专题02 等式与不等式（15区真题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

这是一份专题02 等式与不等式（15区真题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2024·上海杨浦·统考一模）已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的性质判断即可.
【详解】因为,是定义在上的偶函数，
所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意；
因为是定义在上单调递增的奇函数，
所以当实数满足时，则，故符合题意；
因为在上单调递减，
所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意.
故选：.
【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带特殊值说明不等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大小.对于选择题我们一般采用排除法.
2．（2024上·上海松江·高三统考期末）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【分析】借助不等式的性质判断即可.
【详解】对A：因为，可能，故错误；
对B：当时，若，则，故错误；
对C：当，时，则，故错误；
对D：若，，则，故正确.
故选：D.
3．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质并结合特殊值法，即可逐项判断.
【详解】对A、B：由，不妨设，，则，，故A、B项错误；
对于C：由，所以，故C项错误；
对于D：由，所以，故D项正确.
故选：D.
4．（2024·上海闵行·统考一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.
【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立；
对于C，取，满足，则，
当时，，故C中不等式不一定成立；
对于D，由，由于在R上单调递增，则成立，
故选：C
5．（2024·上海崇明·统考一模）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】ABD举反例即可判断，C结合反比例函数即可判断.
【详解】对A，若，则，但，A错误；
对B，若，则，但，B错误
对D，若，则，，D错误；
对C，结合反比例函数知其在单调递减，则，有，C正确.
故选：C
二、填空题
6．（2024上·上海松江·高三统考期末）已知，则的最小值为
【答案】
【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以且，
所以，
当时等号成立.
故答案为：
7．（2024·上海嘉定·统考一模）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，准确计算，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
8．（2024·上海徐汇·统考一模）若实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由，
当且仅当时取得最小值，即的最小值为2.
故答案为：2
9．（2024·上海嘉定·统考一模）已知实数a、b满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】运用基本不等式进行求解即可.
【详解】由且且a、b异号，
由，
所以，
当且仅当时取等号，
即当或时取等号，
故答案为：
10．（2024·上海杨浦·统考一模）已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题得,，根据组合数公式和基本不等式即可求解.
【详解】,
=,
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为，
故答案为：.
11．（2024·上海长宁·统考一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题，
注意到，整理得，
原题意等价于“任意，使得”是真命题，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
故答案为：.
12．（2024·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】先由数量积的定义推得，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解.
【详解】依题意，设与的夹角为，，
因为，，所以，即，
则，所以，
因为对任意的，都有成立，
所以，即，即对于恒成立，
故，又，解得，
综上，，则的最小值为.
故答案为：.
13．（2024·上海崇明·统考一模）已知正实数满足，，则当取得最小值时， ．
【答案】
【分析】将转化为与两点间距离的平方，进而转化为与圆心的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.
【详解】可将转化为与两点间距离的平方，
由，得，
而表示以为圆心，1为半径的圆，为圆上一点，
则与圆心的距离为：，
当且仅当，即时等号成立，
此时与圆心的距离最小，即与两点间距离的平方最小，
即取得最小值.
当时，，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆上的点到上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.
三、问答题
14．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）已知函数，其中．
(1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可．
（2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题.
【详解】（1）函数定义域为R，若是奇函数，则，解得，
此时，，符合题意，
故.
（2）当时，，
由，则，当且仅当，即时等号成立，
所以，又不等式恒成立，得，
则实数的取值范围为.
15．（2024上·上海虹口·高三统考期末）已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据已知控制函数的定义，即可得出结论；
（2）设，，由其导数得出其在上的最大值为0，则，，变形化简得出，而在区间上的值域为，即可证明；
（3）由上面两问可看出控制函数可能是原函数的导数，证明，根据不等式的运算可以证明，发现控制函数可能是原函数的导数去掉常数项.
【详解】（1）对任意，则，且，
故是函数的一个控制函数；
（2）因为，则，
则，
，，
设，
在上，在上，
则在单调递减，在上单调递增，
最大值，
，，，，，
，，
则，
，即，
同理，，
，即
综上：，
，在区间上的值域为，
则在区间上有实数解.
（3），则，其中
，
，
，
，，
，则，即，
同理，
即，
则是的一个控制函数.
【点睛】关键点睛：对于函数的新定义题要理解好定义的内容，不等式运算时注意不等式的要求，变号时要多注意，一般的大题在前面的问题和后面的问题有联系，后面的问题没有思路时看看前面的问题，