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初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式一课一练
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这是一份初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式一课一练，共53页。
二次根式的判别
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是( )
A．B．C．D．
3．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）下列式子一定不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
二次根式有意义的条件
例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期末）使有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）要使有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．是一切实数C．D．
2．（23-24八年级上·四川泸州·期末）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．且
同类二次根式
例题：（23-24九年级上·河南许昌·期末）下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建南平·期末）下列二次根式中能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·山东德州·期末）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下列与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
最简二次根式的判别
例题：（23-24九年级上·四川眉山·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
利用二次根式的性质化简
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列各组数中，相等的一组数是（ ）
A．与B．与C．与D．与
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简 的结果是 ．
比较二次根式的大小
例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）比较大小： ．（用、或连接）
2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小 （用，，号填写）．
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ．
二次根式加减乘除混合运算
例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）计算：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）计算：
(1)；
(2)．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算：
(1)；
(2)．
已知字母的值，化简求值
例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简， 再求值：，其中
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）已知，求代数式的值．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简再求值：，其中．
3．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
二次根式的分母有理化
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
．
(1)模仿材料中的计算方法，化简______；
(2)求解：；
(3)为正整数，且，求的值．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
新定义型二次根式的运算
例题：（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·山西长治·期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值．
2．（19-20八年级上·辽宁沈阳·期末）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
3．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式．
(1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ；
(2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式．
二次根式中的规律探究问题
例题：（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：__________；
(2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(3)请利用你发现的规律，计算：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)若；则______，______．
(2)的值为_________．
(3)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
2．（22-23八年级下·辽宁·期末）阅读下列解题过程：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
．．．．．．
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：______；
(2)按照你所发现的规律，请你写出第（为正整数）个等式：______；
(3)利用这一规律计算，．
一、单选题
1．（23-24九年级上·河南周口·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）估计的值在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
3．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（23-24八年级上·广西桂林·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·广东深圳·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
9．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知分别为等腰三角形的两条边长，且满足，此三角形的周长为 ．
10．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
三、解答题
11．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）计算：
(1)；
(2)．
12．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）实数在数轴上的对应点表示出来如图所示．请化简：．
14．（23-24八年级上·广西来宾·期末）先化简再求值：，其中，．
15．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)如果规定“⊙”为一种新的运算：，例如：，仿照例子计算，当时，的值．
16．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)化简：_______；______．
(2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
17．（22-23八年级下·江西赣州·期末）观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题：
(1)按照这个规律，写出第④个式子：__________；
(2)若式子（为正整数）符合以上规律，则__________；
(3)请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：__________；
(4)请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．
18．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢?如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如：化简，∵，且，，∵，．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)化简：；
(3)计算：．
19．（23-24八年级上·广西贵港·期末）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可）
(2)计算：；
(3)若，求的值.
二次根式之十一大题
二次根式的判别
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期末）列式子中，是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如（）”可进行求解．
【详解】解：由题意可知是二次根式；
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的识别．解题的关键是掌握二次根式的定义．根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】
解：由二次根式的定义可知：四个选项只有是二次根式，，的被开方数是负数，不符合题意，是3次根式，不符合题意；
故选A．
2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，根据二次根式的性质逐个判断即可得到答案
【详解】解：，故A选项不符合题意，
根指数是3，故B选项不符合题意，
∵，
∴，故C选项不符合题意，
∵，
∴，故D选项符合题意，
故选D．
3．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）下列式子一定不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫二次根式进行判断．
【详解】解：．是二次根式，故本选项不符合题意；
B．是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是二次根式，故本选项不符合题意；
D．中，不是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
二次根式有意义的条件
例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期末）使有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零即可．
【详解】解：若有意义，
则，
解得，
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）要使有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．是一切实数C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴．
故选D．
2．（23-24八年级上·四川泸州·期末）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不为0，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
【详解】解： 由题意得，且，
解得且．
故选：A．
3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴且，
故选：B．
同类二次根式
例题：（23-24九年级上·河南许昌·期末）下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式性质、最简二次根式定义、同类二次根式定义等知识，将选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式定义判定即可得到答案，熟记二次根式性质及同类二次根式定义是解决问题的关键．
【详解】解：；；；
与是同类二次根式，可以合并，
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建南平·期末）下列二次根式中能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】、由，则与可以进行合并，符合题意；
、由，则与不可以进行合并，不符合题意；
、由，则与不可以进行合并，不符合题意；
、由，则与不可以进行合并，不符合题意；
故选：．
2．（23-24八年级上·山东德州·期末）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，二次根式的性质；把选项中不是最简二次根式的化为最简二次根式即可判断．
【详解】解：，，
则与是同类二次根式，
故选：C．
3．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下列与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的定义是解答本题的关键．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，即可判断答案．
【详解】选项A，，与不是同类二次根式，不符合题意；
选项B，，与是同类二次根式，符合题意；
选项C，与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意；
选项D， 与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意；
故选B．
最简二次根式的判别
例题：（23-24九年级上·四川眉山·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．
【详解】解：A、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念．最简二次根式应该根号里没分母（或小数），分母里没根式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、，不能化简，是最简二次根式，本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：B．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】A选项：，故不是最简二次根式；
B选项：，故不是最简二次根式；
C选项：是最简二次根式；
D选项：，故不是最简二次根式．
故选：C．
3．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本题考查最简二次根式，掌握二次根式的性质，理解最简二次根式的定义是正确解答的前提．根据二次根式的性质将二次根式进行化简，再根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】
解：是最简二次根式，因此选项A符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C不符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：
利用二次根式的性质化简
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：，故A选项不正确，符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列各组数中，相等的一组数是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】D
【分析】本题主要考查实数大小比较以及二次根式的性质化简，分别化简各数后再进行比较即可．
【详解】解：A．，故选项Ａ不符合题意；
B．，，所以，故选项Ｂ不符合题意；
C．，故选项Ｃ不符合题意；
D．，，所以，，故选项D正确，
故选：D
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．
【详解】解：由图知：，
，，
原式
．
故选：．
3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了化简绝对值，化简二次根式，根据数轴上点的位置可得，得出，即可求解．
【详解】解：依题意，，，
∴，
∴，
故答案为：．
比较二次根式的大小
例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键．
【详解】解：∵，而，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）比较大小： ．（用、或连接）
【答案】
【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案．
【详解】解：，，且，
，即，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小 （用，，号填写）．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较与的平方即可得出结果．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案为：．
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得．
【详解】解：，
∵，
，即，
故答案为：．
二次根式加减乘除混合运算
例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的运算：
（1）根据二次根式加减的运算法则计算即可；
（2）根据二次根式四则混合运算法则计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查算术平方根、立方根，平方差公式以及实数的运算，理解算术平方根、立方根的定义，掌握平方差公式的结构特征以及实数的运算法则是正确解答的前提．
（1）根据算术平方根、立方根的定义以及二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据平方差公式，二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）
解：原式
；
（2）
解：原式
．
2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可；
（2）先算完全平方公式和平方差公式，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
已知字母的值，化简求值
例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简， 再求值：，其中
【答案】；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先根据分式四则混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）已知，求代数式的值．
【答案】3
【分析】根据完全平方公式可以化简题目中的式子，然后根据，可以得到，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，掌握分式和二次根式运算的运算法则是解题关键．先算括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝
3．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得：，，，然后利用完全平方公式将转化为，再代入相应的值计算即可；
（2）利用平方差公式将将转化为，再代入相应的值计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
，
∴
；
（2）由（1）知：，，
∴
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式，运用了恒等变换和整体代入的思想．解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
二次根式的分母有理化
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可；
（2）求出的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式分母有理化计算即可；
（3）原式各项进行分母有理化，计算即可求出值．
【详解】（1）解：（1）
；
（2）∵a是的小数部分，且，
∴，
∴；
（3）
．
【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式和估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式和二次根式的混合运算是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
．
(1)模仿材料中的计算方法，化简______；
(2)求解：；
(3)为正整数，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，完全平方公式的变形求值：
（1）仿照题意进行求解即可；
（2）先证明，再把所求式子裂项，最后化简即可得到答案；
（3）先求出，进而得到，则可推出；求出，，得到，即可求出．
【详解】（1）解：
，
故答案为：．
（2）解：，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．
（1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
（3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值．
【详解】（1）解：
；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，即，
，，
．
新定义型二次根式的运算
例题：（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用题中新定义的运算公式代值求解，进而得出答案，正确理解题中新定义运算公式是解题关键．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·山西长治·期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值．
【答案】
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴根据题中的新定义得：
，
即：
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
2．（19-20八年级上·辽宁沈阳·期末）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由新定义运算得，再求算术平方根即可；
（2）由新定义运算得方程组，再用加减法求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：依题意得：
，
由得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查新定义，算术平方根，用加减法解二元一次方程组，理解新定义和熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键，注意整体思想的应用．
3．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式．
(1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ；
(2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】根据“黔一相依”多项式列方程组可得结论；
先计算对应，，，，可得，，从而得结论．
【详解】（1）解：根据题意得，解得，
的“黔一相依”多项式为，
故答案为：；
（2）证明：当时，，
，
，
若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式．
【点睛】本题考查了对新定义：“黔一相依”多项式的理解和掌握，二次根式的化简等知识，解决本题的关键是理解“黔一相依”多项式的定义．
二次根式中的规律探究问题
例题：（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：__________；
(2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(3)请利用你发现的规律，计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数式规律探究，二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系是解题的关键．
（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可得出第四个式子；
（2）根据（1）找的规律进行计算即可；
（3）根据规律得出算式，最后求出即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：根据规律得：；
（3）解：
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)若；则______，______．
(2)的值为_________．
(3)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，证明见详解；
【分析】（1）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第8个等式，即可答案；
（2）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第100个等式：即可答案；
（3）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第个等式：，再证明即可
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，
，
故答案为：；
（3）解：由题意可得，
第n个等式为：，
证明：左边
右边，
∴．
2．（22-23八年级下·辽宁·期末）阅读下列解题过程：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
．．．．．．
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：______；
(2)按照你所发现的规律，请你写出第（为正整数）个等式：______；
(3)利用这一规律计算，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律进行解答即可；
（2）由规律得出一般情况，用含有的式子表达即可；
（3）利用规律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
第4个等式为：，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
第（为正整数）个等式为：，
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质以及等式所呈现的规律是解题的关键．
一、单选题
1．（23-24九年级上·河南周口·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
根据同类二次根式的定义即可解答．
【详解】解：A．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；
B．与是同类二次根式，故本选项正确，符合题意；
C．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；
D．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意．
故选：B．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）估计的值在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据二次根式的乘法进行计算，再根据无理数的估算得出答案．
【详解】解：
∵，
∴，
∴，
∴估计的值在8到9之间，
故选：C．
3．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可．
【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方开的尽因式或因数，进行判断即可．
【详解】解：①，②，③，④，⑤中，是二次根式的是，，共2个；
故选B．
5．（23-24八年级上·广西桂林·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形的面积公式可求得结果，准确化简二次根式是解题的关键．
【详解】解：∵的三边长分别为，
∴，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24八年级上·广东深圳·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解： ， ，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键．
根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，解得：且．
故答案为：且．
8．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得，
故答案为：．
9．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知分别为等腰三角形的两条边长，且满足，此三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的意义、三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：由
则
即
分别为等腰三角形的两条边长
故该等腰三角形是以为腰，为底
故周长为：
故答案为：．
10．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，分母有理化，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：
三、解答题
11．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）实数在数轴上的对应点表示出来如图所示．请化简：．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，化简算术平方根和绝对值，根据数轴上的数右边比左边的大，判断出实数和式子的符号，再进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴原式．
14．（23-24八年级上·广西来宾·期末）先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简，熟悉混合运算的顺序是解题关键．先算括号，再根据分式计算法则化简，代入x，y值即可计算．
【详解】解：原式
当，时，
原式．
15．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)如果规定“⊙”为一种新的运算：，例如：，仿照例子计算，当时，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的除法进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（3）仿照例子根据二次根式的混合运算进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）∵，
∴
．
16．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)化简：_______；______．
(2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】本题主要考查最简二次根 及二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握．
（1）由数轴可得，再根据二次根式的性质进行求解即可；
（2）根据最简二次根式和同类二次根式的定义列方程求解即可．
【详解】（1）由数轴得：，
，
．
故答案为：，；
（2）解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：（不合题意，舍去）或．
∴
17．（22-23八年级下·江西赣州·期末）观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题：
(1)按照这个规律，写出第④个式子：__________；
(2)若式子（为正整数）符合以上规律，则__________；
(3)请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：__________；
(4)请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．
【答案】(1)
(2)4
(3)
(4)见解析
【分析】观察①、②、③三个式子，我们可以发现：等式左边根号里面是一个整数加上一个分数，而且这个整数与等式的序号相同，分数的分子是1，分母比整数多2；等式右边根号外面的整数比等式的序号多1，根号里面的分数就是等式左边的分数．
（1）根据以上规律，可得第4个式子；
（2）利用得出的规律求出与的值，代入原式计算即可；
（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（4）先把代入（3）中的等式，再将等式左右两边的式子化简即可验证．
【详解】（1）由规律可得第4个式子为：．
（2）由并结合规律，得到．
原式．
（3）总结一般性规律得到：
（4）当时，有．
左边右边．
左边=右边．
当n=20时，对应的式子是正确的．
本题第4问还有其他验证方法．不同解法酌情合理给分即可．
【点睛】本题考查数字变化类的规律探索问题以及二次根式的运算．
18．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢?如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如：化简，∵，且，，∵，．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)化简：；
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案；
（2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案；
（3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案．
【详解】（1）解：∵且，
，
，
故答案为：；
∵且，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵且，
，
，
；
（3）解：
，
，，
19．（23-24八年级上·广西贵港·期末）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可）
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，（答案不唯一）
(2)
(3)11
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义，即可求解，
（2）将所求式子，进行分母有理化，即可求解，
（3）参照学习材料二的步骤即可求解，
本题考查了平方差公式的运用，分母有理化，解题的关键是：利用平方差公式，进行分母有理化．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，，
（2）解：
，
故答案为：，
（3）解：．
，
，
，
故答案为：11．
二次根式的判别
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是( )
A．B．C．D．
3．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）下列式子一定不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
二次根式有意义的条件
例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期末）使有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）要使有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．是一切实数C．D．
2．（23-24八年级上·四川泸州·期末）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．且
同类二次根式
例题：（23-24九年级上·河南许昌·期末）下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建南平·期末）下列二次根式中能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·山东德州·期末）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下列与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
最简二次根式的判别
例题：（23-24九年级上·四川眉山·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
利用二次根式的性质化简
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列各组数中，相等的一组数是（ ）
A．与B．与C．与D．与
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简 的结果是 ．
比较二次根式的大小
例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）比较大小： ．（用、或连接）
2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小 （用，，号填写）．
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ．
二次根式加减乘除混合运算
例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）计算：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）计算：
(1)；
(2)．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算：
(1)；
(2)．
已知字母的值，化简求值
例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简， 再求值：，其中
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）已知，求代数式的值．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简再求值：，其中．
3．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
二次根式的分母有理化
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
．
(1)模仿材料中的计算方法，化简______；
(2)求解：；
(3)为正整数，且，求的值．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
新定义型二次根式的运算
例题：（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·山西长治·期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值．
2．（19-20八年级上·辽宁沈阳·期末）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
3．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式．
(1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ；
(2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式．
二次根式中的规律探究问题
例题：（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：__________；
(2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(3)请利用你发现的规律，计算：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)若；则______，______．
(2)的值为_________．
(3)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
2．（22-23八年级下·辽宁·期末）阅读下列解题过程：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
．．．．．．
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：______；
(2)按照你所发现的规律，请你写出第（为正整数）个等式：______；
(3)利用这一规律计算，．
一、单选题
1．（23-24九年级上·河南周口·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）估计的值在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
3．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（23-24八年级上·广西桂林·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·广东深圳·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
9．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知分别为等腰三角形的两条边长，且满足，此三角形的周长为 ．
10．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
三、解答题
11．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）计算：
(1)；
(2)．
12．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）实数在数轴上的对应点表示出来如图所示．请化简：．
14．（23-24八年级上·广西来宾·期末）先化简再求值：，其中，．
15．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)如果规定“⊙”为一种新的运算：，例如：，仿照例子计算，当时，的值．
16．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)化简：_______；______．
(2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
17．（22-23八年级下·江西赣州·期末）观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题：
(1)按照这个规律，写出第④个式子：__________；
(2)若式子（为正整数）符合以上规律，则__________；
(3)请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：__________；
(4)请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．
18．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢?如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如：化简，∵，且，，∵，．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)化简：；
(3)计算：．
19．（23-24八年级上·广西贵港·期末）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可）
(2)计算：；
(3)若，求的值.
二次根式之十一大题
二次根式的判别
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期末）列式子中，是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如（）”可进行求解．
【详解】解：由题意可知是二次根式；
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的识别．解题的关键是掌握二次根式的定义．根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】
解：由二次根式的定义可知：四个选项只有是二次根式，，的被开方数是负数，不符合题意，是3次根式，不符合题意；
故选A．
2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，根据二次根式的性质逐个判断即可得到答案
【详解】解：，故A选项不符合题意，
根指数是3，故B选项不符合题意，
∵，
∴，故C选项不符合题意，
∵，
∴，故D选项符合题意，
故选D．
3．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）下列式子一定不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫二次根式进行判断．
【详解】解：．是二次根式，故本选项不符合题意；
B．是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是二次根式，故本选项不符合题意；
D．中，不是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
二次根式有意义的条件
例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期末）使有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零即可．
【详解】解：若有意义，
则，
解得，
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）要使有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．是一切实数C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴．
故选D．
2．（23-24八年级上·四川泸州·期末）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不为0，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
【详解】解： 由题意得，且，
解得且．
故选：A．
3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴且，
故选：B．
同类二次根式
例题：（23-24九年级上·河南许昌·期末）下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式性质、最简二次根式定义、同类二次根式定义等知识，将选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式定义判定即可得到答案，熟记二次根式性质及同类二次根式定义是解决问题的关键．
【详解】解：；；；
与是同类二次根式，可以合并，
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建南平·期末）下列二次根式中能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】、由，则与可以进行合并，符合题意；
、由，则与不可以进行合并，不符合题意；
、由，则与不可以进行合并，不符合题意；
、由，则与不可以进行合并，不符合题意；
故选：．
2．（23-24八年级上·山东德州·期末）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，二次根式的性质；把选项中不是最简二次根式的化为最简二次根式即可判断．
【详解】解：，，
则与是同类二次根式，
故选：C．
3．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下列与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的定义是解答本题的关键．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，即可判断答案．
【详解】选项A，，与不是同类二次根式，不符合题意；
选项B，，与是同类二次根式，符合题意；
选项C，与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意；
选项D， 与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意；
故选B．
最简二次根式的判别
例题：（23-24九年级上·四川眉山·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．
【详解】解：A、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的概念．最简二次根式应该根号里没分母（或小数），分母里没根式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、，不能化简，是最简二次根式，本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：B．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】A选项：，故不是最简二次根式；
B选项：，故不是最简二次根式；
C选项：是最简二次根式；
D选项：，故不是最简二次根式．
故选：C．
3．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本题考查最简二次根式，掌握二次根式的性质，理解最简二次根式的定义是正确解答的前提．根据二次根式的性质将二次根式进行化简，再根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】
解：是最简二次根式，因此选项A符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C不符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：
利用二次根式的性质化简
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：，故A选项不正确，符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列各组数中，相等的一组数是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】D
【分析】本题主要考查实数大小比较以及二次根式的性质化简，分别化简各数后再进行比较即可．
【详解】解：A．，故选项Ａ不符合题意；
B．，，所以，故选项Ｂ不符合题意；
C．，故选项Ｃ不符合题意；
D．，，所以，，故选项D正确，
故选：D
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．
【详解】解：由图知：，
，，
原式
．
故选：．
3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了化简绝对值，化简二次根式，根据数轴上点的位置可得，得出，即可求解．
【详解】解：依题意，，，
∴，
∴，
故答案为：．
比较二次根式的大小
例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键．
【详解】解：∵，而，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）比较大小： ．（用、或连接）
【答案】
【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案．
【详解】解：，，且，
，即，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小 （用，，号填写）．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较与的平方即可得出结果．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案为：．
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得．
【详解】解：，
∵，
，即，
故答案为：．
二次根式加减乘除混合运算
例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的运算：
（1）根据二次根式加减的运算法则计算即可；
（2）根据二次根式四则混合运算法则计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查算术平方根、立方根，平方差公式以及实数的运算，理解算术平方根、立方根的定义，掌握平方差公式的结构特征以及实数的运算法则是正确解答的前提．
（1）根据算术平方根、立方根的定义以及二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据平方差公式，二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）
解：原式
；
（2）
解：原式
．
2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可；
（2）先算完全平方公式和平方差公式，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
已知字母的值，化简求值
例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简， 再求值：，其中
【答案】；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先根据分式四则混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）已知，求代数式的值．
【答案】3
【分析】根据完全平方公式可以化简题目中的式子，然后根据，可以得到，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，掌握分式和二次根式运算的运算法则是解题关键．先算括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝
3．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得：，，，然后利用完全平方公式将转化为，再代入相应的值计算即可；
（2）利用平方差公式将将转化为，再代入相应的值计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
，
∴
；
（2）由（1）知：，，
∴
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式，运用了恒等变换和整体代入的思想．解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
二次根式的分母有理化
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可；
（2）求出的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式分母有理化计算即可；
（3）原式各项进行分母有理化，计算即可求出值．
【详解】（1）解：（1）
；
（2）∵a是的小数部分，且，
∴，
∴；
（3）
．
【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式和估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式和二次根式的混合运算是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
．
(1)模仿材料中的计算方法，化简______；
(2)求解：；
(3)为正整数，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，完全平方公式的变形求值：
（1）仿照题意进行求解即可；
（2）先证明，再把所求式子裂项，最后化简即可得到答案；
（3）先求出，进而得到，则可推出；求出，，得到，即可求出．
【详解】（1）解：
，
故答案为：．
（2）解：，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．
（1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
（3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值．
【详解】（1）解：
；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，即，
，，
．
新定义型二次根式的运算
例题：（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用题中新定义的运算公式代值求解，进而得出答案，正确理解题中新定义运算公式是解题关键．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·山西长治·期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值．
【答案】
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴根据题中的新定义得：
，
即：
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
2．（19-20八年级上·辽宁沈阳·期末）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由新定义运算得，再求算术平方根即可；
（2）由新定义运算得方程组，再用加减法求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：依题意得：
，
由得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查新定义，算术平方根，用加减法解二元一次方程组，理解新定义和熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键，注意整体思想的应用．
3．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式．
(1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ；
(2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】根据“黔一相依”多项式列方程组可得结论；
先计算对应，，，，可得，，从而得结论．
【详解】（1）解：根据题意得，解得，
的“黔一相依”多项式为，
故答案为：；
（2）证明：当时，，
，
，
若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式．
【点睛】本题考查了对新定义：“黔一相依”多项式的理解和掌握，二次根式的化简等知识，解决本题的关键是理解“黔一相依”多项式的定义．
二次根式中的规律探究问题
例题：（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：__________；
(2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(3)请利用你发现的规律，计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数式规律探究，二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系是解题的关键．
（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可得出第四个式子；
（2）根据（1）找的规律进行计算即可；
（3）根据规律得出算式，最后求出即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：根据规律得：；
（3）解：
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)若；则______，______．
(2)的值为_________．
(3)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，证明见详解；
【分析】（1）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第8个等式，即可答案；
（2）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第100个等式：即可答案；
（3）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第个等式：，再证明即可
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，
，
故答案为：；
（3）解：由题意可得，
第n个等式为：，
证明：左边
右边，
∴．
2．（22-23八年级下·辽宁·期末）阅读下列解题过程：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
．．．．．．
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：______；
(2)按照你所发现的规律，请你写出第（为正整数）个等式：______；
(3)利用这一规律计算，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律进行解答即可；
（2）由规律得出一般情况，用含有的式子表达即可；
（3）利用规律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
第4个等式为：，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
第（为正整数）个等式为：，
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质以及等式所呈现的规律是解题的关键．
一、单选题
1．（23-24九年级上·河南周口·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
根据同类二次根式的定义即可解答．
【详解】解：A．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；
B．与是同类二次根式，故本选项正确，符合题意；
C．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意；
D．，与不是同类二次根式，本选项错误，不符合题意．
故选：B．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）估计的值在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据二次根式的乘法进行计算，再根据无理数的估算得出答案．
【详解】解：
∵，
∴，
∴，
∴估计的值在8到9之间，
故选：C．
3．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可．
【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方开的尽因式或因数，进行判断即可．
【详解】解：①，②，③，④，⑤中，是二次根式的是，，共2个；
故选B．
5．（23-24八年级上·广西桂林·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形的面积公式可求得结果，准确化简二次根式是解题的关键．
【详解】解：∵的三边长分别为，
∴，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24八年级上·广东深圳·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解： ， ，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键．
根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，解得：且．
故答案为：且．
8．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得，
故答案为：．
9．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知分别为等腰三角形的两条边长，且满足，此三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的意义、三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：由
则
即
分别为等腰三角形的两条边长
故该等腰三角形是以为腰，为底
故周长为：
故答案为：．
10．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，分母有理化，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：
三、解答题
11．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）实数在数轴上的对应点表示出来如图所示．请化简：．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，化简算术平方根和绝对值，根据数轴上的数右边比左边的大，判断出实数和式子的符号，再进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴原式．
14．（23-24八年级上·广西来宾·期末）先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简，熟悉混合运算的顺序是解题关键．先算括号，再根据分式计算法则化简，代入x，y值即可计算．
【详解】解：原式
当，时，
原式．
15．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)如果规定“⊙”为一种新的运算：，例如：，仿照例子计算，当时，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的除法进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（3）仿照例子根据二次根式的混合运算进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）∵，
∴
．
16．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)化简：_______；______．
(2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】本题主要考查最简二次根 及二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握．
（1）由数轴可得，再根据二次根式的性质进行求解即可；
（2）根据最简二次根式和同类二次根式的定义列方程求解即可．
【详解】（1）由数轴得：，
，
．
故答案为：，；
（2）解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：（不合题意，舍去）或．
∴
17．（22-23八年级下·江西赣州·期末）观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题：
(1)按照这个规律，写出第④个式子：__________；
(2)若式子（为正整数）符合以上规律，则__________；
(3)请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：__________；
(4)请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．
【答案】(1)
(2)4
(3)
(4)见解析
【分析】观察①、②、③三个式子，我们可以发现：等式左边根号里面是一个整数加上一个分数，而且这个整数与等式的序号相同，分数的分子是1，分母比整数多2；等式右边根号外面的整数比等式的序号多1，根号里面的分数就是等式左边的分数．
（1）根据以上规律，可得第4个式子；
（2）利用得出的规律求出与的值，代入原式计算即可；
（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（4）先把代入（3）中的等式，再将等式左右两边的式子化简即可验证．
【详解】（1）由规律可得第4个式子为：．
（2）由并结合规律，得到．
原式．
（3）总结一般性规律得到：
（4）当时，有．
左边右边．
左边=右边．
当n=20时，对应的式子是正确的．
本题第4问还有其他验证方法．不同解法酌情合理给分即可．
【点睛】本题考查数字变化类的规律探索问题以及二次根式的运算．
18．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢?如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如：化简，∵，且，，∵，．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)化简：；
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案；
（2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案；
（3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案．
【详解】（1）解：∵且，
，
，
故答案为：；
∵且，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵且，
，
，
；
（3）解：
，
，，
19．（23-24八年级上·广西贵港·期末）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可）
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，（答案不唯一）
(2)
(3)11
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义，即可求解，
（2）将所求式子，进行分母有理化，即可求解，
（3）参照学习材料二的步骤即可求解，
本题考查了平方差公式的运用，分母有理化，解题的关键是：利用平方差公式，进行分母有理化．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，，
（2）解：
，
故答案为：，
（3）解：．
，
，
，
故答案为：11．
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