广西南宁市邕宁区民族中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．
【详解】A选项：，故不是最简二次根式；
B选项：是最简二次根式；
C选项：，故不是最简二次根式；
D选项：，故不是最简二次根式．
故选：B
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 以下各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
【详解】解：根据勾股定理的逆定理得，
A选项，，不能构成直角三角形，不符合题意；
B选项，，不能构成直角三角形，不符合题意；
C选项，，不能构成直角三角形，不符合题意；
D选项，，能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的加法、乘法的计算法则，二次根式的化简，熟记法则是解题的关键．根据合并同类二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，以及二次根式的化简逐一分析判断即可．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该项不正确；
B、，故该项不正确；
C、，故该项正确；
D、，故该项不正确；
故选：C．
4. 下列命题，其中是真命题的为（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可．
【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意；
B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；
C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意
故选D．
【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键．
5. 如图，菱形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用菱形的性质得出，，进而结合平行四边形的性质得出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出的度数是解题关键．
6. 如图，点E在正方形ABCD的边BC上，若，，则AD的长度为（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的四边相等．
7. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第二、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限；据此解答即可，熟记正比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图象经过第一、三象限，
故选：A．
8. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ）

A. 5B. 6C. 8D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长．已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出．
【详解】解：四边形是矩形，
，
是矩形的对角线的中点，是边的中点，
是的中位线，，
，
，
，
，
．
故选：A．
9. 双胞胎兄弟小明和小亮在同一班读书，周五16：00时放学后，小明和同学走路回家，途中没有停留，小亮骑车回家，他们各自与学校的距离s(米)与用去的时间t(分)的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，下列说法中错误的是( )
A. 兄弟俩的家离学校1000米
B. 他们同时到家，用时30分
C. 小明的速度为50米/分
D. 小亮中间停留了一段时间后，再以80米/分的速度骑回家
【答案】C
【解析】
【详解】A．根据函数图象右上端点的纵坐标可知，兄弟俩的家离学校1000米，故A正确；
B．根据函数图象右上端点的横坐标可知，兄弟俩同时到家，用时30分钟，故B正确；
C．根据小明与学校的距离s(米)与用去的时间t(分)的函数关系可知，小明的速度为1000÷30＝(米/分)，故C错误；
D．根据折线的第三段的端点坐标可知，小亮用5分钟走了400米，速度为400÷5＝80(米/分)，故D正确，
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的图象，解决问题的关键是读懂图象，理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，根据图象提供的有关信息进行分析.
10. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【详解】解：由图知：1＜a＜2，
∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．
11. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（ ）
A. 5尺B. 10尺C. 12尺D. 13尺
【答案】C
【解析】
【分析】此题是一道古代问题，属于对勾股定理的应用，找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．熟悉勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设水池的深度为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，即：水池的深度为12尺．
故选：C．
12. 如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据全等得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若有意义，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义则被开方数非负数列式求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
14. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据二次根式减法法则计算即可．
【详解】解：=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则．
15. 点，是直线上的两点，则_____．（填，或）
【答案】＜
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而增大，
∵点，，且，
∴．
故答案为：＜
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
16. 如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_______cm .
【答案】
【解析】
【详解】把圆柱展开后如图所示，则AC=5，BC=4，根据勾股定理得AB2=AC2+BC2=52+42=25+16=41，所以AB=，故答案为.
17. 如图，在 中，，，分别以 ， 为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为 ，，则 的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解．
【详解】解：在 中，，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18. 如图放置的，，，…都是边长为1的等边三角形，点在轴上，点…都在直线上，则点的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了规律型中点的坐标，等边三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据点的坐标的变化找出点的坐标规律．根据等边三角形的性质结合勾股定理可得出点的坐标，进而可得出点的坐标，代入即可求出结论．
【详解】解：如图，过作于，而是边长为1的等边三角形，
∴，，
∴，，

∴，
同理可得：，
归纳可得：，
∴．
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先化简根式，计算二次根式的乘法与除法，再合并即可．
【详解】解：
；
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算．
【详解】解：
，
当时，
原式．
21. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若，，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)详见解析;(2)32
【解析】
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
（2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长．
【详解】解：（1）证明：，
，
，，
，
．
又，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长.
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．
（1）的长为_______；
（2）求证：；
（3）若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点在第一象限时的坐标______．
【答案】（1）（2）见解析（3）（4，2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理计算出AC即可；
（2）首先计算出BC2，AB2，AC2，再利用勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，进而可得AC⊥BC；
（3）利用平面直角坐标系结合网格画出平行四边形可得D点坐标．
【详解】（1）AC＝，
故答案为：；
（2）∵BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，AC2＝20，
∵BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且AB是斜边，
∴AC⊥BC；
（3）如图所示：D点的坐标（0，4），（4，2），（−4，−4），
∴点在第一象限时的坐标为（4，2）
故答案为：（4，2）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
23. 如图，在四边形中，，，，．

（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）由，，可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，利用角的和差关系即可求出；
（）由四边形的面积，计算即可求解；
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，四边形的面积，利用勾股定理的逆定理得出是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴；
【小问2详解】
解：四边形的面积．
24. 阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
∴
这种方法称为“构造对偶式”
问题：已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，然后问题可求解；
（2）由（1）及题意可列方程进行求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
；
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，①
∵，②
∴①+②得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
25. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质证明，结合已知条件得到四边形是平行四边形，即可解决问题．
（2）证明四边形是矩形，结合已知条件得到为等边三角形，利用勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，
，
又
四边形是平行四边形，
．
【小问2详解】
连接，
，，
四边形是平行四边形，
又菱形，
，
四边形是矩形，
，
又，
∴为等边三角形，
在菱形中，，
，
在矩形中，
，
在中，．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26. 综合与探究
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究．
【方法提示】
数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系．
【动手操作】
如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠（已知），使点落在边上，折痕为（点在边上，点在边上），折叠后点，对应点分别为点，．
【问题探究】
（1）判断图中四边形的形状，并证明你的结论．
（2）随着点落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围．
【答案】（1）四边形为菱形，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，证是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，又由，即可得四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形为菱形；
（2）如图，当与重合时，取最大值，由折叠的性质得，，推出四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到；如图，当与重合时，取最小值，由折叠的性质得，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，
，
，
图形翻折后与完全重合，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
【小问2详解】
解：如图，当与重合时，取最小值，
由折叠的性质得，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
如图，当与重合时，取最大值，
由折叠的性质得，
，
，即，
，
线段的取值范围．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．