2)在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，
PQ2+CP2=CQ2 ，
∴(4 10)2=(20−4t)2+(2t)2 ，
解得： t=2 或 t=6 (舍去)，
故答案为：2；
(3) ∵ 以点C，P，Q为顶点的三角形与 ΔABC 相似，且∠C=∠C=90°，
∴①△CPQ∽△CAB，
∴CPAC=CQBC ，
∴20−4t20=2t15 ，
∴ t=3，
②△CPQ∽△CBA，
∴CPBC=CQAC ，
∴20−4t15=2t20 ，
∴t=4011 ，
即当t为3或 4011 时，以点C，P，Q为顶点的三角形与 ΔABC 相似，
故答案为：3或 4011 ．

【解析】略
25.【答案】解：设运动时间为t秒(0∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= 62+82=10．
当△BPQ∽△BAC时，BPBA=BQBC，即5t10=8−4t8，解得t=1(秒)；
当△BPQ∽△BCA时，BPBC=BQBA，即5t8=8−4t10，解得t=3241(秒)．
即当t=1秒或3241秒时，△BPQ与△ABC相似．
【解析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的也相等．考查了分类讨论的思想和利用代数法解决动点问题．设运动时间为t秒(0当△BPQ∽△BCA时，根据相似三角形的性质得5t8=8−4t10；然后分别解方程求出t的值即可．