高考数学复习核心专题突破(三)　微专题6　数列的综合应用（导学案）

这是一份高考数学复习核心专题突破(三)　微专题6　数列的综合应用（导学案），共23页。
微专题6 数列的综合应用
【课程标准】
1.熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决一些等差与等比数列之间、数列与函数、不等式之间的综合应用问题.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用相关知识解决.
【题型一】等差与等比数列的综合问题
[典例1]记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
【解题提示】由于已知条件中含S2=2,S3=-6,因此想到利用S2=a1+a2,S3=a1+a2+a3和等比数列的通项公式求解;而判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列,可考虑等差数列的等差中项,利用2Sn=Sn+1+Sn+2进行证明.
解析：(1)设{an}的首项为a1,公比为q.
由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=−6,
解得q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由(1)可得Sn=a1(1−qn)1−q
=-23+(-1)n2n+13,
由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3−2n+23
=2[-23+(-1)n2n+13]=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
【方法提炼】
等差、等比数列综合问题的求解策略
1.基本方法:求解等差、等比数列组成的综合问题,首先要根据数列的特征设出基本量,然后根据题目特征使用通项公式、求和公式、数列的性质等建立方程(组),确定基本量;
2.基本思路:注意按照顺序使用基本公式、等差中项、等比中项以及证明数列为等差、等比数列的方法确定解题思路.
【对点训练】
已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求b1+b3+b5+…+b2n−1.
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a1=1,a2+a4=10,所以2a1+4d=10,
解得d=2,所以an=2n-1.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2b4=a5,所以b1q·b1q3=9.
又b1=1,所以q2=3.
所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.
则b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=3n−12.
【加练备选】
在①b2b3=a16,②b4=a12,③S5-S3=48这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.若问题中的正整数k存在,求k的值;若不存在,说明理由.
设正项等比数列bn的前n项和为Sn,an是等差数列, ,b3=a4,a1=2,a3+a5+a7=30,是否存在正整数k,使得Sk+1=Sk+bk+32成立?
解析：因为在等差数列an中,
a3+a5+a7=3a5=30,所以a5=10,
所以公差d=a5−a15−1=2,
所以an=a1+n−1d=2n.所以b3=a4=8.
若存在正整数k,使得Sk+1=Sk+bk+32成立,
即bk+1=bk+32成立,
设正项等比数列bn的公比为qq>0,
若选①,因为b2b3=a16,所以b2=4,
所以q=b3b2=2,所以bn=2n,
所以当k=5时,满足b6=b5+32,即Sk+1=Sk+bk+32成立.
若选②,因为b4=a12=24,所以q=b4b3=3,
所以bn=8×3n-3,所以8×3k-2=8·3k-3+32,
所以方程3k-3=2无正整数解,
所以不存在正整数k使得Sk+1=Sk+bk+32成立.
若选③,因为S5-S3=48,所以b4+b5=48,
所以8q+8q2=48,所以q2+q-6=0,
所以解得q=2或q=-3(舍去),所以bn=2n,
所以当k=5时,满足b6=b5+32,即Sk+1=Sk+bk+32成立.
【题型二】数列与函数、向量的综合
[典例2](1)函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=( )
A.18B.21C.24D.30
解析：选B.因为函数y=x2(x>0)的导数为y'=2x,
所以函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线方程为y-ak2=2ak(x-ak).
令y=0,可得x=12ak,即ak+1=12ak,
所以数列{an}为等比数列,an=16×(12)n-1.
所以a1+a3+a5=16+4+1=21.
(2)记函数f(x)=sin 2nx-cs nx在区间[0,π]内的零点个数为an(n∈N*),则数列{an}的前20项的和是( )
A.430B.840C.1 250D.1 660
解析：选A.设f(x)=0,可得sin 2nx=cs nx,
即2sin nxcs nx=cs nx,
即cs nx=0或sin nx=12,
可得nx=kπ+π2,k∈Z,
nx=2lπ+π6或nx=2lπ+5π6,l∈Z,
由于x∈[0,π],
当n=1时,a1=1+2=3;当n=2时,a2=2+2=4;当n=3时,a3=3+4=7;当n=4时,a4=4+4=8;当n=5时,a5=5+6=11;当n=6时,a6=6+6=12;
…,
可得数列{an}的前20项的和为
(1+2+3+4+…+20)+(2+4+6+8+…+20)+(2+4+6+8+…+20)
=12×20×21+12×10×22×2=210+220=430.
(3)数列an满足a1=1,a2=5,若m=1,an+1+1,n=an+an+2,−2,m·n=0,则数列an通项公式为 .
解析：由已知m·n=0,
得1×an+an+2-2an+1+1=0,
即an+2−an+1-an+1−an=2,
则an+1−an是首项为a2-a1,公差为2的等差数列,
则an+1-an=a2−a1+n−1×2=2n+1,
于是an=an−an−1+an−1−an−2+…+a2−a1+a1,
=2n+2n−1+…+2×2+1
=2n+n−1+…+2+1=n2+n-1.
答案:an= n2+n-1
(4)设f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”,经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心,且拐点就是对称中心.若f(x)=13x3-12x2+3x+512,则函数f(x)的对称中心为 ;
f(12 023)+f(22 023)+f(32 023)+…+f(2 0222 023)= .
解析：f'x=x2-x+3,f″x=2x-1,
令f″x=0,解得x=12.
又f12=13×18-12×14+32+512=116,
所以函数fx的对称中心为12,116,
所以fx+f1−x=113,
令S=f(12 023)+f(22 023)+f(32 023)+…+f(2 0222 023),
则S=f(2 0222 023)+f(2 0212 023)+f(2 0202 023)+…+f(12 023),
所以2S=2 022×113,因此S=3 707.
答案:12,116 3 707
【方法提炼】
数列与函数、向量的综合问题的求解策略
(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题;
(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形;
(3)涉及数列与三角函数有关的问题,常利用三角函数的周期性等特征,寻找规律后求解;
(4)涉及数列与向量有关的综合问题,应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式求解.
【对点训练】
1.(2023·安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d>0,a6和a8是函数f(x)=154ln x+12x2-8x的极值点,则S8=( )
A.-38B.38C.-17D.17
解析：选A.因为f(x)=154ln x+12x2-8x,
所以f'(x)=154x+x-8=x2−8x+154x
=(x−12)(x−152)x.
令f'(x)=0,解得x=12或x=152.
因为数列{an}的公差d>0,所以数列{an}是单调递增数列,
又a6和a8是函数f(x)的极值点,
所以a6=12,a8=152,所以a1+5d=12,a1+7d=152,
解得a1=−17,d=72.所以S8=8×(-17)+8×(8−1)2×72=-38.
2.(2023·通辽模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则a5= ,b10= .
解析：因为an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,
所以an,an+1是方程x2-bnx+2n=0的两个根,
根据根与系数的关系,可得an·an+1=2n,an+an+1=bn,
由an·an+1=2n,可得an+1·an+2=2n+1,
两式相除可得an+2an=2,
所以a1,a3,a5,…成公比为2的等比数列,a2,a4,a6,…成公比为2的等比数列,又由a1=1,得a2=2,所以a5=1×22=4,a10=2×24=32,a11=1×25=32,所以b10=a10+a11=32+32=64.
答案:4 64
【加练备选】
对正整数n,设抛物线y2=2(2n+1)x,过点Pn(2n,0)任作直线ln交抛物线于An,Bn两点,则数列{}的前n项和公式是( )

A.-n(n+1)B.n(n+1)
C.n(n+1)2D.n(n+1)2
解析：选A.设直线方程为x=ty+2n,
代入抛物线方程得
y2-2(2n+1)ty-4n(2n+1)=0,
设An(xn1,yn1),B(xn2,yn2),则
·=xn1xn2+yn1yn2
=(t2+1)yn1yn2+2nt(yn1+yn2)+4n2,
由一元二次方程根与系数的关系可知
yn1+yn2=2(2n+1)t,yn1·yn2=-4n(2n+1).
代入上式可得·
=-4n(2n+1)(t2+1)+4n(2n+1)t2+4n2
=-4n2-4n,故=-2n,
故数列{}的前n项和
Sn=-2(1+2+3+…+n)=-n(n+1).
【题型三】数列与不等式的综合
角度1 数列中不等式的证明
[典例3]已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=nan+2an-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{1an2}的前n项和为Tn,求证:Tn