备考2024年中考数学计算能力训练6 二次根式的运算

这是一份备考2024年中考数学计算能力训练6 二次根式的运算，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

1．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A．(−3)2=−3B．3+3=6C．53×23=103D．6÷3=2
2．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A．38=22B．35+5=310C．45÷85=22D．33×23=63
3．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A．(−3)2=−3B．25+5=310C．35÷95=33D．23⋅63=123
4．下列说法中正确的是（ ）
A．12 化简后的结果是 22B．9的算术平方根为－3
C．8 是最简二次根式D．－27没有立方根
5．下列二次根式的运算：①2×6=23 ，②18−8=2 ，③25=255 ，④(−2)2=−2 ；其中运算正确的有（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列计算正确的是（ ）
A．310−25=5B．711⋅(117÷111)=11
C．(75−15)÷3=25D．1318−389=2
7．下列计算正确的是（ ）
A．3−223−22=9−2×3=3B．2x+yx−y=2x−y
C．3−32=32−32=6D．x+x+1x+1−x=1
8．若12−a13=3，则a的值为（ ）
A．13B．1C．2D．3
9．观察下列二次根式的化简
S1=1+112+122=1+11−12
S2=1+112+122+1+122+132=(1+11−12)+(1+12−13)
S3=1+112+122+1+122+132+1+132+142=(1+11−12)+(1+12−13)+(1+13−14)，则S20232023=（ ）
A．12022B．20222021C．20242023D．20252024
10．对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m−n(m≥n)，m+n(m①18⊗2=22；②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；③(a⊗b)⋅(b⊗a)=|a−b|．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．已知x=3+1，y=3−1，则代数式yx+xy的值是 ．
12．我们在二次根式的化简过程中得知： 12+1=2−1,13+2=3−2, 14+3=4−3 ，…，则 (12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+12020+2019) (2020+1)=
13．已知m为正整数，若189m是整数，则根据189m=3×3×3×7m=33×7m可知m有最小值3×7=21.设n为正整数，若300n是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
14．对于任意的正数m，n，定义新运算※：m※n= m−nm≥n，m+n(m15．若最简二次根式x−1x+y与4x−2y是同类二次根式，则xy2= ．
16．已知a−b=−2，ab=13，则代数式 a2+b2−2ab +a2+b2+ab的值等于 .
三、计算题
17．已知二次根式3−12x
（1）当x=-2时，求二次根式3−12x的值；
（2）若二次根式3−12x的值为零，求x的值
18．计算与解方程：
（1）38−(12+13)；
（2）x2−62x−3=0
19．二次根式计算：
（1）22−18+12 ．
（2）(5+2)(5−2)−12÷3 ．
20．计算：(5−2)2+(2+3)(2−3).
21．计算：
（1）18−3×23.
（2）218−128.
（3）327+15+2−12−2+|3−5|.
22．计算：(25−3)(25+3)−2(5−1)2．
23．化简：239x+6x4−2x1x，并将你所喜欢的x值代入化简结果进行计算.
24．已知：x＝ 3+23−2 ，y＝ 3−23+2 ，求 x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3 的值．
四、解答题
25．定义： 若两个二次根式 A，B 满足 A⋅B=c， 且 c 是有理数， 则称 A 与 B 是关于 c 的共轭二次根式.
（1）若 A 与 2 是关于 2 的共轭二次根式， 则 A =
（2）若 2+3 与 2+3m 是关于 1 的共轭二次根式， 求 m 的值.
26．已知二次根式x+1．
（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
（2）已知x+1是最简二次根式，且与52可以合并，
①求x的值；
②求x+1与52的乘积．
27．28化简后与最简二次根式3x+1有相同的被开方数，求x的值
28．
（1）计算：(15−6)×3−32．
（2）阅读下面解方程的过程，并完成相应学习任务：
x+12−2−x4=3
解：去分母，方程两边同乘4，得
2(x+1)−2−x=12． 第一步
去括号，得
2x+2−2−x=12． 第二步
移项，得
2x−x=12+2−2． 第三步
合并同类项，得
x=12． 第四步
任务：
①上面解方程的最终目的是使方程逐步变形为“x=a（已知数）”的形式，体现的数学思想是 ．（填出字母序号即可）
A.方程思想 B.转化思想 C.特殊到一般的思想
②上面解方程的过程，从第 步开始出现错误，错误原因是 ．
③移项的依据是 ．
④方程的正确解是 ．
29．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：3×3=3，(6−2)(6+2)=6−2=4，我们称3的一个有理化因式是3，6−2的一个有理化因式是6+2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：13=1×33×3=33，
86−2=8(6+2)(6−2)(6+2)=8(6+2)4=26+22．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）13的有理化因式为 ，7+5的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
（2）将下列各式分母有理化（要求写出变形过程）：
①315；
②1125−3；
（3）计算：11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12022+2023的结果．
30．阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道(a)2=a(a≥0)，
例题：求3−5+3+5的值．
解：设x=3−5+3+5，两边平方得：
x2=(3−5+3+5)2=(3−5)2+(3+5)2+2(3−5+3+5)，
即x2=3−5+3+5+4，x2=10，
∴x=±10，
∵3−5+3+5>0，
∴3−5+3+5=10，
请利用上述方法，求4−7−4+7的值．
五、实践探究题
31．阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：(2+3)(2−3)=1，(5+2)(5−2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+7的有理化因式可以是 ，232分母有理化得 ．
（2）计算：
①11+2+12+3+13+4+…+11999+2000．
②已知：x=3−13+1，y=3+13−1，求x2+y2的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、(−3)2=3，A选项错误；
B、3+3=23，B选项错误；
C、53×23=10×3=30，C选项错误； 故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质，a2=aa(a≥0)−a(a＜0)，故(−3)2=−(−3)=3.
同类二次根式加减过程可以利用合并同类项的方法，即系数相加作为结果的系数，根号和根号下被开方数不变；
二次根式计算公式：a×b=ab，ab=ab(b≠0).
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A．原式＝2，所以A选项不符合题意；
B．原式＝45，所以B选项不符合题意；
C．原式＝45×58=12=22，所以C选项符合题意；
D．原式＝6×3＝18，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用立方根、二次根式的加法、二次根式的除法和二次根式的乘法逐项判断即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 (−3)2=3 ，此选项不符合题意；
B、 25+5=35 ，此选项不符合题意；
C、 35÷95=33 ，此选项符合题意；
D、 23⋅63=12×3=36 ，此选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质，同类二次根式，二次根式的乘法、除法法则，计算求解即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、 12 = 22 ，故正确；
B、9的算术平方根为3，故错误.
C、 8 ＝ 22 ， 8 不是最简二次根式，故错误；
D、−27的立方根为−3，故错误.
故答案为：A.
【分析】根据平方根、立方根的定义、最简二次根式的定义、二次根式的化简法则一一判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解： 2×6=23 ，故①正确；
18−8=32−22=2 ，故②正确；
25=255 ，故③正确；
(−2)2=2 ，故④错误.
∴正确的3个；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的乘法法则，根指数不变，被开方数相乘，计算的结果能化简的必须化简，从而即可判断①；二次根式的减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可，从而即可判断②；根据分母有理化的方法，在分子分母同乘以分母的有理化因式5即可判断③；根据二次根式的性质，一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值即可判断④.
6．【答案】B
【解析】【解答】解： A、 310 与 −25 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、 711⋅(117÷111) = 711⋅117×11 = 711×117×11 = 11 ，符合题意；
C、 (75−15)÷3 =（5 3 - 15 ）÷ 3 =5- 5 ，不符合题意；
D、 1318−389 = 2−22=−2 ，不符合题意；
故答案为：B
【分析】A、D、二次根式的加减法法则，将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；B、将二次根式的除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则根指数不变，被开方数相乘，即可算出结果；C、根据二次根式的性质，将括号里各个二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的除法法则，根指数不变，被开方数相除，算出结果；将计算的各个结果与答案一一比较即可得出答案。
7．【答案】D
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵12−a13=3，
∴23−a33=3，
∴633−a33=3，
∴6−a3=33，
∴6-a=3，
解得：a=3，
故答案为：3.
【分析】根据题意先求出6−a3=33，再求出6-a=3，最后计算求解即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：根据化简的二次根式，分析可得：
S2023=（1+11-12）+（1+12-13）+（1+13-14）+⋯⋯+（1+12022-12023）（1+12023-12024）
一共有2023个多项式相加，
S2023=1×2023+1-12+12-13+13-14+⋯⋯+12022-12023+12023-12024
=2023+1-12024
=2024-12024
∴S20232023 =2024−120242023=1+12024= 20252024
故答案为：D.
【分析】根据数据的规律，可以求出S2023的表达式，化简求出代数式的值即可.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：①∵18＞2，
∴①18⊗2=18−2=32−2=22，所以①正确；
②∵1＜2，2＜3，3＜4，＜100，
∴11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=11+2+12+3+13+4++199+100=2−1+3−2+4−3+−99=100−1=9，100⊗1=100−1=10−1=9，所以②正确；
③(a⊗b)⋅(b⊗a)可分成两种情况：
（1）当a≥b时，(a⊗b)⋅(b⊗a)=（a−b）（a+b）=a−b，
（2）当a＜b时，(a⊗b)⋅(b⊗a)=（a+b）（b−a）=b−a，
∴(a⊗b)⋅(b⊗a)=丨a-b丨，所以③正确；
综上，以上说法正确的个数为3个。
故答案为：D.
【分析】根据定义新运算规则把式子转化成二次根式的运算，然后根据二次根式的运算法则分别进行运算，即可求得正确答案。
11．【答案】4
【解析】【解答】解：因为x=3+1，y=3−1，所以xy=3-1=2，x+y=23，所以yx+xy=x2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=(23)2−2×22=4.
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出xy和x+y的值，再代入求值.
12．【答案】2019
【解析】【解答】 (12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+12020+2019) (2020+1)
=( 2−1+3−2+4−3+ …+ 2020−2019 )( 2020+1 )
=( 2020−1 )( 2020+1 )
= (2020)2−1
=2019.
故答案为：2019
【分析】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.
13．【答案】3；75
【解析】【解答】解：∵300n=3×2×5×2×5n=103n，300n是大于1的整数，
∴300n=103n>1.
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75.
故答案为：3；75.
【分析】将已知二次根式化简为103n，再根据103n＞1，再由n为正整数，可得到n的值为3、12、75，由此可知n的最大值和最小值.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：∵3＞2，8＜12，
∴（3※2）×（8※12）
=3−2×8+12
=3−2×22+23
=2×3−2×2+3
=2×32−22
=2.
故答案为：2.
【分析】根据新定义，结合平方差公式：a+ba−b=a2−b2；和二次根式的性质：a2=a（a≥0）进行计算即可.
15．【答案】92
【解析】【解答】∵最简二次根式x−1x+y与4x−2y是同类二次根式，
∴x−1=2x+y=4x−2y，
解得：x=3y=3，
∴xy2=3×32=92，
故答案为：92.
【分析】先利用同类项二次根式的定义可得x−1=2x+y=4x−2y，再求出x、y的值，最后将x、y的值代入xy2计算即可.
16．【答案】2+3
【解析】【解答】解：∵a−b=−2，
∴a−b2=−22=2，
则a2+b2−2ab+a2+b2+ab
=a−b2+a2+b2−2ab+ab+2ab
=a−b2+a−b2+3ab
将a−b2=2，ab=13代入可得：
原式=2+2+3×13
=2+3；
故答案为：2+3.
【分析】先根据二次根式的性质求得a−b2=2，将原代数式化简，代入求值即可.
17．【答案】（1）解：当x=-2时，3−12x=3−12×(−2)= 3+1=2.
（2）解：二次根式3−12x的值为.
3-12x=0，
解得x=6.
【解析】【分析】（1）根据已知x的值，代入原式即可求出答案；（2）根据二次根式的值，代入原式即可求出答案；
18．【答案】（1）解：原式=62−23−33
=62−733
（2）解：x2−62x−3=0，
∵a=1，b=−62，c=−3，
∴Δ=(−62)2−4×1×(−3)=4×21>0，
∴x=62±2212×1=32±21，
∴x1=32+21，x2=32−21
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的计算及一元二次方程的解法.
（1）根据二次根式的计算规则进行计算即可求解；
（2）运用公式法解∆=b2−4ac,x1,2=−b±∆2a，一元二次方程即可.
19．【答案】（1）解：原式= −122
（2）解：原式= 5−2−2
=1
【解析】【分析】根据ab=a×b，1a=1a=aa ， ab=ab求解.
20．【答案】解：原式=5−210+2+4−3
=8−210.
【解析】【分析】先直接利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减运算..
21．【答案】（1）解：原式=32−3×23=32−2=22；
（2）解：原式=232−12×22=2×22=4；
（3）解：原式=3+5−25+25−2−1122+3−5=3+5−2−4+3−5=0
【解析】【分析】二次根式的混合运算，先将二次根式化简，再根据先乘除再加减的顺序计算.
22．【答案】解：原式=(25)2−32−2(5−25+1)
=20−9−10+45−2
=−1+45．
【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行二次根式的化简计算，因此要熟练掌握并灵活应用平方差公式和完全平方公式。
23．【答案】解：239x+6x4−2x1x
=2x+3x−2x=3x，
取x=2时，原式=32
【解析】【分析】先利用二次根式的性质将其化简，合并，再选取使二次根式有意义的x的值代入计算即可求解.
24．【答案】解：x＝5＋2 6 ，y＝5－2 6 ，xy＝1，x＋y＝10，x－y＝4 6 ，原式＝ x+yxy(x−y) ＝ 5126
【解析】【分析】先把x、y分别分母有理化，得到x=5+26，y=5−26.将原分式化简得到x+yxy(x−y)，将x、y的值分别代入，化简求值即可. 也可利用x=5+26，y=5−26计算出xy及x+y、x-y的值，再整体代入也可. 本题考查二次根式的化简，分式的化简，熟练掌握对应的性质，准确计算是关键.
25．【答案】（1）解：由题意得：2A=2，
解得A=2；
（2）解：由题意得：2+32+3m=1，
2+3m=12+3=2−3，
∴m=−1.​​​​​​​
【解析】【分析】（1） 根据共轭二次根式的定义可得2A=2，即可求解A的值；
（2）根据共轭二次根式定义可得2+32+3m=1，即可求解m的值.
26．【答案】（1）解：∵二次根式x+1有意义，
∴x+1≥0，
解得：x≥−1
（2）解：①52=102，
∵x+1与52可以合并，
∴x+1=10，
解得：x=9；
②由①得：9+1×52，
=10×102，
=5．
【解析】【分析】（1）满足二次根式有意义的，即被开方数≥0.
（2）①根据最简二次根式的定义，得出x+1=10，求出x=9.
②根据①所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可.
27．【答案】解：28=4×7=27，28化简后与最简二次根式3x+1有相同的被开方数，3x+1=7． 3x+1=7．x=2.
【解析】【分析】先化简28=4×7=27，因为3x+1是最简二次根式，所以有3x+1=7.解一元一次方程即可得x的值.
28．【答案】（1）解：原式=15×3−6×3−42
=35−32−42
=35−72
（2）B；x=4；一；去掉分母后，2-x没有加括号；等式的性质1（或等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等）
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
29．【答案】（1）13；7−5
（2）解：①155；②25+3
（3）解：2023−1
【解析】【解答】
解：（2）315＝3×1515×15＝31515＝155
1125−3＝1125+325−325+3＝1125+311＝25+3
（3） 11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12022+2023
＝2−1+3−2+4−3+……+2023−2022
＝2023−1
【分析】
（1）根据有理化因式 的定义写出各式的有理化因式。
（2）分子和分母同时乘以分母的有理化因式，使分母转化为有理数，再化简即可。
（3）化简各加数，再合并即可。化简各加数就是把它们分母有理化。
30．【答案】解：设x=4−7−4+7，
则x2=(4−7−4+7)2=4−7−2(4−7)(4+7)+4+7=8−6=2，
∴x=±2，
∵4−7−4+7<0，
∴4−7−4+7=−2．
【解析】【分析】设x=4−7−4+7，进而得到x=±2，再根据题意得到x＜0即可求解。
31．【答案】（1）4−7；23
（2）解：①原式=2−1+3−2+…+2000−1999=2000−1=205−1；
②∵x=3−13+1=2−3，y=3+13−1=2+3，
∴x2+y2=7−43+7+43=14．
【解析】【解答】（1）∵(4+7)×(4−7）=9，
∴4+7的有理化因式可以是4−7；
232=2232×2=23；
故答案为：4−7；23；
【分析】（1）利用分母有理数的计算方法求解即可；
（2）①先利用分母有理化的计算方法化简，再计算即可；
②先将x、y化简，再将其代入x2+y2计算即可。