安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

这是一份安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题，共14页。试卷主要包含了若，则下列不等式恒成立的是，已知函数的导函数为，，都有等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：150分钟满分：120分）
注意事项：
1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．
2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．
第I卷（选择题共58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案涂在答题卡上）
1．函数存在导函数且满足，则上的点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则为（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中的常数项是（）
A． B．270 C． D．540
4．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．试卷源自 每日来这里 全站资源一元不到！更新，汇集全国各地小初高最新试卷。6．班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，则这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）
A．144种 B．150种 C．196种 D．256种
7．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的导函数为，，都有（是自然对数的底数），且，若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）
9．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项
10．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ）
A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有72种
C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有27种
11．函数有两零点，且，记函数的极小值点为，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置）
12．若，则________．
13．李华同学忘记了自己的QQ号，但记得QQ号是由一个1，一个2，两个5和两个6组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数有________种（用数字作答）．
14．函数有两个极值点，，则取值范围________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）
已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值．
16．（本题满分15分）
（1）求的展开式中含的项；
（2）若，求：
①；
②．
17．（本题满分15分）
设函数（k为常数，是自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围．
18．（本题满分17分）
如图，从左到右有5个空格．
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答）
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答）
（3）若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）．
19．（本题满分17分）
已知函数，．（注：是自然对数的底数）
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围；
（3）若存在，对于任意的，使得恒成立，求的最小值．合肥一中2023-2024学年度高二年级下学期期中联考
数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】在点处的切线的斜率为（）
故选：A．
2．【答案】D
【解析】由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有种选择，每项冠军有4种可能结果，3项冠军根据分步计数原理知共有种可能结果．
故选：D．
3．【答案】A
【解析】由二项式展开式的通项为
令，可得，所以展开式的常数项为．
故选：A．
4．【答案】A
【解析】∵，，
∴，，
令，解得，故的递减区间为．
故选：A．
5．【答案】C
【解析】函数的导数为，由题意可得恒成立，
即为，即有，
设，即有，
当时，不等式显然成立；当时，，
由在递增，可得时，取得最大值，可得，即，
综上可得a的范围是．
故选：C．
6．【答案】B．
【解析】把学生分成两类：311，221，
根据分组公式共有种报考方法，
故选：B．
7．【答案】C．
【解析】对于A，取，，所以不等式不恒成立；
对于B，时，左边，右边，不等式成立；时，左边，右边，左边大于右边，所以，不等式不恒成立；
对于C，构造函数，，，又在上单调递增，
又，所以函数，
∴函数在上单调增，∴，∴；对于D，取，，所以不等式不恒成立；
故选：C．
8．【答案】C．
【解析】即，
所以，则，所以，因为，所以，所以，
，
由得，此时单调递增，
由得或，此时单调递减，
所以时，取得极大值为，
当时，取得极小值，
又因为，，，且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，
所以时，的解集中恰有两个整数，，
故实数m的取值范围是
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】BD．
【解析】因为，所以，所以所有奇数项的二项式系数和为，故A错误；令，得所有项的系数和为，故B正确；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误；因为展开式的通项为
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．
故选：BD．
10．【答案】AC．
【解析】对于A，采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位，
，故正确；
对于B，利用插空法，，故错误；
对于C，利用捆绑法，，故正确；
对于D，利用特殊元素优先法，，故错误，
故选：AC．
11．【答案】ABD．
【解析】对于A选项，∵，
∴，令，
当时，在上恒成立，
∴在R上单调递增．当时，由，解得；由，解得；
∴在单调递减，在单调递增．
∵函数有两个零点，，，
∴，，即，即，
解得：；所以A正确；
对于B选项，因为函数有两个零点，，
所以，是方程的两根，即，，
所以，设，则，
所以
因此令，则，
所以在上为增函数，所以，
因此，即，所以B正确；
对于C选项，
由于
令，则，
所以在上单调递减，
所以，因此，即：，故C错误；
对于D选项，由在单调递减，在单调递增，所以有极小值点，
由，得，，
因此．
故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．【答案】7．
【解析】按照排列数和组合数的定义计算即可．
由题意可得，由公式可得：，解得．
13．【答案】180．
【解析】根据题意，其QQ号由共6个数字组成，将这6个数字全排列，有种情况，而这6个数字中有两个5和两个8，则共可以组成个六位数，那么他找到自己的QQ号最多尝试180次．
14．【答案】．
【解析】定义域是，∴，
∵有两个极值点，
∴，在有两个不等根
令，对称轴为
∴∴
两个极值点为，，，则，，
，
令
，∵，∴，
∴在单调递增
∴，
∴
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
解：（1）函数，求导得，
则，解得，于是，
所以切线方程为：，即
（2）由（1）知，函数，定义域为，
求导得
当或3时，，当时，，因此函数在，上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以函数的递增区间为，，递减区间为，极大值为，极小值为
16．（本题满分15分）
解：（1）展开式中含的项为：
（2）①令得：①
令得：②
①+②得：
得：
②等式两边分别求导得：
令得：
即：
17、（本题满分15分）
（1）
当时，令，则，∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴的单调递减区间为单调递增区间为
（2）由（1）知，时，函数在内单调递减，
故在内不存在极值点；
当时，令，．∴，
当时，当时，，单调递增，
故在内不存在两个极值点；当时，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴函数的最小值为
要使函数在内存在两个极值点当且仅当解得：
综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为
18．（本题满分17分）
解：（1）本题分2步：①第三个格子不能填0，则0有4种选法；②将其余的4个数字全排列安排在其他四个格子中有种情况，则一共有种不同的填法；
（2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，则五个格子共有种不同的涂法10分
数学答案第8页/共11页
（3）法一：根据题意，有一家企业与2位校长谈，其余4家企业只与1位校长谈
第1步：从5家企业中选一家，
第2步：从3位校长中选2位，
第3步：从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长，
第4步：在第2步选中的两位校长，每位还要安排一家企业，
因此有种．
法二：五家企业记为A，B，C，D，E，把这五家企业分为3份，如，，，含有E的这一份要从A，B，C，D取一家组成2家，如取A得，前面分三份会出现，因此有，然后再分给3位校长，因此总排法有种．
19．（本题满分17分）
（1）当时，，，故
，，故在点处的切线方程为；
（2）由题意知有且只有一个根且有正有负，
令，则．
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，，所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，在上恒成立，即无极值点；
③当时，当，；当，，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则，即．
因为，所以当时，，
当时，，
令，则，，故，
故在上为增函数．故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点，
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：
（3）对于任意的，要使恒成立，则当n取最大值时取到最小值．
当时，因为，故当时，的最小值为e；
当时，当时，，所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此，
因为，所以，
代入得，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，，
所以的最小值为