2023-2024学年江苏省南通市海门中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，已知a3+a7=20，则S9=( )
A. 45B. 60C. 90D. 180
2.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.过点(−1,3)且平行于直线x−2y+3=0的直线方程为( )
A. x−2y+7=0B. 2x+y−1=0C. x−2y−5=0D. 2x+y−5=0
4.(2+x)4(3−x)5的展开式中x8的系数为( )
A. 7B. 23C. −7D. −23
5.已知点A(m,n)在焦点为F的抛物线x2=4y上，若|AF|=3，则m2=( )
A. 4B. 8C. 12D. 16
6.已知a>0，b>0，若直线x−y−4a=0与曲线y=1+ln(x+b−1)相切，则1a+4b的最小值为( )
A. 9B. 12C. 14D. 16
7.文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为( )
A. 720B. 1440C. 2400D. 2880
8.已知圆D：(x−a)2+y2=r2(r>0)与x轴相交于A、B两点，且圆C：x2+(y−5)2=9，点M(0,3).若圆C与圆D相外切，则tan∠AMB的最大值为( )
A. 65B. 125C. 89D. 169
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4=32，a2+a3=12，则( )
A. q=2
B. 数列{Sn+2}的通项公式为Sn+2=2n+1
C. S8=254
D. 数列{lg2an}是公差为2的等差数列
10.已知F1，F2为双曲线C：x23−y2=1的左、右焦点，过F2的直线交双曲线C右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是( )
A. 若PQ=2 3，则△PF1Q的周长为8 3
B. 弦FQ长的最小值为2 33
C. 点P到两渐近线的距离之积为34
D. 点P与直线x− 3y+2=0距离的最小值为1
11.甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用A1，A2，A3表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则( )
A. P(A1)=27B. P(B|A2)=1549C. P(B|A3)=47D. P(B)=3149
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个口袋内装有7只不同的白球和1只黑球，从口袋内取出3只球，其中必有1只黑球，则不同的取法共有______种.
13.已知函数f(x)=x3−(a+1)x，∀x1，x2∈R，当x1+x2≠0时，f(x1)+f(x2)x1+x2≥1，则实数a的取值范围为______．
14.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，连接AF1并延长交椭圆C于点P，若PA=PF2，则该椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知递增的等比数列{an}满足a3=4，且a2，a3，a4−2成等差数列．
(1)求{an}的通项公式：
(2)设bn=2an(n为奇数)12an−1(n为偶效)，求数列bn的前2n项和．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=32x2−(a+3)x+alnx(a∈R)在x=1处取得极大值．
(1)求a的取值集合；
(2)当x≥1时，求证：f(x)≥−13a2−32．
17.(本小题15分)
如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面ABB1A1均是边长为2的正方形．
(1)证明：BD1⊥B1C.
(2)若∠B1BC=120°，求BD1与平面B1CD1所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知An=(1+x)n(n∈N*)．
(1)当n≥7时，若An的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中x3的系数；
(2)设i=1nAi=j=0najxj．
①求x2的系数(用n表示)：
②求j=1njaj(用n表示)．
19.(本小题20分)
已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为2，点B为(0,b)，直线BF2与圆7x2+7y2−12=0相切．
(1)求双曲线E方程；
(2)过F2的直线l与双曲线E交于M，N两点，
①若MF2=λF2N(11，
解得a>3，
即a的取值集合为(3,+∞)；
(2)证明：由(1)得，f(x)在(1,a3)上单调递减，在(a3,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(a3)=−a26−a+alna−aln3，
则f(a3)−(−13a2−32)=a26+alna−a−aln3+32，
令g(a)=a26+alna−a−aln3+32，
则g′(a)=a3+lna+1−1−ln3=a3+lna−ln3，
因为a>3，所以g′(a)>0恒成立，
即g(a)在(3,+∞)是递增，所以g(a)min=g(3)=0，
所以f(a3)−(−13a2−32)≥0，
所以f(x)≥f(a3)≥−13a2−32，
即f(x)≥−13a2−32时在x∈(1,+∞)上恒成立．
【解析】(1)求导可知f′(x)=(x−1)(3x−a)x，由当x=1时，f(x)取极大值，可知a3>1，进而求出a的取值集合；
(2)由(1)可知f(x)min=f(a3)=−a26−a+alna−aln3，则f(a3)−(−13a2−32)=a26+alna−a−aln3+32，令g(a)=a26+alna−a−aln3+32，求导可知g(a)min=g(3)=0，所以f(a3)−(−13a2−32)≥0，即f(x)≥−13a2−32时在x∈(1,+∞)上恒成立．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：连接BC1，∵底面ABCD和侧面ABB1A1均为正方形，
∴四边形BCC1B1为菱形，
则BC1⊥B1C，
由底面ABCD和侧面CDD1C1均为正方形，得C1D1⊥B1C1，C1D1⊥CC1，
∵B1C1∩CC1=C1，
∴C1D1⊥平面BCC1B1，
又B1C⊂平面BCC1B1，∴C1D1⊥B1C，
∵BC1∩C1D1=C1，∴B1C⊥平面BC1D1，
又BD1⊂平面BC1D1，
∴BD1⊥B1C.
(2)由已知可得：AB⊥AA1，AB⊥AD，
又AA1，AD⊂平面AA1D1D，且AA1∩AD=A，
∴AB⊥平面AA1D1D，
又∵∠B1BC=120°，
∴△AA1D1为正三角形，取A1D1中点E，连接AE，则AE⊥AD，
以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，B(2,0,0),D1(0,1, 3)，B1(2,−1, 3),C(2,2,0)，
∴BD1=(−2,1, 3),B1D1=(−2,2,0),B1C=(0,3,− 3)，
设平面B1CD1的一个法向量为n=(x,y,z)，
则−2x+2y=03y− 3=0，令x=1，则y=1，z= 3，
∴n=(1,1, 3)，
∴BD1与平面B1CD1所成角的余弦值csθ=|BD1⋅n||BD1|⋅|n|=−2+1+32 2⋅ 5= 1010，
∴sinθ= 1−cs2θ= 1−110=3 1010，
即BD1与平面B1CD1所成角的正弦值为3 1010．
【解析】(1)根据已知条件证出B1C⊥平面BC1D1，利用线面垂直的性质定理即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面B1CD1的法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查线面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题Cn2=Cn7，所以n=9，所以A9=(1+x)9，所以Tr+1=C9rxr，所以C93=84；
(2)由题意得，(1+x)1+(1+x)2+⋯+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，
①a2=C22+C32+C42+⋯+Cn2=Cn+13；
②j=1njaj=a1+2a2+3a3+⋯+nan，
a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=(1+x)1+(1+x)2+⋯+(1+x)n，所以对等式两边同时求导，
即a1+2a2x+3a3x2+⋯+nanxn−1=1+2(1+x)+3(1+x)2+⋯+n(1+x)n−1，
令x=1，得1+2×2+3×22+4×23+⋯+n×2n−1=a1+2a2+3a3+…+nan，
即j=1njaj=1+2×2+3×22+4×23+⋯+n×2n−1，①，
2j=1njaj=2+2×22+3×23+4×24+⋯+n×2n，②，
作差得，−j=1njaj=1+2×22+23+⋯+2n−1−n×2n=(1−n)×2n−1，所以j=1njaj=(n−1)×2n+1．
【解析】(1)直接利用二项式的展开式求出结果；
(2)①直接利用组合数的应用求出结果；
②直接利用赋值法的应用求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)不妨设直线BF2的方程为bx+cy−bc=0，
因为直线BF2与圆x2+y2=127相切，
所以圆心(0,0)到直线BF2的距离d= 127，
即|−bc| b2+c2= 127，
整理得12b2+12c2=7b2c2，①
因为双曲线E的离心率为2，
所以ca=2，②
又c2=a2+b2，③
联立①②③，
解得a2=1，b2=3，c2=4，
则双曲线E的标准方程为x2−y23=1；
(2)①不妨设直线l的方程为x=my+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+2x2−y23=1，消去x并整理得(3m2−1)y2+12my+9=0，
由韦达定理得y1+y2=12m1−3m2,y1y2=93m2−1，
所以S△MON=12c⋅|y1−y2|=12c⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 36m2+36(3m2−1)2，
因为MF2=λF2N，
所以−y1y2=λ∈(1,3)，
可得y1y2=93m2−1=−144m2λ(3m2−1)2(1−λ)2，
即−16m23m2−1=λ+1λ−2，
因为λ+1λ−2∈(0,43)，
所以m2∈(0,115)，
不妨令t=3m2−1，−1