专题08 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（人教版）

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在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：

如图1 如图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·西安·统考一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为 ；
（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；
问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）
例2．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，点P、点Q分别在边上，且，连接和，则的最小值是_______．
例3．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________．

例4．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，、为对角线上的动点，且，连接、，求周长的最小值．

例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为______．
模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法）
（）如图，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．
（）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．（保留作图过程）
（）如图，在一条河的两岸有，两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．（保留作图过程）
例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为

A．B．C．14D．12
例3．（2023·内江·中考模拟）如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

例6．（2023·山东济南·统考二模）如图，在矩形中，，，若点E是边上的一个动点，过点E作且分别交对角线、直线于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ．

课后专项训练
1．（2023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（ ）
A．5B．C．6D．
2．（2023下·江苏无锡·八年级校考期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
3．（2023·安徽·统考一模）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（ ）
A．25B．24C．D．13
4．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3B．2＋2C．2＋2D．5＋
5．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．3
6．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．

7．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．

8．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；

9．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ．
10．（2023·广西·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ．
11．（2023下·江苏·八年级统考期末）如图，已知菱形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，过点作的垂线，与边交于点，连接．若，，则的最小值为 ．

12．（2023下·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E为的中点，点M、N为边上两个动点，且，则的最小值是 ．

13．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在菱形中，，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，，则周长的最小值为 ．

14．（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为
15．（2022下·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为
16．（2023·福建·校联考一模）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F为矩形内部的两动点，且满足EF∥BC，EF＝4，S四边形BEFC＝26，则BE+EF+FC的最小值等于 ．
17．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．

18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．
19．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接．(1)如图1，求的长；(2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值。
20．（2023下·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）问题背景
（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____．
问题探究（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长．