数学（南京卷）-2024年中考数学考前押题卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．x≠±18. m（x+1）29. 24°10. 1
11．（12-45）12. 45°13. 21514. 2.25或4.75
15．m＜﹣216. 914
三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）
解：解不等式x+12-1＜x，得x＞﹣1，···················································2分
解不等式x＞3（x﹣1），得x＜32，························································4分
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜32，
∴不等式组的整数解为0，1．····························································6分
18．（6分）
解：(1-aa-3)÷a2-3aa2-6a+9
=a-3-aa-3•(a-3)2a(a-3)
=-3a，·············································································4分
当a＝23时，原式=-323=-32．···················································6分
19．（8分）
解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+60-x5×10＝（140﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，·········································3分
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元．······························································6分
20．（8分）
解：（1）本次共调查了10÷20%＝50名学生，
故答案为：50；·········································································2分
（2）B类学生有：50×24%＝12（人），
D类学生有：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），
补全的条形统计图如图所示；
············································4分
（3）m%＝16÷50×100%＝32%，
即m＝32，············································5分
类别D所对应的扇形圆心角α的度数是：360°×850=57.6°，······························6分
故答案为：32，57.6；
（4）400×16+8+450=224（人），
即估计该校七年级有224名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．····················8分
21．（8分）
解：（1）∵明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间）四盏电灯，
∴明明任意按下一个开关，打开的不一定是楼梯灯，打开的不可能是卧室灯，打开的可能是客厅灯，打开走廊灯的概率是14，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C；············································································3分
（2）画树状图得：
················································6分
共有12个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有2个，
∴客厅灯和走廊灯亮的概率为212=16．···················································8分
22．（8分）
解：（1）如图，点E、F为所作；
······················································2分
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝BE，∠A＝∠D＝90°，
在Rt△DEF中，∵sin∠DEF=DFEF=35，
∴设DF＝3x，EF＝5x，
∴DE＝4x，
∵FC＝FE＝5x，
∴CD＝5x+3x＝3，
解得x=38，··········································································5分
∴DE＝4x=32，
设BC＝m，则BE＝AD＝m，
∴AE＝m-32，
在Rt△ABE中，32+（m-32）2＝m2，
解得m=154，
即BC的长为154．······································································8分
故答案为：154．
23．（8分）
（1）证明：∵EF∥AC，
∴∠EFC＝∠OCF，
在△ODC和△EDF中，
∠EFC=∠OCFDF=DC∠FDE=∠CDO，
∴△ODC≌△EDF（ASA），····························································2分
（2）解：四边形OCEF是正方形，理由如下，
由（1）可得，△ODC≌△EDF（ASA）；
∴OC＝EF，且EF∥AC，
∴四边形OCEF是平行四边形，························································4分
∴∠FEO＝∠EOC，OD＝ED，
∵OD＝DC，且∠BEC＝45°，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即OE⊥CF，
∴平行四边形OCEF是菱形，··························································6分
∵△CDE是等腰直角三角形，且OE＝CF，
∴菱形OCEF是正方形．······························································8分
24．（8分）
解：过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．
则四边形GFED是矩形．
∴DE＝FG＝50cm，GD＝EF．
在Rt△GAB中，∵AB＝25cm，
∴sin37°=GBAB，cs37°=GAAB，
∴GB≈25×0.60＝15（cm），GA≈25×0.80＝20（cm）．
∴BF＝DF﹣BG＝50﹣15＝35（cm）．·····················································2分
∵∠ABC＝72°，∠D'AB＝37°，
∴∠GBA＝90°﹣∠D′AB＝53°．
∴∠CBF＝180°﹣∠GBA﹣∠ABC＝55°．
∴∠BCF＝90°﹣∠CBF＝35°．························································4分
∵tan35°=BFCF，
∴CF≈350.70=50（cm）．·······························································6分
∴FE＝CE+CF＝50+130＝180（cm）．
∴GD＝FE＝180（cm），
∴AD＝GD﹣AG＝180﹣20＝160（cm）．·················································8分
答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
25．（8分）
解：（1）△BCD与△BAC相似，理由：
连接OC，如图，
∵BC为⊙O的切线，
∴OC⊥BC，
∴∠OCD+∠DCB＝90°．
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠A+∠ADC＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DCB＝∠A．
∵∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC；···································································3分
（2）由（1）知：∠A＝∠BCD，
∴tan∠A＝tan∠BCD=12，
∵∠ACD＝90°，
∴tan∠A=CDAC=12．
∵△BCD∽△BAC，
∴BDBC=CDAC=12．
∵⊙O的半径为3，
∴AD＝6．·············································································5分
设BD＝x，则BC＝2x，OB＝3+x，
∵OC2+BC2＝OB2，
∴32+（2x）2＝（3+x）2，
解得：x＝0（不合题意，舍去）或x＝2．
∴BC＝2x＝4．·······································································8分
26．（10分）
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（﹣2，9），
∴可设y＝a（x+2）2+9，
又∵抛物线过点B（0，5），代入得：
5＝4a+9，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+2）2+9
＝﹣x2﹣4x+5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；·····················································2分
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），
∴当y＝0时，﹣x2﹣4x+5＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴A（1，0），C（﹣5，0），
又∵D（﹣2，9），
∴直线BC的解析式为y＝x+5；
设直线CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣5，0），D（﹣2，9）代入，得：
0=-5k+b9=-2k+b，
解得：k=3b=15，
∴直线CD的解析式为y＝3x+15．························································4分
设点P的坐标为（x，0），则G（x，x+5），H（x，3x+15）．
∴S△CGH=12HG×CP
=12（5+x）（3x+15﹣x﹣5）
=12（5+x）（2x+10）
＝（5+x）（x+5）
＝（x+5）2，
设抛物线的对称轴交直线BC于点K，如图：
∵顶点D的坐标为（﹣2，9），
∴对称轴为直线x＝﹣2，
∴K（﹣2，3），
∴DK＝9﹣3＝6，
∴S△BCD＝S△DKC+S△DKB
=12×6×3+12×6×2
＝15，
∴若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，则（x+5）2=12×15，
解得：x1=30-102，x2=-10-302（舍），
∴P（30-102，0）；····································································6分
（3）如图，设点M的坐标为（m，m+5），
∵C（﹣5，0），D（﹣2，9），
∴CD=(-5+2)2+(9-0)2=310，
当CD与DM是菱形的两边时，则CD＝DM，
∴310=(-2-m)2+(9-m-5)2，
解得m1＝﹣5（不合题意，舍去），m2＝7，
∴点M（7，12）；·······································································8分
当CD与CM''是菱形的两边时，则CD＝CM''，
∴310=(-5-m)2+(m+5)2，
解得m＝±35-5，
∴点M（35-5，35）或点M（﹣35-5，﹣35）；······································9分
当DM'与CM'是菱形的两边时，则CM'＝DM'，
∴(m+5)2+(m+5)2=(m+2)2+(m+5-9)2，
解得m=-54，
∴点M（-54，154）．····································································10分
综上所述，点M的坐标为（7，12）或（35-5，35）或（﹣35-5，﹣35）或（-54，154）．
27．（10分）
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ACD＝∠DAC＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF＝∠ECG，
∴EF＝EC，
∵BE⊥EG，
∴∠BEG＝90°，
∴∠BEG＝∠FEG，
∴∠BEC+∠CEG＝∠BEG+∠FEB，
∴∠FEB＝∠CEG，
∴△BEF≌△GEC（ASA），
∴BF＝CG，
故答案为：BF＝CG；·································································2分
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠BCE+∠EFB＝90°，∠FEB+∠BEC＝90°，
∴∠EFB＝∠ECG，
又∵BE⊥EG，
∴∠CEG+∠BEC＝90°，
∴∠FEB＝∠CEG，
∴△BFE∽△GCE，
∴BFCG=EFEC，·········································································4分
在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC=23，
∴tan∠ECF=23，
∴EFEC=23，
∴BFCG=23；···········································································6分
（3）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N，
∵E为AC的中点，
∴AC＝EC，
∵EM⊥DC，AD⊥DC，
∴EM∥AD，
∴CMDM=ECAE，
∴DM＝CM＝1，·····································································8分
同理可得BN＝CN=32，
由（2）知△BFE∽△GCE，
∴∠EBF＝∠G，
∴tan∠EBN=ENBN=23=tanG=EMGM，
∴32CG+1=23，
∴CG=54，
∴S△CEG=12CG•EM=12×54×32=1516．·····················································10分1
2
3
4
5
6
B
B
D
C
C
C