2024年安徽省马鞍山市花园初级中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义，即可求解，
本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：．
2. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
3. 下列运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式得解集，解一元一次不等式，先解不等式得到不等式得解集为，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，向右画；向左画，据此求解即可．
【详解】解：解不等式得，
数轴表示如下所示：
故选：A．
5. 下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则y随x的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而增大，据此求解即可．
【详解】解：A、由于，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；
B、由于，则当时，y随x的值的增大而增大，符合题意；
C、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；
D、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而增大，当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，与正五边形的两边，相切于A，C两点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解．
【详解】解：与正五边形的两边，相切于A，C两点，
，，
正五边形的每个内角度数为：，
，
．
故选：B．
7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票（如图），他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【详解】解：将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”分别用字母A、B、C、D表示，根据题意可画树状图如下．
由图知，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
故选：D．
8. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）

A. 3B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可．
详解】解：如图，过点作，交于点，

和中，
设，则，
，即：，
解得：，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可．
【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，
把分别代入两个函数解析式得：
，，
解得：，，
∴，，
∴，
∵，
∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线，
所以C选项符合题意．
故选：C．
10. 已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（ ）
A. 的面积为
B. 的最小值为1
C. 周长的最小值为
D. 为直角三角形时，的面积为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角函数的应用、线段的最值问题等知识点，当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，得出点在线段上运动
是解题关键．
【详解】解：由题意得：
∵
∴
∴的面积，故A正确；
当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，作如图所示：
由题意可知：点线段上运动
∴当时，有最小值
∵
∴，
∵
∴,
∴
∵
∴
∴
∵，为中点
∴，故B正确；
作点关于的对称点，连接，如图所示：
∵
又
∴
∵
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，故C正确；
由以上分析可知：,
若，如图所示：
则，
∴的面积
若，如图所示：
则
∴的面积
故D错误；
故选：D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：_______．
【答案】7
【解析】
【分析】先计算算术平方根，然后再计算减法运算，即可得到答案.
【详解】解：；
故答案为：7.
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，以及有理数的加减运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题.
12. 国内生产总值是指按国家市场价格计算的一个国家（或地区）所有常驻单位在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标．2023年安徽省马鞍山市雨山区为271.4亿，其中271.4亿用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：271.4亿，
故答案为：．
13. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，__________．（结果保留一位小数）
【答案】0.1
【解析】
【分析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解．
【详解】∵，
∴，
∵C是弦的中点，D在上，，
∴延长可得O在上，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键．
14. 已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，的边与反比例函数有交点．
（1）如图①，点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为点B，的面积为6，则k的值为________．
（2）如图②，反比例函数的图象经过的顶点A和边的中点C．若的面积为6，则k的值为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，k的几何意义，以及三角形中位线性质．
（1）根据k的几何意义得到求解，再结合，即可解题；
（2）根据三角形中位线性质得到的面积为6，的面积为12，设，表示出点B，点C的坐标，利用点A，点C都在反比例函数图象上建立等式求解出，即可解题．
【详解】（1）解：的面积为6，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：边的中点为C．的面积为6，
的面积为6，的面积为12，
设，
，
，即，
，
，
整理得，
解得，
k的值为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，运用分式的混合运算法则进行分式化简是解题关键．直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：，
，
，
当时，
原式．
16. 茶叶是安徽省的重要经济作物，闻名全国的黄山毛峰、太平猴魁、六安瓜片、祁门红茶等名茶，从这里香飘四海．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？
【答案】茶园的种植面积为35公顷，粮食的种植面积为19公顷
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设种植粮食的面积为x公顷，则种植茶园的面积有公顷，根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食列出方程求解即可．
【详解】解：设种植粮食的面积为x公顷，则种植茶园的面积有公顷，
由题意得，，
解得，
∴，
答：茶园的种植面积为35公顷，粮食的种植面积为19公顷．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）在网格图中画出以x轴为对称轴的对称图形；
（2）将平移，使平移后点B，C的对应点，分别在y轴和x轴上，画出平移后的；
（3）借助网格，利用无刻度直尺画出的中线（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了网格作图-轴对称变换和平移变换，三角形的中线，矩形的性质：
（1）根据关于x轴对称的点的纵坐标为相反数，作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接即可；
（2）由题意分别找到A，B，C的对应点，，，再顺次连接即可；
（3）利用格点特征以及矩形对角线互相平分且相等的性质取中点从而求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求：
【小问2详解】
解：如图，即为所求：
【小问3详解】
解：如图，即为所求：
18. 【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6个图形中有____________个圆形棋子；
（2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示）
【规律应用】
（3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由．
【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键．
（1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案；
（2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解；
（3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题．
【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子，
第2个图形中有个圆形棋子，
第3个图形中有个圆形棋子，
第4个图形中有个圆形棋子，
，依此类推，
第6个图形中有个圆形棋子，
故答案为：．
（2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子，
故答案为：．
（3）解：不能，理由如下：
由题知，，解得，不为整数．
2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 某校九年级学生到教育实践基地开展实践活动．当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了900米，到达菜园B处采摘蔬菜，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东方向走了600米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
【答案】菜园与果园之间的距离为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．作，作的延长线于点，得到四边形为矩形，利用解直角三角形算出、，进而算出，推出，根据即可算出菜园与果园之间的距离．
【详解】解：作，作的延长线于点，
由题知，，，，，，
可得四边形为矩形，
，，
，，
，，
，
，
，
．
答：菜园与果园之间的距离为．
20. 如图，为的直径，E为的延长线上一点，过点E作的切线，切点为点C，连接，，过点A作交延长线于点D．

（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，则利用等角的余角相等得到，接着证明，然后根据平行线的性质和等量代换得到结论；
（2）设半径为，则，利用勾股定理得到，解得，所以，，．再证明，然后利用相似比可计算出的长．
【小问1详解】
解：证明：如图，连接．

∵是的切线，
∴，
∴，即．
又∵为的直径，
∴，即，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
设半径为r，则，.
在中，，
∴．
解得，
∴，，.
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质，连接切点与圆心是解决问题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 每年的4月15日是国家安全教育日．为推进国家安全教育，某校在“国家安全教育日”当天进行了一次国家安全知识速答测试（从七、八年级各随机抽取25名学生进行国家安全知识速答测试，测试结果采取积分方式），将测试结果分为A，B，C，D四个等级，其中A等级可积10分，B等级可积8分，C等级可积6分，D等级可积5分，测试结束后，江老师将七年级和八年级的测试结果整理并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整，并分别写出七、八年级测试结果的中位数；
（2）在此次测试中，某同学的测试结果为C等级，在他所在的年级排名为第11名，由表中数据可知，该学生是_______（填“七”或“八”）年级的学生，请说出理由；
（3）若该校七、八年级各有500名学生，请你估计该校七、八年级的测试结果达到A等级的学生人数．
【答案】（1）统计图见解析，七年级测试结果的中位数为：分，八年级测试结果的中位数为：6分；
（2）八，理由见解析；
（3）该校七、八年级的测试结果达到A等级的学生有人．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图、中位数定义、用样本估计总体、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意求出C等级人数，然后补全条形统计图即可，在理由中位数的定义求解，即可解题；
（2）根据条形统计图得到七年级同学的测试结果为C等级时，其则所在年级的最高排名，即可作出判断；
（3）用七、八年级各自的总人数乘以各自测试结果达到A等级的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：（人），
条形统计图补充如下：
由题知，七年级测试结果的中位数为：分，
八年级测试结果的中位数为：6分；
【小问2详解】
解：某同学的测试结果为C等级，在他所在的年级排名为第11名，由表中数据可知，该学生是八年级的学生，
理由如下：
七年级同学的测试结果为C等级，则所在年级的最高排名为第17名，与他所在的年级排名为第11名不符，
故某同学的测试结果为C等级，在他所在的年级排名为第11名，由表中数据可知，该学生是八年级的学生，
故答案为：八．
小问3详解】
解：由题知，（人），
答：该校七、八年级的测试结果达到A等级的学生有人．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在矩形中，，，点P是边上一点，连接交对角线于点E，，作线段的垂直平分线交于点F、G，交、于点M、N．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）连接，求的正切值
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过证明，即可证明；
（2）由AP得垂直平分线可知，PF=AF，再通过△BPE∽△DAE，可求出PE，即可求出EF的长；
（3）连接，设，通过勾股定理建立方程求解．
【小问1详解】
证明：如图中，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴．
．
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图中，连接．设．
∵四边形是矩形，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴P，F，N，C四点共圆，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质、垂直平分线的性质、三角形相似、勾股定理、三角函数等，属于几何综合题目，灵活运用初中几何知识是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，点D为线段上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若，求点E的坐标；
（3）如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】（1）
（2）点E的坐标为或
（3）点P的坐标为，S的最大值为．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，即可解题；
（2）作，交于点，证明，利用相似三角形性质得到，利用待定系数法求出直线，根据建立等式求解，即可得到点E的坐标；
（3）由（2）知直线的解析式，且同理可得直线的解析式，根据设直线的解析式为，点P的坐标为，得到直线的解析式，联立直线和直线的解析式表示出点，再利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的最值即可求出点P的坐标和S的最大值．
【小问1详解】
解：二次函数图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，
，
解得，
二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：作，交于点，
则，
，
，
，
，
，
由题知点，点，点，
设直线的解析式为，
将点，代入解析式中，
有，解得，
直线的解析式为，
，
解得或，
当时，，当时，，
点E的坐标为或；
【小问3详解】
解：由（2）知直线的解析式为，
且同理可得直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，点P的坐标为，
，解得，
直线的解析式为，
，
解得，
将代入中，有，
，
点D，点P都在第一象限，
，
，
，
，
，
，
当，即点P的坐标为时，S有最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数的图象与性质，解题的关键在于熟练运用二次函数的图象与性质解决问题．