沪科版七年级数学下册专题8.8整式乘法与因式分解全章八类必考压轴题(沪科版)(原卷版+解析)

这是一份沪科版七年级数学下册专题8.8整式乘法与因式分解全章八类必考压轴题(沪科版)(原卷版+解析)，共67页。


1．已知4x=a,2y=b,8z=ab，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．2x+y=zB．xy=3zC．2x+y=3zD．2xy=z
2．已知100a=20，1000b=50，则a+32b−32的值是（ ）
A．0B．52C．3D．92
3．若x，y均为实数，43x=2021,47y=2021，则x+yxy=_______．
4．我们知道下面的结论，若am=an (a>0，且a≠1)，则m=n，利用这个结论解决下列问题：设2m=3，2n=6，2p=24，现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n+1，②p+n=2m+4，③m2−mp+3n=0，其中正确的是___________．（填编号）
5．比较下列各题中幂的大小：
（1）已知a=8131,b=2741,c=961，比较a、b、c的大小关系;
（2）比较255,344,533,622这4个数的大小关系;
（3）已知P=999999,Q=119990，比较P、Q的大小关系;
（4）(−2)234_______5100（填“>”“<”或“=”）.
6．由幂的运算法则逆向思维可以得到am+n=am⋅an，amn=(am)n，ambm=(ab)m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果．请解决以下问题：
(1)计算：52020×(15)2018；
(2)若3×9m×27m=311，求m的值；
(3)比较大小：a=255，b=344，c=533，d=622，请确定a，b，c，d的大小关系．
7．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax=N(a＞0,a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN．比如指数式24=16可以转化为4=lg216，对数式2=lg525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：lg(M·N)=lgaM+ lgaN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)．理由如下：设lgaM=m，lgaN=n，所以M=am，N=an，所以MN=aman=am+n，由对数的定义得m+n=lga(M+N)，又因为m+n=lgaM+lgaN，所以lga(MN)=lgaM+lgaN．解决以下问题：
（1）将指数53=125转化为对数式： ．
（2）仿照上面的材料，试证明：lgaMN=lgaM-lgaN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)
（3）拓展运用：计算lg32+lg318-lg34= ．
1．关于x的三次三项式A=5x3−6x2+10=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式B=x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当A+B为关于x的三次三项式时，则f=−10；
②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e=6；
③a+b+c=9；
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．已知x2−ax2+bx+22x2−3x+5的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为______．
3．若x2+px−13x2−3x+q的积中不含x项与x3项，
(1)求p、q的值；
(2)求代数式−2p2q2+3pq3+p2022q2024的值．
4．（1）试说明代数式(s−2t)(s+2t+1)+4tt+12的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax−b与2x2−x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为−4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−5)，求另一个因式以及k的值．
5．给出如下定义：我们把有序实数对a，b，c叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的附属系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对a，b，c的附属多项式．
(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的附属系数对为_________；
(2)有序实数对2，a，1的附属多项式与有序实数对1，−2，4的附属多项式的差中不含一次项，求a的值．
1．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)称这为第二此操作，以此类推．
①将多项式(a2−1)以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；
②将多项式(a2+2a)以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；
③将多项式(a2+2a+1)以上述方式进行4次操作后，当a=2时，所得多项式的值为243；
④将多项式(a−1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a−1)(a+1)n−1；
四个结论错误的有（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项式的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算(a+b)6的展开式中，从左起第四项是____________．
(a+b)0= 1···································1
(a+b)1= a+b································1 1
(a+b)2= a2+2ab+b2·······················1 2 1
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3··········1 3 3 1
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4··1 4 6 4 1
3．观察下列各式及其展开式：
a+b2=a2+2ab+b2，
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
⋯⋯
请你猜想(2x−1)8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224B．180C．112D．48
4．阅读下列材料，完成相应任务．
完成下列任务：
(1)写出a+b5的展开式．
(2)计算：75+5×74×−6+10×73×−62+10×72×−63+5×7×−64+−65．
5．观察下列各式：
x−1x+1=x2−1
x−1x2+x+1=x3−1
x−1x3+x2+x+1=x4−1
(1)根据以上规律，则x−1x6+x5+x4+x3+x3+x+1=___________．
(2)你能否由此归纳出一般规律x−1xn+xn−1+⋯+x+1=___________．
(3)根据以上规律求32022+32021+32020+⋯+32+3+1的值．
6．（1）计算并观察下列各式：
第1个：a−ba+b= ；
第2个：a−ba2+ab+b2= ；
第3个：a−ba3+a2b+ab2+b3= ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则a−ban−1+an−2b+an−3b2+⋯+a2bn−3+abn−2+bn−1= ；
（3）利用（2）的猜想计算：2n−1+2n−2+2n−3+⋯+23+2+1= ．
（4）拓广与应用：3n−1+3n−2+3n−3+⋯+33+3+1= ．
1．已知：x+y2=12，x−y2=4，则x2+3xy+y2的值为_____．
2．已知1b−1a=8−cab，ab+bc+2b+c2+25=0，则ba的值为______．
3．已知a，b，c满足：a2+2b=7，b2−2c=−1，c2−6a=−17，则13a+b+3c的值等于______．
4．已知a−b=4时，多项式ab+c2的值为−4，则aba2+b2+c2的值为( )
A．−1B．−12C．−13D．0
5．已知有理数a，b，c满足a−b+c−3=0，a2+b2+c2−3=0，则a3+b3+c3−2022=（ ）
A．−2019B．−2020C．−2021D．−2022
6．已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2−ab−bc−ca的值为（ ）
A．1B．3C．6D．1010
7．已知：x+y=5，xy=3．
求：①x2+5xy+y2；
②x4+y4．
8．阅读下列材料，完成后面的任务．
完全平方公式的变形及其应用
我们知道，完全平方公式有：a+b2=a2+2ab+b2；a−b2=a2−2ab+b2．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
①a2+b2=a+b2−2ab；②a2+b2=a−b2+2ab；③a2+b2=12a+b2+a−b2；
④ab=14a+b2−a−b2．
根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．
例如：已知x+y=3，x−y=1，求x2+y2的值．
解：x2+y2=12x+y2+x−y2=12×32+12=5．
任务：
(1)已知x+y=5，x−y=3，则xy=______．
(2)已知x+y=7，x2+y2=25，求x−y2的值．
1．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：_________；
方法2：__________．
(2)请你直接写出三个代数式：a+b2，a2+b2，ab之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和m−n2的值．
②已知x−20212+x−20232=34，求x−20222的值．
2．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a−b=8，ab=13，求S1+S2的值；
（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2=34时，求出图③中阴影部分的面积S3．
3．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
4．（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．
图1中阴影部分面积为__________，图2中阴影部分面积为__________，请写出这个乘法公式__________．
（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=m2+2m+1m2−2m+1，Q=m2+m+1m2−m+1，比较P、Q大小．
（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________________．
5．若x满足(7−x)(x−4)=2，求(x−7)2+(4−x)2的值：
解：设7−x=a, x−4=b，则(7−x)(x−4)=ab=2，a+b=(7−x)+(x−4)=3
所以(x−7)2+(4−x)2=(7−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=32−2×2=5
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足(8−x)(x−3)=3，求(8−x)2+(x−3)2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
6．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题
（1）写出图2中所表示的数学等式
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a,b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形，则x+y+z=
7．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
必考点6
利用因式分解探究三角形形状
1．（2023秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）若a、b、c是△ABC的三边，且满足b2+bc−ba−ca=0，a2+ab−cb−ac=0，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
2．（2018秋·江西·八年级校考阶段练习）先阅读下面的材料，再解决问题：
要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到am+n+bm+n.这时，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，从而得到a+bm+n.因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n =a+bm+n.这种因式分解的方法叫做分组分解法.
在三角形中，若任意两条边的差均为0，则这个三角形是等边三角形；若只有两条边的差为0，则这个三角形是等腰三角形；若有两条边的平方和与第三边的平方的差为0，则这个三角形是直角三角形。
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式ab−ac+b2−bc分解因式；
（2）若ΔABC的三边a、b、c满足条件：a4−b4+a2c2+b2c2=0，试判断ΔABC的形状.
3．（2023秋·八年级课时练习）（1）若a、b、c是三角形的三条边，求证：a2−b2−c2−2bc<0．
（2）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a+b+c=322，a2+b2+c2=32，试探究△ABC的形状．
（3）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a2b−c+b2c−a+c2a−b=0，试探究△ABC的形状．
4．（2023秋·山东滨州·八年级统考期中）求解下列问题：
(1)若x2+2y2−2xy+8y+16=0，求yx的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−6a−8b+25+4−c=0，请问△ABC是什么形状的三角形？请说明理由．
5．（2023秋·福建福州·八年级校考期中）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式3a2+b2+c2=a+b+c2，试确定该三角形的形状.
6．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读材料，要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，这时am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出m+n，从而得到m+na+b，因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
(1)尝试填空：ac−bc+ab−a2=______；
(2)解决问题：因式分解2x−18+xy−9y；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
7．（2023春·山东青岛·八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b(b(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵BC=a，AB=a−b，CF=b，∴长方体①的体积为ab(a−b)．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求a3−b3的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：a3+b3= ．
8．（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
∵m2−2mn+2n2−8n+16=0,∴m2−2mn+n2+(n2−8n+16)=0,∴m−n2+n−42=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c都是正整数，并满足a2+b2−4a−6b+13=0,求c的值．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+c2+2bb−a−c=0，试判断△ABC的形状．
（3）试探究关于x、y的代数式5x2−4xy+y2+6x+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32=0．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC//x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由．
必考点7
利用拆项或添项进行因式分解
1．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；又例如：求代数式2x2+4x−6的最小值：∵2x2+4x−6=2x2+2x−3=2(x+1)2−8；又∵(x+1)2⩾0；∴当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：a2−4a−5=___________；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+b2−12b+40=0求边长c的最小值；
(3)当x、y为何值时，多项式−x2+2xy−2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
2．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
3．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：x2−2xy+y2−4=(x2−2xy+y2)−4=(x−y)2−22=(x−y−2)(x−y+2)．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为(x+7)与(x−1)
例如：x2+6x−7
分析：
解：原式=(x+7)(x−1)
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x−y2+1
②（拆项法）x2−6x+8
③x2−5x+6=________．
已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，求△ABC的周长．
4．阅读下列分解因式的过程：
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-a2-3a2
=(x+a)2-4a2
=(x+a+2a)(x+a-2a)
(x+3a)(x-a)．
像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：
（1）m2-4mn+3n2；
（2）x2-4x-12．
5．阅读以下文字并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但对于二次三项式x2+6x−27，就不能直接用公式法分解了。此时，我们可以在x2+6x−27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。即：x2+6x−27=x2+6x+9−9−27 =x+32−62=x+3+6x+3−6 =x+9x−3，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy−5y2.
（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b2，②a4+b4的值.
（3）如果a2+2b2+c2−2ab−6b−4c+13=0，求a+b+c的值.
6．阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝364−12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).
7．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．
②拆项法：
例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．
仿照以上方法分解因式：
(1)4x2+4x−y2+1；
x2−6x+8．
8．阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式4x2+3xy−y2，方法如下：拆两头，4x2拆为4x⋅x，−y2拆为−y⋅y，然后排列如下：交叉相乘积相加得3xy，凑得中间项，所以4x2+3xy−y2=(4x−y)(x+y)．利用材料解决问题的策略解答下列问题：
(1)解方程：4x2−5x+1=0；
(2)已知x2−xy−12y2=0(xy≠0)，求xy的值．
必考点8
因式分解的应用
1．王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x−1，a−b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将3ax2−1−3bx2−1因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
2．已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4+b4+c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2的值是（ ）
A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
3．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11=1+5+1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：
①最小的“可拆分”整数是5；
②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；
③最大的“不可拆分”的两位整数是96．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．已知m，n均为正整数且满足mn−3m−2n−24=0，则m＋n的最大值是（ ）
A．16B．22C．34D．36
5．若一个正整数m是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即m=nn+2，其中n为正整数，则称m为“半平分数”，n为m的“半平分点”．例如，35=5×7，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)k是80的“半平分点”，则k=______；a的“半平分数”“半平分点”为1，则a=______；当kx+a为正整数时，整数x=______．
(2)把“半平分数”x与“半平分数”y的差记为Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如，24=4×6，15=3×5，则E24,15=24−15=9．若“半平分数”x的“半平分数”为s，“半平分数”y的“半平分点”为t，当Ex,y=40时，求ts的值．
6．阅读理解应用:要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若a−b>u，则a>b;若a−b<0，则a (1)比较2a2与a2−1的大小，并说明理由.
(2)比较a2+b2与2ab的大小，并说明理由.
(3)直接利用(2)的结论解决:求a2+1a2+3的最小值.
(4)已知如图，直线a⊥b于O，在a,b上各有两点B,D和A,C, AO=4,BO=9,CO=x2,DO=y2，且xy=3，求四边形ABCD面积的最小值.
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示：
a+b1=a+b
a+b2=a2+2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b2
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…
专题8.8 整式乘法与因式分解全章八类必考压轴题
【沪科版】
1．已知4x=a,2y=b,8z=ab，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．2x+y=zB．xy=3zC．2x+y=3zD．2xy=z
分析：根据题意得出22x=a,2y=b，则23z=22x×2y=22x+y即可求解．
【详解】解：∵4x=a,2y=b,8z=ab
∴22x=a,2y=b，
∴23z=22x×2y=22x+y
∴3z=2x+y，
故选：C．
2．已知100a=20，1000b=50，则a+32b−32的值是（ ）
A．0B．52C．3D．92
分析：利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵100a=20，1000b=50，
∴(102)a⋅(103)b=20×50，
∴102a⋅103b=1000，
∴102a+3b=103，
∴2a+3b=3，
∴a+32b=32，
∴a+32b−32=0，
故选：A．
3．若x，y均为实数，43x=2021,47y=2021，则x+yxy=_______．
分析：根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则得出43xy⋅47xy=2021x+y，再根据积的乘方法则得出43xy⋅47xy=(43×47)xy=2021xy，得出xy=x+y，从而求出答案．
【详解】解：∵43x=2021,47y=2021，
∴43xy⋅47xy=(43x)y⋅(47y)x=2021y×2021x=2021x+y；
又∵43xy⋅47xy=(43×47)xy=2021xy，
∴2021x+y=2021xy
∴xy=x+y，
∴x+yxy=1
4．我们知道下面的结论，若am=an (a>0，且a≠1)，则m=n，利用这个结论解决下列问题：设2m=3，2n=6，2p=24，现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n+1，②p+n=2m+4，③m2−mp+3n=0，其中正确的是___________．（填编号）
分析：由2n=6=2×3=2×2m=2m+1，得出n=m+1，由2p=24=23×3=23×2m=2m+3，得出p=m+3，进而得出p=n+2，进一步对m+p，p+n，m2−mp+3n代入计算，即可得出答案．
【详解】解：∵2n=6=2×3=2×2m=2m+1，
∴n=m+1，
∵2p=24=23×3=23×2m=2m+3，
∴p=m+3，
∴p=n+2，
∴m+p=m+n+2=n+n+1=2n+1，
∴①符合题意；
∵p+n=m+3+m+1=2m+4，
∴②符合题意；
∵m2−mp+3n=n−12−n−1n+2+3n=4n−1，
∴③不符合题意，
故答案为：①②．
5．比较下列各题中幂的大小：
（1）已知a=8131,b=2741,c=961，比较a、b、c的大小关系;
（2）比较255,344,533,622这4个数的大小关系;
（3）已知P=999999,Q=119990，比较P、Q的大小关系;
（4）(−2)234_______5100（填“>”“<”或“=”）.
分析：（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；（3）用求商法比较大小；（4）由(−2)234=(27)33×8>12533×5=5100易得结果.
【详解】（1)因为a=(34)31=3124，b=(33)41=3123，c=(32)61=3122，所以a>b>c．
(2)因为255=(25)11=3211，344=(34)11=8111，533=(53)11=12511，622=(62)11=3611，3211<3611<8111<12511，所以255<622<344<533．
(3)因为PQ=999999÷119990=999999×990119=99×119999×990119=1，所以P=Q.
(4)因为(−2)234=(27)33×8>12533×5=5100，所以(−2)234>5100．
6．由幂的运算法则逆向思维可以得到am+n=am⋅an，amn=(am)n，ambm=(ab)m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果．请解决以下问题：
(1)计算：52020×(15)2018；
(2)若3×9m×27m=311，求m的值；
(3)比较大小：a=255，b=344，c=533，d=622，请确定a，b，c，d的大小关系．
分析：（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；
（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；
（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．
【详解】（1）解： 52020×152018=52018×52×152018=5×152018×25=1×25=25
故答案为：25；
（2）∵3×9m×27m=311，
∴3×32m×33m=311，
∴3×32m×33m=311，即31+2m+3m=311，
∴1+2m+3m=11，解得m=2；
（3）由题可得：a=255=2511=3211，b=344=3411=8111，c=533=5311=12511，d=622=6211=3611，
∵32<36<81<125，
∴3211<3611<8111<12511，
即a7．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax=N(a＞0,a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN．比如指数式24=16可以转化为4=lg216，对数式2=lg525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：lg(M·N)=lgaM+ lgaN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)．理由如下：设lgaM=m，lgaN=n，所以M=am，N=an，所以MN=aman=am+n，由对数的定义得m+n=lga(M+N)，又因为m+n=lgaM+lgaN，所以lga(MN)=lgaM+lgaN．解决以下问题：
（1）将指数53=125转化为对数式： ．
（2）仿照上面的材料，试证明：lgaMN=lgaM-lgaN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)
（3）拓展运用：计算lg32+lg318-lg34= ．
分析：（1）根据题意可以把指数式53=125写成对数式；
（2）先设lgaM=x，lgaN=y，根据对数的定义可表示为指数式为：M=ax，N=ay，计算MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：lga（M•N）=lgaM+lgaN和lgaMN=lgaM-lgaN的逆用，将所求式子表示为：lg3（2×18÷4），计算可得结论．
【详解】（1）∵一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x=lgaN．
∴3=lg5125，
故答案为：3=lg5125；
（2）证明：设lgaM=x，lgaN=y
∴M=ax，N=ay，
∴MN=axay=ax−y，
由对数的定义得lgaMN=x−y
又∵x−y=lgaM−lgaN，
∴lgaMN=lgaM−lgaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)
（3）lg32+lg318-lg34= lg3（2×18÷4）= lg39=2.
故答案为：2.
1．关于x的三次三项式A=5x3−6x2+10=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式B=x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当A+B为关于x的三次三项式时，则f=−10；
②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e=6；
③a+b+c=9；
A．0个B．1个C．2个D．3个
分析：根据整式的加减混合运算即可判断①，根据整式的乘法运算即可判断②，将x=1和x=2代入即可判断③．
【详解】解：∵A=5x3−6x2+10，B=x2+ex+f，
∴A+B=4x3−6x6+10+x2+ex+f=5x6−5x2+ex+f+10，
∵A+B为关于x的三次三项式，且e为非零常数，
∴f+10=8，
解得：f=−10，说法①正确；A⋅B=(5x3−7x2+10)(x2+ex+f)=6x5+5ex5+5fx3−3x4−6ex4−6fx2+10x3+10ex+10f
=5x5+(2e−6)x4+(3f−6e)x3+(10−3f)x2+10ex+10f，
∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项，
∴5e−3=0，
解得e=1.7，说法②错误；
A=5x3−6x2+10=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d，
当x=1时，d=5−5+10=9，
当x=2时，a+b+c+d=4×23−4×22+10=26，
则a+b+c=17，说法③错误．
故选：B．
2．已知x2−ax2+bx+22x2−3x+5的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为______．
分析：利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得2−2a=0，−3+3a+2b=0，求解即可得a,b的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案．
【详解】解：x2−ax2+bx+22x2−3x+5
=2x4−3x3+5x2−2ax4+3ax3−5ax2+2bx3−3bx2+5bx+4x2−6x+10 =(2−2a)x4+(−3+3a+2b)x3+(5−5a−3b+4)x2+(5b−6)x+10
根据题意，展开式中不含三次项和四次项，
∴2−2a=0，−3+3a+2b=0，
解得 a=1，b=0，
∴5−5a−3b+4=5−5×1−3×0+4=4，5b−6=5×0−6=−6，
即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为−6，
∴展开式中二次项和一次项的系数之和为4+(−6)=−2．
3．若x2+px−13x2−3x+q的积中不含x项与x3项，
(1)求p、q的值；
(2)求代数式−2p2q2+3pq3+p2022q2024的值．
分析：（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与x3项可知x项与x3项的系数均等于0，可得关于p、q的方程组，解方程组即可；
（2）由（1）中p、q的值得pq=−1，将原式整理变形成−2p⋅pq2+3pq3+pq2022q2，再将p、q、pq的值代入计算即可．
【详解】（1）解：x2+px−13x2−3x+q
=x4+p−3x3+q−3p−13x2+1+pqx−13q，
∵积中不含x项与x3项，
∴1+pq=0p−3=0，
∴p=3q=−13．
（2）解：由（1）得pq=−1，−2p2q2+3pq3+p2022q2024=−2p⋅pq2+3pq3+pq2022q2=2×32+−33+−12022−132=36−27+19=919．
4．（1）试说明代数式(s−2t)(s+2t+1)+4tt+12的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax−b与2x2−x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为−4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−5)，求另一个因式以及k的值．
分析：（1）先算多项式乘多项式以及单项式乘多项式，再合并同类项，即可得到结论；
（2）先算多项式乘多项式，从而得到2a+b=0，-2b=-4，进而即可求解；
（3）由题意得2x2+3x−k=(2x−5) (x+m)，进而即可求解．
【详解】解：（1）(s−2t)(s+2t+1)+4tt+12
＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t
＝s2＋s．
故代数式(s−2t)(s+2t+1)+4tt+12的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
（2）∵（ax−b）（2x2−x+2）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，
又∵多项式ax−b与2x2−x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为−4，
∴2a+b=0，-2b=-4，
∴a=-1，b=2，
∴ab=−12=1；
（3）∵二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−5)，
∴2x2+3x−k=(2x−5) (x+m)=2x2+2mx−5x−5m，
∴2m-5=3，5m=k，
∴m=4，k=20，另一个因式为：x+4．
5．给出如下定义：我们把有序实数对a，b，c叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的附属系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对a，b，c的附属多项式．
(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的附属系数对为_________；
(2)有序实数对2，a，1的附属多项式与有序实数对1，−2，4的附属多项式的差中不含一次项，求a的值．
分析：（1）根据新定义进行求解即可；
（2）根据新定义先表示出两个多项式，再根据题意进行计算即可．
【详解】（1）根据题意可得，多项式3x2+2x−1的附属系数对为3，2，−1，
故答案为：3，2，−1；
（2）根据题意得，有序实数对2，a，1所对应的多项式为2x2+ax+1，
有序实数对1，−2，4所对应的多项式为x2−2x+4，
∵两个多项式的差中不含一次项，
∴2x2+ax+1−x2−2x+4=2x2+ax+1−x2+2x−4=x2+a+2x−3，
∴a+2=0，
∴a=−2．
1．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)称这为第二此操作，以此类推．
①将多项式(a2−1)以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；
②将多项式(a2+2a)以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；
③将多项式(a2+2a+1)以上述方式进行4次操作后，当a=2时，所得多项式的值为243；
④将多项式(a−1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a−1)(a+1)n−1；
四个结论错误的有（ ）
A．0B．1C．2D．3
分析：根据题意，计算出(a2−1)进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出(a2+2a)以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，计算出(a2+2a+1)进行4次操作后所得多项式，再把a=2代入计算即可判定③；根据题意，总结归纳出(a−1)进行n次操作后所得多项式规律，即可判定④．
【详解】解：(a2−1)第1次操作后，得(a2−1)a+1=a3+a2−a−1，
(a2−1)第2次操作后，得a3+a2−a−1a+1=a4+2a3−2a−1，
∴(a2−1)第2次操作后所得多项式项数是4，
故①错误；
(a2+2a)第1次操作后，得(a2+2a)a+1=a3+3a2+2a，
(a2+2a)第2次操作后，得a3+3a2+2aa−1=a4+2a3−a2−2a，
(a2+2a)第3次操作后，得a4+2a3−a2−2aa+1=a5+3a4+a3−3a2−2a，
∴将多项式(a2+2a)以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为1+3+1−3−2=0
故②正确；
(a2+2a+1)第1次操作后，得(a2+2a+1)a−1=a3+a2−a−1，
(a2+2a+1)第2次操作后，得a3+a2−a−1a+1=a4+2a3−2a−1，
(a2+2a+1)第3次操作后，得a4+2a3−2a−1a+1=a5+3a4+2a3−2a2−3a−1，
(a2+2a+1)第4次操作后，得a5+3a4+2a3−2a2−3a−1a+1=a6+4a5+5a4−5a2−4a−1，
当a=2时，a6+4a5+5a4−5a2−4a−1=26+4×25+5×24−5×22−4×2−1=243，
故③正确；
(a−1)第1次操作后，得(a−1)a+1，
(a−1)第2次操作后，得(a−1)a+1a+1=a−1a+12，
(a−1)第3次操作后，得a−1a+12a+1=a−1a+13
(a−1)第4次操作后，得a−1a+13a+1=a−1a+14
…
(a−1)第n次操作后，得a−1a+1n，
故④错误；
综上，错误的有①④共2个，
故选：C．
2．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项式的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算(a+b)6的展开式中，从左起第四项是____________．
(a+b)0= 1···································1
(a+b)1= a+b································1 1
(a+b)2= a2+2ab+b2·······················1 2 1
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3··········1 3 3 1
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4··1 4 6 4 1
分析：通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和；②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大；依据此规律，可得出最后答案．
【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，
∴a+b5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，
∴a+b6的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，
又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，
∴a+b6展开式左起第四项是20a3b3．
故答案为：20a3b3．
3．观察下列各式及其展开式：
a+b2=a2+2ab+b2，
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
⋯⋯
请你猜想(2x−1)8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224B．180C．112D．48
分析：由材料可知，括号里的前项的指数从高到底的排列，括号里的后项的指数从低到高的排列，首位系数都是1，中间数字分别为上一组数据相邻两数之和，由此即可求解．
【详解】解：根据材料可知，系数的关系如下，
二次幂时的系数：1 2 1
三次幂时的系数：1 3 3 1
四次幂时的系数：1 4 6 4 1
五次幂时的系数：1 5 10 10 5 1
六次幂时的系数：1 6 15 20 15 6 1
七次幂时的系数：1 7 21 35 35 21 7 1
八次幂时的系数：1 8 28 56 70 56 28 8 1
∴含x2项的系数是28×22×(−1)6=28×4×1=112，
故选：C．
4．阅读下列材料，完成相应任务．
完成下列任务：
(1)写出a+b5的展开式．
(2)计算：75+5×74×−6+10×73×−62+10×72×−63+5×7×−64+−65．
分析：（1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得a+b5的展开式；
（2）利用（1）中展开式，设a=7，b=−6，从而可得答案．
【详解】（1）解：
∵a+b1=a+b
a+b2=a2+2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b2
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
∴(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）∵(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，令a=7，b=−6，
∴75+5×74×−6+10×73×−62+10×72×−63+5×7×−64+−65
=7−65
=1．
5．观察下列各式：
x−1x+1=x2−1
x−1x2+x+1=x3−1
x−1x3+x2+x+1=x4−1
(1)根据以上规律，则x−1x6+x5+x4+x3+x3+x+1=___________．
(2)你能否由此归纳出一般规律x−1xn+xn−1+⋯+x+1=___________．
(3)根据以上规律求32022+32021+32020+⋯+32+3+1的值．
分析：（1）根据给出式子的规律书写即可；
（2）根据给出式子的规律即可得出结果；
（3）根据（2）中的规律计算即可；
【详解】（1）∵x−1x+1=x2−1，
x−1x2+x+1=x3−1，
x−1x3+x2+x+1=x4−1，
∴x−1x6+x5+x4+x3+x2+x+1= x7−1；
故答案是：x7−1．
（2）根据题意得：x−1xn+xn−1+⋯+x+1=xn+1−1；
故答案是：xn+1−1；
（3）∵3−132022+32021+32020+⋯+32+3+1=32023−1，
∴32022+32021+32020+⋯+32+3+1=32023−12．
6．（1）计算并观察下列各式：
第1个：a−ba+b= ；
第2个：a−ba2+ab+b2= ；
第3个：a−ba3+a2b+ab2+b3= ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则a−ban−1+an−2b+an−3b2+⋯+a2bn−3+abn−2+bn−1= ；
（3）利用（2）的猜想计算：2n−1+2n−2+2n−3+⋯+23+2+1= ．
（4）拓广与应用：3n−1+3n−2+3n−3+⋯+33+3+1= ．
分析：（1）根据平方差公式及多项式乘法的计算求解即可；
（2）由（1）中计算得出相应规律即可；
（3）利用（2）中所得规律求解即可；
（4）根据（2）中所得规律计算即可．
【详解】解：（1）a−ba+b=a2−b2；
a−ba2+ab+b2=a3−b3；
a−ba3+a2b+ab2+b3=a4−b4；
故答案为：a2−b2，a3−b3，a4−b4；
（2）根据（1）中规律得：
a−ban−1+an−2b+an−3b2+⋯+a2bn−3+abn−2+bn−1=an−bn，
故答案为：an−bn；
（3）2n−1+2n−2+2n−3+⋯+23+2+1=(2−1)(2n−1+2n−2+2n−3+⋯+23+2+1)=2n−1n=2n−1
故答案为：2n−1．
（4）3n−1+3n−2+3n−3+⋯+33+3+1=12(3−1)(3n−1+3n−2+3n−3+⋯+33+3+1)=12×(3n−1n)=3n−12，
故答案为：3n−12．
1．已知：x+y2=12，x−y2=4，则x2+3xy+y2的值为_____．
分析：利用完全平方公式将已知等式展开，然后将其相加即可求得x2+y2的值，将其相减得到代xy的值，继而代入x2+3xy+y2，即可得解
【详解】解：∵ x+y2=12，x−y2=4，①②
∴x2+2xy+y2=12①x2−2xy+y2=4②，
②＋①得：x2+y2=8，
①－②得：xy=2，
∴ x2+3xy+y2=(x2+y2)+3xy=8+3×2=14，
故答案为：14
2．已知1b−1a=8−cab，ab+bc+2b+c2+25=0，则ba的值为______．
分析：由1b−1a=8−cab可得a+c=8+b，将ab+bc+2b+c2+25=0转化后再代入计算可求解a，b，c的值，进而可求解．
【详解】∵1b−1a=8−cab，
∴a+c=8+b，
∵ab+bc+2b+c2+25=0，
∴b(a+c)+2b+c2+25=0，
∴b(8+b)+2b+c2+25=0，
∴b2+10b+25+c2=0，
∴(b+5)2+c2=0，
∴b+5=0，c=0，
∴b=−5，
∴a=3，
∴ba=−53，
故答案为：−53
3．已知a，b，c满足：a2+2b=7，b2−2c=−1，c2−6a=−17，则13a+b+3c的值等于______．
分析：将已知等式左右两边分别相加，再配方成非负数的和为0，求出a、b、c的值，代入即可求出式子的值．
【详解】解：∵a2+2b=7，b2−2c=−1，c2−6a=−17，
∴a2+2b+b2−2c+c2−6a=−11，
∴a2−6a+9+b2+2b+1+c2−2c+1=0，
∴a−32+b+12+c−12=0，
∴a−3=0，b+1=0，c−1=0，
∴a=3，b=−1，c=1，
∴13a+b+3c=13×3−1+3×1=3，
故答案为：3．
4．已知a−b=4时，多项式ab+c2的值为−4，则aba2+b2+c2的值为( )
A．−1B．−12C．−13D．0
分析：根据已知条件得出b+22≤0，又b+22≥0，进而得出b=−2，a =2,c=0，进而即可求解．
【详解】解：∵a−b=4时，多项式ab+c2的值为−4，
∴a=b+4，ab+4=−c2
∴ab+4≤0
即b+4b+4≤0
∴b2+4b+4≤0
即b+22≤0，又∵b+22≥0
∴b=−2
∴a=−2+4=2，
∴ab=−4，c=0
∴aba2+b2+c2=−44+4=−12，
故选：B．
5．已知有理数a，b，c满足a−b+c−3=0，a2+b2+c2−3=0，则a3+b3+c3−2022=（ ）
A．−2019B．−2020C．−2021D．−2022
分析：由(a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab+2ac−2bc得2ab−2ac+2bc=−6，再求得(a+b)2+(b+c)2+(a−c)2=0得a=−b=c，进一步求出a=1，b=−1，c=1即可求解．
【详解】解：∵a−b+c−3=0，a2+b2+c2−3=0，
∴a−b+c=3，a2+b2+c2=3，
∵(a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab+2ac−2bc，
∴9=3−2ab+2ac−2bc，
整理，得2ab−2ac+2bc=−6，
∴(a+b)2+(b+c)2+(a−c)2=2(a2+b2+c2)+(2ab−2ac+2bc)=6−6=0，
∵(a+b)2≥0，(b+c)2≥0，(a−c)2≥0，
∴a+b=0，b+c=0，a−c=0，
∴a=−b=c，
∴a−b+c=a+a+a=3，
∴a=1，
∴b=−1，c=1，
把a=1，b=−1，c=1代入a3+b3+c3−2022得：
原式=13+−13+13−2022=1−1+1−2022=−2021，
故选：C．
6．已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2−ab−bc−ca的值为（ ）
A．1B．3C．6D．1010
分析：分别求出a−b、b−c、c−a的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，再整体代入即可完成．
【详解】解：∵a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，
∴a−b=−1，b−c=−1，c−a=2，
∴a2+b2+c2−ab−bc−ca=122a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca=12a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2=12a−b2+b−c2+c−a2=12−12+−12+22=3
故选：B．
7．已知：x+y=5，xy=3．
求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．
分析：①利用完全平方公式的变形将所求的式子变形为x2+5xy+y2=x+y2+3xy进行求解即可；
②先根据完全平方公式的变形和积的乘方计算法则得到x2+y2=19，x2y2=9，再根据x4+y4=x2+y22−2x2y2进行求解即可．
【详解】解：①∵x+y=5，xy=3，
∴x2+5xy+y2=x+y2+3xy=52+3×3=34；
②∵x+y=5，xy=3，
∴x2+y2=x+y2−2xy=52−2×3=19，x2y2=xy2=9
∴x4+y4=x2+y22−2x2y2=192−2×9=343．
8．阅读下列材料，完成后面的任务．
完全平方公式的变形及其应用
我们知道，完全平方公式有：a+b2=a2+2ab+b2；a−b2=a2−2ab+b2．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
①a2+b2=a+b2−2ab；②a2+b2=a−b2+2ab；③a2+b2=12a+b2+a−b2；
④ab=14a+b2−a−b2．
根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．
例如：已知x+y=3，x−y=1，求x2+y2的值．
解：x2+y2=12x+y2+x−y2=12×32+12=5．
任务：
(1)已知x+y=5，x−y=3，则xy=______．
(2)已知x+y=7，x2+y2=25，求x−y2的值．
分析：（1）根据已知ab=14a+b2−a−b2，即可解得．
（2）根据已知a2+b2=12a+b2+a−b2，即可解得．
【详解】（1）∵ab=14a+b2+a−b2，
∴xy=x2+y2=14x+y2−x−y2=14×52−32=4．
（2）∵x2+y2=12x+y2+x−y2，
∴25=1272+x−y2，50=49+x−y2，
∴x−y2=1．
1．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：_________；
方法2：__________．
(2)请你直接写出三个代数式：a+b2，a2+b2，ab之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和m−n2的值．
②已知x−20212+x−20232=34，求x−20222的值．
分析：（1）利用阴影两部分直接求和与用总面积减去空白部分面积两种方法即可求解；
（2）由图2中阴影部分面积的表示即可得到答案；
（3）①由（2）的关系可得(m+n)2=m2+n2+2mm，进而求解即可；
②设x−2021=a，则x−2023=a−2，x−2022=a−1，依题意，得a2+(a−2)2=34，
∴a2+a2−4a+4=34，利用整体思想求解即可．
【详解】（1）阴影两部分求和为：a2+b2；
用总面积减去空白部分面积为：(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2；(a+b)2−2ab；
（2）由题意得，(a+b)2=a2+b2+2ab；
（3）①由（2）得(m+n)2=m2+n2+2mm，
∴25=20+2mn，
解得mn=2.5，
∴(m−n)2=m2+n2−2mn=15，
②设x−2021=a，则x−2023=a−2，x−2022=a−1，
依题意，得a2+(a−2)2=34，
∴a2+a2−4a+4=34，
可求得a2−2a=15.
由整体思想，得(x−2022)2=(a−1)2=a2−2a+1=15+1=16．
2．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a−b=8，ab=13，求S1+S2的值；
（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2=34时，求出图③中阴影部分的面积S3．
分析：（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab，将a-b＝8，ab＝13代入进行计算即可；
（3）根据S3=a2+b2−12ba+b−12a2=12a2+b2−ab和 S1+S2=a2+b2−ab=34，可求得图 ③中阴影部分的面积 S3．
【详解】解：（1）由图可得，S1=a2−b2， S2=2b2−ab．
（2）∵a−b=8，ab=13
∴S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab=a−b2+ab=82+13=64+13=77
所以S1+S2的值为77．
（3）由图可得：S3=a2+b2−12ba+b−12a2=12a2+b2−ab∵S1+S2=a2+b2−ab=34∴S3=12×34=17
所以图③中阴影部分的面积S3为17．
3．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
分析：(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；
(2)根据图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；
(3)由公式变形x−y2=x+y2−4xy，再整体代入计算即可；
(4)大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案；
(5)根据拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b），即为3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，进而拼图即可；
(6)根据大正方体的体积为（a＋b）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．
【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2）∵图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，
小正方形的面积为（a﹣b）2，
每个长方形的面积为ab，
∴a+b2=a−b2+4ab，
故答案为：a+b2=a−b2+4ab；
（3）利用（2）的结论，
可知x−y2=x+y2−4xy，
∵x＋y＝8，xy＝2，
∴（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，
大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
∵内部9块的面积分别为：
a2,b2,c2,ab,ab,ac,ac,bc,bc，
∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5）∵（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，
∴x=3,y=3,z=10，
即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，
画图如下：
∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，
大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成8个“小块”的体积分别为：
a3,b3,a2b,a2b,a2b,ab2,ab2,ab2，
∴（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．
4．（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．
图1中阴影部分面积为__________，图2中阴影部分面积为__________，请写出这个乘法公式__________．
（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=m2+2m+1m2−2m+1，Q=m2+m+1m2−m+1，比较P、Q大小．
（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________________．
分析：（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
（2）利用平方差公式，计算P-Q的差即可；
（3）分别用代数式表示图3中左图、右图的体积即可．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2-b2，
图2是长为a+b，宽为a-b的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）P-Q=（m2+2m+1）（m2-2m+1）-（m2+m+1）（m2-m+1）
=（m2+1）2-4m2-（m2+1）2+m2
=-3m2，
∵m是不为0的有理数，
∴-3m2＜0，
即P-Q＜0，
∴P＜Q；
（3）图3左图的体积为x•x•x-1×1×x=x3-x，
图3右图是长为x+1，宽为x，高为x-1的长方体，因此体积为（x+1）•x•（x-1），
因此有x3-x=x（x+1）（x-1），
故答案为：x3-x=x（x+1）（x-1）．
．
5．若x满足(7−x)(x−4)=2，求(x−7)2+(4−x)2的值：
解：设7−x=a, x−4=b，则(7−x)(x−4)=ab=2，a+b=(7−x)+(x−4)=3
所以(x−7)2+(4−x)2=(7−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=32−2×2=5
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足(8−x)(x−3)=3，求(8−x)2+(x−3)2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
分析：（1）设8−x=a,x−3=b，从而可得ab=3,a+b=5，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；
（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得(x−2)(x−5)=28，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．
【详解】（1）设8−x=a,x−3=b，则ab=3,a+b=5，
所以(8−x)2+(x−3)2=a2+b2，
=(a+b)2−2ab，
=52−2×3，
=19；
（2）由题意得：MF=DE=x−2,DF=x−5，DE⋅DF=(x−2)(x−5)=28，
因为阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，
所以阴影部分的面积为MF2−DF2=(x−2)2−(x−5)2，
设x−2=m,x−5=n，则mn=28,m−n=3，
所以(m+n)2=(m−n)2+4mn=32+4×28=121，
由平方根的性质得：m+n=11或m+n=−11<0（不符题意，舍去），
所以(x−2)2−(x−5)2=m2−n2，
=(m+n)(m−n)，
=11×3，
=33，
故阴影部分的面积为33．
6．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题
（1）写出图2中所表示的数学等式
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a,b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形，则x+y+z=
分析：（1）利用整体法求解正方形的面积为(a+b+c)2，利用分割法求解正方形的面积为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，从而可得答案；
（2）利用多项式乘以多项式的法则把左边通过计算展开，合并同类项后可得结论；
（3）利用变形公式：a2+b2+c2=(a+b+c)2−2ab−2ac−2bc，再整体代入即可得到答案；
（4）由题意可得，所拼图形的面积为:xa2+yb2+zab，再利用整式的乘法运算法则计算：(5a+7b)(9a+4b)，由面积相等可得x,y,z的值，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵正方形的面积=(a+b+c)2;
正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
故答案为:∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
（2）证明：(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2,
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
（3）∵a+b+c=10,ab+ac+bc=35
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2ab−2ac−2bc
=102−2(ab+ac+bc)
=100−2×35,
=30.
故答案为:30
（4）由题可知，所拼图形的面积为:xa2+yb2+zab
∵(5a+7b)(9a+4b)
=45a2+20ab+63ab+28b2
=45a2+28b2+83ab
∴x=45,y=28,z=83
∴x+y+z=45+28+83=156
故答案为：156
7．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
分析：（1）根据题干步骤进行求解即可；
（2）由（1）的步骤进行求解即可；
（3）根据题干的步骤反向求解即可；
（4）先表示出相应的量，再按照题干方法步骤求解即可；
【详解】（1）解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．
（2）设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，
则mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．
所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．
（3）设（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，
则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．
因为t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．
所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(22-2022)÷2=-1009．
（4）∵DE=x−1，DG=x−3
∴S四边形MEDQ=DE2=x−12，S四边形NGDH=DG2=x−32，S四边形PQDH=DE⋅DG=x−3x−1=10
∵x−31−x=−10，x−3+1−x=−2
∴S四边形MEDQ+S四边形NGDH=x−12+x−32=1−x2+x−32=1−x+x−32−2x−31−x=−22−2×−10=22
阴影部分的面积为：S四边形MEDQ+S四边形NGDH+2S四边形PQDH=x−12+x−32+2x−3x−1=24+20=44．
必考点6
利用因式分解探究三角形形状
1．（2023秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）若a、b、c是△ABC的三边，且满足b2+bc−ba−ca=0，a2+ab−cb−ac=0，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
答案:D
分析：根据b2+bc−ba−ca=0，a2+ab−cb−ac=0，分别提取公因式即可得到(b+c)(b−a)=0，(a+b)(a−c)=0，再根据b+c≠0，a+b≠0，得到b−a=0，a−c=0，据此即可判定该三角形的形状．
【详解】解：∵b2+bc−ba−ca=0，a2+ab−cb−ac=0，
∴(b+c)(b−a)=0，(a+b)(a−c)=0，
又∵a、b、c是△ABC的三边，
∴b+c≠0，a+b≠0，
∴b−a=0，a−c=0，
∴b=a，a=c，
∴a=b=c，
∴该三角形是等边三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．
2．（2018秋·江西·八年级校考阶段练习）先阅读下面的材料，再解决问题：
要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到am+n+bm+n.这时，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，从而得到a+bm+n.因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n =a+bm+n.这种因式分解的方法叫做分组分解法.
在三角形中，若任意两条边的差均为0，则这个三角形是等边三角形；若只有两条边的差为0，则这个三角形是等腰三角形；若有两条边的平方和与第三边的平方的差为0，则这个三角形是直角三角形。
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式ab−ac+b2−bc分解因式；
（2）若ΔABC的三边a、b、c满足条件：a4−b4+a2c2+b2c2=0，试判断ΔABC的形状.
答案:（1）（a+b）（b-c）；（2）直角三角形
分析：（1）将前两项以及后两项重新分组进而分解因式得出答案；
（2）利用分组分解法将原式分解进而得出答案．
【详解】解：（1）ab-ac+b2-bc
=（ab-ac）+（b2-bc）
=a（b-c）+b（b-c）
=（a+b）（b-c）；
（2）由已知，得（a2-b2）（a2+b2）+c2（a2+b2）=0．
即（a2+b2）（a2-b2+c2）=0
∵a2+b2＞0
∴a2-b2+c2=0
即 a2+c2=b2
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了分组分解法分解因式以及勾股定理逆定理，正确分组是解题关键．
3．（2023秋·八年级课时练习）（1）若a、b、c是三角形的三条边，求证：a2−b2−c2−2bc<0．
（2）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a+b+c=322，a2+b2+c2=32，试探究△ABC的形状．
（3）在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a2b−c+b2c−a+c2a−b=0，试探究△ABC的形状．
答案:（1）见解析；（2）△ABC是等边三角形，见解析；（3）△ABC是等腰三角形，见解析
分析：（1）用分组分解法进行因式分解，先变形为a2−b2−c2−2bc=a2−b2+2bc+c2，再用完全平方公式和平方差公式分解，然后根据三角形三边关系即可证明；
（2）由题意可得a+b+c2=92．结合a2+b2+c2=32可得2ab+2bc+2ac=3，故可得到2ab+2bc+2ac=2a2+2b2+2c2，整理得a−b2+b−c2+a−c2=0．用非负性可求得a、b、c的数量关系，于是可作出判断；
（3）对a2b−c+b2c−a+c2a−b进行因式分解，得到b−ca−ba−c
据此可解．
【详解】解：（1）∵a2−b2−c2−2bc=a2−b2+2bc+c2
=a2−b+c2=a+b+ca−b−c
∵a、b、c是三角形三边，
∴a+b+c>0且a∴a+b+ca−b−c<0．
即a2−b2−c2−2bc<0．
（2）△ABC是等边三角形，理由如下：
∵a+b+c=322，
∴a+b+c2=92．
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=92．
又∵a2+b2+c2=32，
∴2ab+2bc+2ac=3．
∴2ab+2bc+2ac=2a2+2b2+2c2．
∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0．
∴a−b2+b−c2+a−c2=0．
∵a−b2≥0，b−c2≥0，a−c2≥0，
∴a−b=0，b−c=0，a−c=0．
∴a=b=c．
∴△ABC是等边三角形．
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
a2b−c+b2c−a+c2a−b
=a2b−c+b2c−ab2+ac2−bc2
=a2b−c+b2c−bc2−ab2−ac2
=a2b−c+bcb−c−ab+cb−c
=b−ca2+bc−ab−ac
=b−caa−b−ca−b
=b−ca−ba−c
∵a2b−c+b2c−a+c2a−b=0
∴b−ca−ba−c=0
∴b=c或b=a或a=c．
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，灵活运用提公因式法、公式法、分组分解法进行因式分解是解题的关键.
4．（2023秋·山东滨州·八年级统考期中）求解下列问题：
(1)若x2+2y2−2xy+8y+16=0，求yx的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−6a−8b+25+4−c=0，请问△ABC是什么形状的三角形？请说明理由．
答案:(1)1256
(2)等腰三角形，理由见解析
分析：（1）根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数的性质得出x,y的值，代入计算即可求解；
（2）根据完全平方公式运算法，然后根据非负数的性质得出a=3,b=4,c=4，即可判断三角形的形状
【详解】（1）解：∵x2+2y2−2xy+8y+16=0,
∴(x2−2xy+y2)+(y2+8y+16)=0.
∴(x−y)2+(y+4)2=0.
∵(x−y)2≥0,(y+4)2≥0,
∴x−y=0,y+4=0,
∴x=y=−4.
yx=(−4)−4=1256.
（2）∵a2+b2−6a−8b+25+4−c=0
∴(a2−6a+9)+(b2−8b+16)+4−c=0,
(a−3)2+(b−4)2+4−c=0,
∵(a−3)2≥0,(b−4)2≥0,4−c≥0,
∴a−3=0,b−4=0,4−c=0,
∴a=3,b=4,c=4.
∴c=b≠a.
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，等腰三角形的定义，非负数的性质，负整数指数幂是解题的关键．
5．（2023秋·福建福州·八年级校考期中）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式3a2+b2+c2=a+b+c2，试确定该三角形的形状.
答案:等边三角形
分析：将已知等式化为a−b2+b−c2+a−c2=0，根据非负数的性质得出a=b=c，即可求解．
【详解】解：∵3a2+b2+c2=a+b+c2，
∴3a2+3b2+3c2−a2−b2−c2−2ab−2ac−2bc=0
即2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc=0
即a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2=0
∴a−b2+b−c2+a−c2=0，
∴a−b2=0，b−c2=0，a−c2=0
∴a−b=0，b−c=0，a−c=0，
即a=b=c
∵△ABC的三边长分别为a，b，c，
∴该三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，得出a=b=c是解题的关键．
6．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读材料，要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，这时am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出m+n，从而得到m+na+b，因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b，这种方法称为分组法．请回答下列问题：
(1)尝试填空：ac−bc+ab−a2=______；
(2)解决问题：因式分解2x−18+xy−9y；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
答案:(1)a−bc−a；
(2)2+yx−9
(3)△ABC是等边三角形，理由见解析．
分析：（1）利用分组分解法因式分解即可；
（2）利用分组分解法因式分解即可；
（3）利用分组分解法因式分解，再利用非负数的性质证明a=b=c即可．
【详解】（1）解：ac−bc+ab−a2
=ac−bc−a2−ab
=ca−b−aa−b
=a−bc−a；
故答案为：a−bc−a；
（2）2x−18+xy−9y
=2x−9+yx−9
=2+yx−9；
（3）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵a2+2b2+c2−2ab−2bc=0，
∴a2−2ab+b2+c2−2bc+b2=0，即：a−b2+c−b2=0
∵a−b2≥0，c−b2≥0，
∴a−b=0，c−b=0，
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了分组分解法，非负数的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是根据范例熟练掌握分组分解．
7．（2023春·山东青岛·八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b(b(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵BC=a，AB=a−b，CF=b，∴长方体①的体积为ab(a−b)．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求a3−b3的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：a3+b3= ．
答案:(1)a2−b2=a+ba−b
(2)a3−b3
(3)b2a−b，a2a−b
(4)a3−b3=a−ba2+ab+b2
(5)252
(6)a+ba2−ab+b2
分析：（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a−b的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得a3−b3=aba−b+b2a−b+a2a−b，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出a2+b2=40，再根据（4）的结论即可得；
（6）将a3+b3改写成a3−−b3，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为a2−b2，
图2中阴影部分的面积为a+ba−b，
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2−b2=a+ba−b，
∴可得一个多项式的分解因式为a2−b2=a+ba−b，
故答案为：a2−b2=a+ba−b．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为a3−b3，
故答案为：a3−b3．
（3）
解：∵EN=b,DE=b,DM=a−b，
∴长方体②的体积为b2a−b，
∵GH=a,FG=a−b,HR=a，
∴长方体③的体积为a2a−b，
故答案为：b2a−b，a2a−b．
（4）
解：由（2）和（3）得：a3−b3=aba−b+b2a−b+a2a−b，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3−b3=a−ba2+ab+b2，
故答案为：a3−b3=a−ba2+ab+b2．
（5）
解：∵a−b=6,ab=2，
∴a2+b2=a−b2+2ab=62+2×2=40，
∴a3−b3=a−ba2+ab+b2=6×40+2=252．
（6）
解：由（4）可知，a3−b3=a−ba2+ab+b2，
则a3+b3=a3−−b3
=a−−ba2+a−b+−b2
=a+ba2−ab+b2，
故答案为：a+ba2−ab+b2．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
8．（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
∵m2−2mn+2n2−8n+16=0,∴m2−2mn+n2+(n2−8n+16)=0,∴m−n2+n−42=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c都是正整数，并满足a2+b2−4a−6b+13=0,求c的值．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+c2+2bb−a−c=0，试判断△ABC的形状．
（3）试探究关于x、y的代数式5x2−4xy+y2+6x+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
答案:（1）4；（2）等边三角形；（3）最小值为16，此时x=-3，y=-6．
分析：（1）首先根据a2+b2−4a−6b+13=0，应用因式分解的方法，判断出（a-2）2+（b-3）2=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出c的值是多少即可；
（2）先把原式化为（a-b）2+（b-c）2=0，再利用非负数的性质得出a=b=c，那么△ABC是等边三角形；
（3）将原式变形为x+32+2x−y2+16，利用偶次方的非负性，可得最小值以及此时x和y的值．
【详解】解：（1）a2+b2−4a−6b+13=0，
∴a−22+b−32=0，
∴a=2，b=3，
∴1＜c＜5，
∴c=4；
（2）a2+c2+2bb−a−c=0，
∴a2+c2+2b2−2ab−2bc=0，
∴a2+b2−2ab+c2+b2−2bc=0，
∴a−b2+b−c2=0，
∴a-b=0且b-c=0，即a=b且b=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形；
（3）有最小值，
5x2−4xy+y2+6x+25
=x2+6x+9+4x2−4xy+y2+16
=x+32+2x−y2+16
∵x+32≥0，2x−y2≥0，
∴原式≥16，此时x=-3，y=-6．
【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，三角形的三条边之间的关系，等边三角形的判定，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32=0．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC//x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由．
答案:（1）A−4,0、B0,−4；（2）c=4，OE的长为2；（3）△AOC是以C为顶点的等腰三角形
分析：（1）把a2+b2+8a+8b+32=0进行配方得a+42+b+42=0，可得a=b=−4，进而可求得点A、B的坐标；
（2）如详解图：过点F作FM⊥AO于M，利用角度的等量代换可得∠MFA=∠OAE，∠AMF=∠AOE=90°，从而可证△AMF≌△EOA，可得AM=OE,OA=MF，进而可得答案；
（3）根据点A、B的坐标，求出直线AB的解析式为：y=−x−4，再利用EG⊥AB，设CE所在直线的解析式为：y=x+b，根据E点坐标可求CE所在直线的解析式为：y=x−2，根据点B、C纵坐标相同，即可求出点C坐标，利用两点间距离公式即可分别求出AC、OC、AO的长即可得到结论．
【详解】（1）∵ a2+b2+8a+8b+32=0，
∴ a+42+b+42=0，
∴ a+4=0,b+4=0，
∴ a=b=−4，
∴A−4,0,B0,−4，
（2）如图：过点F作FM⊥AO于M，
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°,
∴ ∠OAE+∠FAO=90°,
∵ FM⊥AO，
∴∠FMA=∠AOE=90°，
∴∠AFM+∠FAO=90°，
∴ ∠AFM=∠OAE，
∴在△AMF和△AOE中
∠FMA=∠AOE∠AFM=∠OAEAF=AE
∴ △AMF≌△EOA，
∴AM=EO,FM=AO=4，
∴c=4
∵点F的横坐标为：−2，点A的横坐标为：−4
∴AM=OE=−2−−4=2,
∴OE的长为2，
（3）设AB所在直线的解析式为：y=kx+b，将点A−4,0,B0,−4代入可得，
−4k+b=0b=−4，
解得k=−1b=−4，
∴直线AB的解析式为：y=−x−4，
设CE所在直线的解析式为：y=x+m，将E0,−2代入可得，
−2=0+m，
解得：m=−2
∴ CE所在直线的解析式为：y=x−2，
∵ BC// x轴，
∴C点的纵坐标为−4，将y=−4，代入y=x−2得：x=−2，
∴C点坐标为−2,−4，
∴ OC2=BC2+OB2=22+42=4+16=20,
AC2=xC−xA2+yC2=22+42=4+16=20，
OA2=42=16，
∴OC=AC
∴△AOC是以C为顶点的等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了一次函数，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，以及配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握这些性质是解题关键．
必考点7
利用拆项或添项进行因式分解
1．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；又例如：求代数式2x2+4x−6的最小值：∵2x2+4x−6=2x2+2x−3=2(x+1)2−8；又∵(x+1)2⩾0；∴当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：a2−4a−5=___________；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+b2−12b+40=0求边长c的最小值；
(3)当x、y为何值时，多项式−x2+2xy−2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
答案:(1)(a+1)(a−5)
(2)5
(3)x=y=3时，最大值为16．
分析：（1）根据阅读材料，先将a2−4a−5变形为a2−4a+4−9，再根据完全平方公式写成a−22−9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值；
（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
【详解】（1）解：原式= a2−4a+4−9
= a−22−9
= a−2+3a−2−3
=(a+1)(a−5)；
故答案为：(a+1)(a−5)
（2）∵a2+b2−4a−12b+40=0，
∴a2−4a+4+b2−12b+36=0，
∴(a−2)2+(b−6)2=0，
∴a−2=0b−6=0 解得：a=2b=6，
∵a、b、c是 △ABC的三边长，
∴4又∵c是整数，c=5,6,7；
∴边长c的最小值是5；
（3）−x2+2xy−2y2+6y+7
=−x2−2xy+y2−y2−6y+9+9+7
=−(x−y)2−(y−3)2+16，
∵(x−y)2≥0，(y−3)2≥0；
∴−(x−y)2−(y−3)2+16≤16，
∴当x−y=0y−3=0 时, 即 x=y=3时，−x2+2xy−2y2+6y+7取得最大值为16．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
2．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
答案:（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x+2x−2x+3x−3
分析：（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）．
【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题的关键．
3．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：x2−2xy+y2−4=(x2−2xy+y2)−4=(x−y)2−22=(x−y−2)(x−y+2)．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为(x+7)与(x−1)
例如：x2+6x−7
分析：
解：原式=(x+7)(x−1)
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x−y2+1
②（拆项法）x2−6x+8
③x2−5x+6=________．
（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，求△ABC的周长．
答案:（1）①(2x+y+1)(2x−y+1)，②(x−4)(x−2)，③(x−2)(x−3)；（2）7
分析：（1）①将原式化为(4x2+4x+1)−y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为x2−6x+9−1，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a，b，c的值，然后求和即可得出答案．
【详解】解：（1）①4x2+4x−y2+1
=(4x2+4x+1)−y2
=(2x+1)2−y2
=(2x+y+1)(2x−y+1)；
②x2−6x+8
=x2−6x+9−1
=(x−3)2−1
=(x−3−1)(x−3+1)
=(x−4)(x−2)；
③x2−5x+6=(x−2)(x−3)；
故答案为：(x−2)(x−3)；
（2）∵a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，
∴(a2−4a+4)+(b2−4b+4)+(c2−6c+9)=0，
∴(a−2)2+(b−2)2+(c−3)2=0，
∴a=2，b=2，c=3，
∴a+b+c=2+2+3=7．
∴△ABC的周长为7．
【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
4．阅读下列分解因式的过程：
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-a2-3a2
=(x+a)2-4a2
=(x+a+2a)(x+a-2a)
(x+3a)(x-a)．
像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：
（1）m2-4mn+3n2；
（2）x2-4x-12．
答案:（1）（m-n）（m-3n）；（2）（x+2）（x-6）．
分析：（1）、（2）分别利用阅读材料中的配方法分解即可．
【详解】解：（1）m2-4mn+3n2
=m2-4mn+4n2-4n2+3n2
=m2-4mn+4n2-n2
=（m-2n）2-n2
=（m-2n+n）（m-2n-n）
=（m-n）（m-3n）；
（2）x2-4x-12
=x2-4x+4-4-12
=（x-2）2-42
=（x-2+4）（x-2-4）
=（x+2）（x-6）．
【点睛】本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式．
5．阅读以下文字并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但对于二次三项式x2+6x−27，就不能直接用公式法分解了。此时，我们可以在x2+6x−27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。即：x2+6x−27=x2+6x+9−9−27 =x+32−62=x+3+6x+3−6 =x+9x−3，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy−5y2.
（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b2，②a4+b4的值.
（3）如果a2+2b2+c2−2ab−6b−4c+13=0，求a+b+c的值.
答案:（1）（x+5y）（x-y）；（2）①26，②626；（3）8
分析：（1）原式变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）利用完全平方公式变形，代入计算即可；
（3）已知等式左边配方后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：（1）原式=x2+4xy+4y2-9y2=（x+2y）2-（3y）2=（x+5y）（x-y）；
（2）①a2+b2=（a+b）2-2ab=36-10=26，
②a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=626；
（3）∵a2+2b2+c2-2ab-6b-4c+13=0．
∴a2+b2-2ab+b2-6b+9+c2-4c+4=0
∴（a-b）2+（b-3）2+（c-2）2=0，
可得a=b=3，c=2，
则原式=3+3+2=8．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝364−12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).
答案:(1)21024−121023；(2)①(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)；②1522+1.
分析：(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12)即可，连续使用平方差公式，得出最后结果，
(2)①根据配方法在原式的基础上(+4x2﹣4x2)，转化为完全平方公式，再利用拆项法配方，最后化为两个因式的积，
②根据x4+4的分解结果，分别求出当x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所对应的x4+4个结果，从而得到一个规律，再代入求值即可.
【详解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)
＝2×(1﹣121024)
＝21024−121023，
(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2
＝(x2+2)2﹣(2x)2
＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，
②∵ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)
∴ x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]•[(x﹣1)2+1]
原式＝(02+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)……(502+1)(522+1)= 1522+1
【点睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知识，掌握公式，通过因式分解的变形，找出存在的规律是解决问题的关键.
7．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．
②拆项法：
例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．
仿照以上方法分解因式：
(1)4x2+4x−y2+1；
(2)x2−6x+8．
答案:(1)2x+1+y2x+1−y
(2)x−2x−4
分析：（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）将原式先变形为x2−6x+8=x2−6x+9−1，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：4x2+4x−y2+1
=4x2+4x+1−y2
=2x+12−y2
=2x+1+y2x+1−y；
（2）解：x2−6x+8
=x2−6x+9−1
=x−32−1
=x−3+1x−3−1
=x−2x−4．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．
8．阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式4x2+3xy−y2，方法如下：拆两头，4x2拆为4x⋅x，−y2拆为−y⋅y，然后排列如下：交叉相乘积相加得3xy，凑得中间项，所以4x2+3xy−y2=(4x−y)(x+y)．利用材料解决问题的策略解答下列问题：
(1)解方程：4x2−5x+1=0；
(2)已知x2−xy−12y2=0(xy≠0)，求xy的值．
答案:(1)x1=14，x2=1
(2)xy的值为4或−3
分析：（1）先用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；
（2）先将原方程变为x−4yx+3y=0，得出x=4y或x=−3y，求出xy的值为4或−3即可．
【详解】（1）解：4x2−5x+1=0，
因式分解得：4x−1x−1=0，
∴4x−1=0或x−1=0，
解得：x1=14，x2=1；
（2）解：x2−xy−12y2=0，
因式分解得：x−4yx+3y=0，
∴x−4y=0或x+3y=0，
即x=4y或x=−3y，
∵xy≠0，
∴x≠0，y≠0，
当x=4y时，xy=4yy=4，
当x=−3y时，xy=−3yy=−3，
综上分析可知，xy的值为4或−3．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法．
必考点8
因式分解的应用
1．王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x−1，a−b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将3ax2−1−3bx2−1因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
答案:D
分析：先把代数式分解因式，再对照密码手册求解．
【详解】解：3ax2−1−3bx2−1=3x+1x−1a−b，
所以，结果呈现的密码信息可能是：我爱河南
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，分解因式是解题的关键．
2．已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4+b4+c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2的值是（ ）
A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
答案:B
分析：根据完全平方公式以及平方差公式将代数式因式分解即可求解．
【详解】解：a4+b4+c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2
=a4+b4+c4+2a2b2−2a2c2−2b2c2−4a2b2
=a2+b2−c22−4a2b2
=a2+b2−c2+2aba2+b2−c2−2ab
=a+b2−c2a−b2−c2
=a+b+ca+b−ca−b+ca−b−c
∵a,b,c是一个三角形的三边，
∴a+b−c>0,a+b+c>0,a−b+c>0,a−b−c<0，
∴原式<0
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
3．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11=1+5+1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：
①最小的“可拆分”整数是5；
②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；
③最大的“不可拆分”的两位整数是96．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案:D
分析：根据定义分别判断即可．
【详解】解：∵ 5=1+2+1×2，且1，2是最小的正整数，故①正确；
设整数m=a+b+ab
则m+1=a+b+ab+1=a+1b+1
当m+1不是质数时，拆分方式不止一种，
如：11=1+5+1×5=2+3+2×3，故②正确；
当m=96时，m+1=97，97是一个质数，故不能拆解为a+1b+1形式，
故96为“不可拆分”整数．
而97=1+48+1×48，为“可拆分”整数，
98=2+32+2×32，为“可拆分”整数，
99=1+49+1×49，为“可拆分”整数，
故最大的“不可拆分”的两位整数是96．③正确
故选D
【点睛】本题考查了新定义、有理数的运算、因式分解的应用等知识点，因式分解知识点的灵活运用是解题关键．
4．已知m，n均为正整数且满足mn−3m−2n−24=0，则m＋n的最大值是（ ）
A．16B．22C．34D．36
答案:D
分析：由mn−3m−2n−24=0得(m−2)(n−3)=30.由于30=1×30=2×15=3×10=5×6 =30×1=15×2=10×3=6×5，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的m＋n的值，即可找到m＋n的最大值.
【详解】由mn−3m−2n−24=0得
mn−3m−2n+6−30=0
m(n−3)−2(n−3)=30
(m−2)(n−3)=30
∵m，n均为正整数
∴m−2=1n−3=30或m−2=2n−3=15或m−2=3n−3=10或m−2=5n−3=6
或m−2=30n−3=1或m−2=15n−3=2或m−2=10n−3=3 或m−2=6n−3=5
解得m=3n=33或m=4n=18或m=5n=13或m=7n=9或m=32n=4或m=17n=5或m=12n=6或m=8n=8
∴m+n=36或22或18或16
∴m＋n的最大值是36
故选：D
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将mn−3m−2n−24=0变形为(m−2)(n−3)=30.
5．若一个正整数m是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即m=nn+2，其中n为正整数，则称m为“半平分数”，n为m的“半平分点”．例如，35=5×7，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)k是80的“半平分点”，则k=______；a的“半平分数”“半平分点”为1，则a=______；当kx+a为正整数时，整数x=______．
(2)把“半平分数”x与“半平分数”y的差记为Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如，24=4×6，15=3×5，则E24,15=24−15=9．若“半平分数”x的“半平分数”为s，“半平分数”y的“半平分点”为t，当Ex,y=40时，求ts的值．
答案:(1)8；3；−2或−1或1或5
(2)ts的值为45或13．
分析：（1）直接应用新定义的运算规则，即可求解．
（2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：s2+2s−t2−2t=40，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出ts．
【详解】（1）解：∵80=8×10，∴k=8；
∵a=1×1+2=3，∴a=3；
∵kx+a=8x+3为正整数，
∴x+3=1或2或4或8，
整数x=−2或−1或1或5；
故答案为：8；3；−2或−1或1或5；
（2）解：∵x=ss+2=s2+2s，y=tt+2=t2+2t，Ex,y=40，
∴x−y=40，
∴s2+2s−t2−2t=s+ts−t+2s−t=40，
即s−ts+t+2=40，
∵s、t都是正整数，
∴s−t、s+t+2都是正整数，
∵40=1×40=2×20=4×10=5×8，
∴s−t=1s+t+2=40或s−t=2s+t+2=20或s−t=4s+t+2=10或s−t=5s+t+2=8，
解得s=19.5t=18.5(舍) 或s=10t=8或s=6t=2或s=5.5t=0.5(舍)，
∴ts的值为45或13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及知识点有：因式分解、解二元一次方程组等，考查学生的阅读素养、计算能力、推理能力、应用能力等，体现了数学的分类讨论思想，本题第一问较简单，第二问关键在于能将式子s2+2s−t2−2t=40的左右两边分别进行因式分解，得出四种情况进行分类讨论．
6．阅读理解应用:要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若a−b>u，则a>b;若a−b<0，则a (1)比较2a2与a2−1的大小，并说明理由.
(2)比较a2+b2与2ab的大小，并说明理由.
(3)直接利用(2)的结论解决:求a2+1a2+3的最小值.
(4)已知如图，直线a⊥b于O，在a,b上各有两点B,D和A,C, AO=4,BO=9,CO=x2,DO=y2，且xy=3，求四边形ABCD面积的最小值.
答案:（1）2a2＞a2−1
（2）a2+b2≥2ab，
（3）a2+1a2+3的最小值是5.
（4）最小值为18+22.5=40.5
分析：（1）（2）直接利用作差法，进一步分解因式，利用非负数的性质判定即可；
（3）利用（2）的结论得出答案即可；
（4）利用四边形ABCD面积等于三角形ABD的面积加上三角形BCD的面积列出式子，利用（3）的结论解决问题．
【详解】解：（1）∵2a2−（a2−1）=2a2−a2+1=a2+1＞0 ,
∴2a2＞a2−1.
（2）a2+b2≥2ab，
理由：∵a2+b2−2ab=（a−b）2≥0，
（3）a2+1a2+3≥2a⋅1a+3=2+3=5
a2+1a2+3的最小值是5.
（4）∵AO=4，BO=9，CO=x2，DO=y2，且xy=3 ,
S四边形ABCD=12×（9+y2）×4+12×x2（9+y2）
=92x2+2y2+12x2y2+18=92x2+2y2+22.5
=12（9x2+4y2）+22.5≥12×2×3x⋅2y+22.5
即：最小值为18+22.5=40.5
【点睛】此题考查因式分解的实际运用，非负数的性质，作差法是比较两个式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解决问题的关键．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示：
a+b1=a+b
a+b2=a2+2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b2
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…