湖南省长沙市雅礼教育集团2021-2022学年高一下学期期末数学试题及参考答案

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分值：150 时量：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）
A 40B. 50C. 80D. 100
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A B. C. D.
8. 在新冠病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的预报簇个数为（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
10. 若，，，则关于事件A与B的关系正确是（ ）
A 事件A与B互斥B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立D. 事件A与B不相互独立
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知平面向量满足，则
B. 已知复数z满足，则
C. 已知平面向量，满足，则
D. 已知复数，满足，则
12. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A−BD−C，形成四面体A−BCD，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（ ）
A. 若二面角A−BD−C为60°，则AC=
B. 若二面角A−BD−C为90°，则EF⊥BC
C. 若二面角A−BD−C为90°，过EF且与BD平行的平面截四面体A−BCD所得截面的面积为
D. 四面体A−BCD的外接球的体积恒为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若 ，则的最小值为________________．
14. ________．
15. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为________．
16. 在△ABC中，角A，B为锐角，若，则的最小值是________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，，．
（1）若与共线，求x值；
（2）记，求函数的最大值和最小值及对应的x的值．
18. 如图，边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（Ⅰ）求证A'D⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥A'﹣EFD的体积．
19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
20. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．
（1）设F为B1C1中点，求证；A1F∥平面BDE；
（2）求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值．
21. 滨湖区拟建 一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动区，其中；、为游客通道(不考虑宽度), 且，通道、围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休憩.
（1）求的长度；
（2）记游客通道与 的长度和为，求的最大值.
22. 己知函数，．
（1）求的最小值；
（2）若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．