安徽省淮北市2024届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析）

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注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合结合的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】由集合，
可得，所以.
故选：B.
2. 若复数（为虚数单位），则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据三角函数化简复数，然后在进行平方运算.
【详解】因为，
所以.
故选：.
3. 已知，下列命题正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得.
【详解】当时，，所以A错.
当时， ，所以B错.
当时，，所以C错.
若，则，则成立，所以D正确.
故选：D
4. 函数的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性排除B,D两项，再根据图象取特殊值，排除A项即得.
【详解】由可知，，即，显然该函数定义域关于原点对称，
由可知，函数为奇函数，排除B, D两项，
又，排除A项，故C项正确.
故选：C.
5. 某次考试一共5道判断题，有三名考生参加考试，每人均答对4道题，答错一道题，三人回答具体情况记录如下:
则这5道题的正确答案依次为（ ）
A. FFFTT
B. FTFTT
C. TFFTF
D. TFFTT
【答案】D
【解析】
【分析】根据答题情况，对第1题的答错情况进行判断，可得全部正确答案.
【详解】每个考生都均答对4道题，答错一道题，
第1题，若甲乙答错，则甲乙的后四题答案应相同，不成立，故丙答错了第1题；
丙答错了第1题，则丙的后四题全部正确，对比可知，甲答错了第4题，乙答错了第2题，
则这5道题的正确答案依次为TFFTT.
故选：D
6. 若函数是偶函数（e是自然对数的底数），则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的定义，得出，利用对数的运算性质整理成，分析即得.
详解】依题意，，即，
整理得：，即，则有，
因不恒为0，故必有，解得，.
故选：B.
7. 已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为4和，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由可得：是的中点，即关于原点对称，然后设点，去表达直线的斜率，联立方程组可解得，最后把这点代入双曲线方程，就可以得到一个关于离心率的方程，并解得结果.
【详解】由可得：是的中点，即关于原点对称，
不妨假设点，则，
由及直线的斜率分别为4和可得：
，联立解得：，
所以把点代入双曲线方程得：
，
再由代入得：，解得：，
，
故选：A.
8. 当实数变化时，函数最大值的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.
【详解】若，即时，，其对称轴为，，
此时，因，故的最小值为16；
若，由可得，
（Ⅰ）如图1，当时，即时，上递减，
在上递增，
在上递减，在上递增，又，
① 当时，，故，而在上单调递
减，则此时，；
② 当时，，故，而在上单调
递增，则此时，.
（Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
则此时，而在上单调递减，则.
综上，函数最大值的最小值为8.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题.
解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用函数的单调性，即可求其最值.
二、多项选择题:木题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和分别为，若，则（ ）
A. B.
C. 的前10项和为D. 的前10项和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题首先根据题意判断出数列、分别是等差数列、等比数列，求出等比数列的通项公式，进而分析也是等比数列并求出其通项公式，可解决选项A、B、D的问题，再依据裂项法，可解决选项C的问题.
【详解】，所以是首项，公差的等差数列，
，故选项A正确.
令，则，
，
又，，
，故选项C错误.
又，，
又，，，
是首项为，公比的等比数列，
，故选项B正确.
又，
是首项为，公比为的等比数列，
，故选项D正确.
故选：ABD.
10. 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 棱的中点在平面内
D. 四面体的体积为1
【答案】BD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线线关系可判定A、B，利用空间向量研究点面距离结合锥体体积公式可判定D，补全平面截正方体的截面可判定C.
【详解】
如图所示建立空间直角坐标系，
则，
所以，
由空间向量共线的充要条件知若，则有，
显然上述方程无解，故A错误；
又，所以B正确；
延长交于H点，连接交于G点，
由平行线分线段成比例可知G为靠近B点的线段的一个三等分点，故C错误；
设平面的一个法向量为，
易知，
则，令，即，
则N到平面的距离为，
而，
所以，故D正确.
故选：BD
11. 如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，的可能取值为，求出相应的概率，得到期望；B选项，2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，得到概率；C选项，设硬币正面朝上的次数为，列出方程，求出，求出；D选项，求出的可能取值及对应的概率，得到数学期望，得到答案.
【详解】A选项，的可能取值为，
且，故，A正确；
B选项，，即2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，
故，B错误；
C选项，，即顺时针走了或逆时针走了，
设硬币正面朝上的次数为，则反面朝上的次数为，
，解得，
故，C正确；
D选项，若硬币8次均正面朝上，此时，
故，
若硬币7次正面朝上，1次反面朝上，此时，
故，
若硬币6次正面朝上，2次反面朝上，此时，
故，
若硬币5次正面朝上，3次反面朝上，此时，
故，
若硬币4次正面朝上，4次反面朝上，此时，
，
若硬币3次正面朝上，5次反面朝上，此时，
，
若硬币2次正面朝上，6次反面朝上，此时，
，
若硬币1次正面朝上，7次反面朝上，此时，
，
若硬币8次均反面朝上，此时，
，
故，D正确.
故选：ACD
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若与共线，则实数______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用平面向量共线坐标式列出方程，求解即得.
【详解】由可得，，，
因与共线，则有，解得.
故答案为：2.
13. 在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，第一个的方格有种涂法，假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色，分类求得不同的涂色方法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】设四种颜色分别为，对于第一个的方格，共有种不同的涂法，
假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色，
①若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或，
当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂；
当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂；
②若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或，
当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂；
当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂；
所以，共有类涂法，则共有种不同的涂色方法.
故答案为：.
14. 在等腰梯形中，，若，则梯形周长的最大值为______，梯形面积的最大值为______.

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】过作，为垂足，设，，把梯形周长和面积表示为关于的函数，利用二次函数的性质和基本不等式求最大值.
【详解】设，，则中，，，
过作，为垂足，则，，

等腰梯形周长为，
所以当时，梯形周长的最大值为10.
梯形面积
，
当且仅当，即时等号成立，
所以梯形面积的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：设，利用图形特征，把梯形周长和面积表示为关于的函数，借助函数的思想，利用函数的单调性等性质，或不等式的性质，求最大值.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知
（1）试判断的形状；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】（1）是直角三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；
（2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
【小问2详解】
解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，
所以周长为，
因为，可得，
所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.
16. 如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，．
（1）求证：平面；
（2）当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以线面垂直判定定理去证明即可解决；
（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面与平面的夹角的余弦值即可解决.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
同理：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
又因为，，所以平面
【小问2详解】
以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．
则，，，，，．
所以，且是平面的一个法向量．
，
设平面的法向量为
则，即
所以，令，得．
则平面的一个法向量为．
所以．
，
所以．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 塔山石榴，产自安徽省淮北市烈山区塔山，种植迄今已有千年历史.为了进一步发展高效农业，丰富石榴品种，壮大石榴产业，当地政府委托某种业科研公司培育了两种新品石榴，将它们分别种植在两块土质和大小相同的试验田内，并从收获的果实中各随机抽取300个，按质量（单位:g）将它们分成4组:，，得到如下频率分布直方图:

（1）分别估计品种石榴单个果实的质量；
（2）经筛选检测，除去坏果和瑕疪果，两种石榴的合格率如下表:
已知A品种混放在一个库房，品种混放在另一个库房，现分别从两个库房中随机各抽取2个石榴，其中合格石榴的总个数记为，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）94g，90g
（2）分布列见解析，期望为3.1
【解析】
【分析】（1）分别根据频率分布直方图计算平均数估计即可；
（2）根据频率分布直方图及合格率表先得出两个品种取得合格品的概率，再分别计算随机抽取到合格品个数的概率，列出其分布列并计算期望即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图得样本中A品种石榴单个果实质量的估计值为:
样本中品种石榴单个果实质量的估计值为:
【小问2详解】
设A:从品种石榴中任取1个为合格品；B:从品种石榴中任取1个为合格品；则:
由题意得，
则，
所以的分布列为
所以.
18. 如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.

（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围；
（3）直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角形重心坐标公式先求A坐标，再代入椭圆方程结合其性质计算即可；
（2）设B、D、E坐标，并根据焦半径公式得，由等差中项的性质得出，再根据点差法得出中垂线的斜率，表示中垂线方程，结合点在椭圆内计算范围即可；
（3）设M、N坐标，联立椭圆方程结合韦达定理得出其横坐标关系，再根据平面向量的坐标表示，利用函数的性质计算范围即可.
【小问1详解】
不妨设，
因为的重心，所以，
所以，
又短轴长为6，所以，代入解得，
所以椭圆方程为:；
【小问2详解】
由上可知，设中点，
则，
又，消去并整理得，
同理，
又，
由题意得，
即，
因B，D在上，易得，化简得，
所以线段中垂线的斜率，
线段中垂线方程:，
令得，
又线段中点在椭圆内所以，
所以；
【小问3详解】
设，由得，
联立消整理得，
得，
所以，
当时，，
当时，，
解不等式得.
【点睛】思路点睛：根据焦半径公式及等差中项的性质可确定中点横坐标，再由中垂线方程得出E与中点的关系结合点在椭圆内计算范围即可解决第二问；利用平面向量共线的坐标表示结合韦达定理计算横坐标关系，分类讨论斜率是否为零，再含参表示结合函数的性质求范围解不等式即可.
19. 已知函数，其中
（1）若，记，试判断在上的单调性；
（2）求证:当时，；
（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在单调递减，在单调递增
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）直接利用导数的运算法则计算，利用三角函数的性质计算即可判定单调区间；
（2）根据为偶函数，则只判定时，即可；法一、分区间讨论显然成立，时，多次求导结合三角函数有界性判定即可；法二，在时，放缩证明即可，构造函数，利用导数研究其单调性证明即可；
（3）将题设通过换元法化简为有恒成立，当时，放缩得，构造函数，因为其为偶函数，只判定正区间即可；法一、多次求导结合隐零点判定其单调性即可；法二、分离参数，多次求导判定函数的单调性并求其最值即可.
【小问1详解】
由，可知，
则，
在时，
令，解之得，
令，解之得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
法一、
注意到是偶函数，故只需证明当时，，
①当时，显然，
②当时，，
令，则，
令，则在上是单调函数，
而,
故，即，于是在单调递增，
又，可知,
于是在单调递增，
又，可知，证毕；
法二、
注意到是偶函数，故只需证明当时，，
①当时，显然，
②当时，，
而
当时，上式显然成立；
当时，上式等价于
令，
则，
即在单调递增，则，证毕；
【小问3详解】
法一、
题设可化为:对恒成立，
令，则，条件进一步化为:
对任意，有恒成立，
注意到时，，
另一方面，当时，，
记，
显然函数为偶函数，故考虑时情形，
易得：，令，
令得，
于是在上单调递增，在上单调递减；
而，
故必然存在实数使得:
当时，，当时，，
于是在上单调递增，在上单调递减；
验证知:对任意恒成立.
因此，即，
综上，实数的取值范围为 ；
法二、
题设可化为：对恒成立，
令，则，条件进一步化为：对任意，
（*）恒成立
注意到与都是偶函数，故只需考虑情形即可.
①当时，结论显然.
②当时，（*）化为，
令，则，
令，则，
（1）当时，有，于是，
（2）当时，有单调递减；单调递增.
而，故，
进一步，在上单调递减，
于是得到:即为的取值范围.
【点睛】思路点睛：对于三角函数与导数结合问题，通常利用三角函数的有界性适当进行放缩，并分区间讨论来处理问题.题号
考生甲
考生乙
考试丙
A品种合格率
0.7
0.8
0.7
0.8
品种合格率
0.7
0.8
0.8
0.9
0
1
2
3
4
0.0025
0.035
0.1825
0.42
0.36