浙江省瑞安市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份浙江省瑞安市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分共150分，考试时间:120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.椭圆的焦点坐标是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，则
3.设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.无论取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6.已知点A （2,3）、B （－5,2），若直线l过点P （－1,6），且与线段AB不相交，
则直线l斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.点P从O出发, 按逆时针方向沿周长为的图形运动一周, 点O 、P 的距离（）与点P 走过的路程()的函数关系如图所示.那么点P所走过的图形是图中的( ).
A．B．C．D．
8.黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，是线段的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.设为正实数，数列满足，,则（ ）
A.任意，存在， 使得 B.存在，存在， 使得
C.任意，存在，使得 D.存在，存在，使得
二、填空题 本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11.已知为实数，直线，直线，
(1)若，则__________；
(2)若，则__________．
12.在数列中，是方程的两根，表示数列的前项和
(2)若是等比数列，则_______;
(1)若是等差数列，则 .
13.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为_________.

14.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_______；平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________.
15.设等比数列的前项和是，若,则________.
16.已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，
若,则实数的取值范围是
17.已知椭圆的方程为，若为的右焦点，为的上顶点，为上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为__________．
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.已知：实数使得椭圆的离心率.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19.点是圆上一动点，点.
（Ⅰ）若，求直线的方程；
（Ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为，求的取值范围.
20.如图，已知四棱锥中，底面是矩形，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，
若对任意的，恒成立，求的取值范围.
22.已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．
2019级高一期末考试——数学试题答案解析
（本试卷满分共150分，考试时间:120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1--5 B C C A D 6--10 C B A D D
二、填空题 本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11.【答案】 4 -9 12. 【答案】(1). -5 (2). 18
13.【答案】(1). (2). 14.【答案】
15.【答案】 16.【答案】 17.【答案】
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.已知：实数使得椭圆的离心率.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【试题解析】
（1）当时，∵，∴，∴，
当时，∵，∴解得.
综上所述实数的取值范围是或.
（2）∵，是的充分不必要条件，
∴. 所以，解得.
19.点是圆上一动点，点.
（Ⅰ）若，求直线的方程；
（Ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为，
求的取值范围.
解：（Ⅰ）.
∵，，，∴，是的切线.
设直线，即，∴，解得：.
∴直线的方程为：.
（Ⅱ）∵，∴在以为直径的圆上
，设，，，
与有交点，∴.
20.如图，已知四棱锥中，底面是矩形，
，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）如图，取，的中点，，连接，，，
因为，，所以，，，
又，所以，，又因为，所以，
所以，即，
平面，
所以平面，而平面，所以平面平面；
（2）设到平面的距离为，因为，，
所以，由（1），，又，所以，平面，
所以平面，因为，所以点到平面的距离为，
所以，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
21.已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
（1）证明：因为，所以
即，则
从而数列是以6为首项，2为公比的等比数列
（2）解：由（1）知，即
所以
当为偶数时，
当为奇数时，
当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则；
当为奇数时，是递增的，此时，则.
综上，的取值范围是
22.已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．
【详解】（1）由题意，椭圆过点，即，解得，
由离心率为，又由，解得，所求椭圆方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，
则，所以，解得，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，得，
设，则 （*），
则，
将*式代入化简可得：，即，整理得，
代入直线方程，得，
即，联立方程组，解得，恒过定点.