山西省运城市2024届高三下学期第二次模拟调研测试数学（A）试卷(含答案)

这是一份山西省运城市2024届高三下学期第二次模拟调研测试数学（A）试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.
2．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
3．已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．已知双曲线(，)的两条渐近线均和圆C：相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总共有( )
A.360种B.316种C.288种D.216种
7．已知等差数列的前n项和为，若，，则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．已知正方形的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数(每穗颖花数)、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下：
则下列说法正确的是( )
A.甲种水稻产量的极差为70
B.乙种水稻产量的中位数为240
C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数
D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差
10．已知函数的定义域为R，且对任意的，都有，若，则下列说法正确的是( )
A.B.的图象关于y轴对称
C.D.
11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A.当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面
B.当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为
C.点E到直线的距离的最小值为
D.当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为
三、填空题
12．已知集合，，若，则的子集的个数为__________.
13．已知，，则__________.
14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，若的面积为，其中O为坐标原点，则的值为___________.
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求的值；
(2)如图，，点D为边上一点，且，，求的面积.
16．长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表：
(1)试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联?
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望.
附：，其中.
17．如图1，在中，，，点D是线段的中点，点E是线段上的一点，且，将沿翻折到的位置，使得，连接，，如图2所示，点F是线段上的一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
18．已知抛物线C：的准线与圆O：相切.
(1)求C的方程；
(2)设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是的内切圆.
①若，求点P的横坐标；
②求面积的最小值.
19．已知函数.
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列满足且，记数列的前n项和为，求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为复数z满足，所以，所以.故选A.
2．答案：B
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，，解得，，所以此圆锥的高，所以此圆锥的体积.故选B.
3．答案：A
解析：因为，所以，又，，所以，解得，设与的夹角为，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选A.
4．答案：D
解析：双曲线的一条渐近线方程为，所以.圆C：的标准方程为，所以圆心为，，所以，又，解得，，所以双曲线的方程为.故选D
5．答案：C
解析：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，
所以，
当时，，
又函数在区间上恰有两个零点，
所以，解得，
即的取值范围是.故选C.
6．答案：C
解析：若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情况有种.
若小张、小胡、小李、小郭这四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，则报名情况有种.
所以不同的报名的情况总共有种.故选C.
7．答案：B
解析：由题意知，所以，
又，
所以，所以.
设等差数列的公差为d，则，
所以.所以所以，
所以，即的取值范围是.故选B.
8．答案：D
解析：以A为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
设，所以，又，，，
所以
，
令，即，所以直线与圆有公共点，所以，
解得，
所以.故选D.
9．答案：ABD
解析：由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为，故A正确；
由表中数据可知，乙种水稻产量从小到大排列为210，220，240，250，280，所以乙种水稻产量的中位数为240，故B正确；
对于C，甲种水稻产量的平均数为，乙种水稻产量的平均数为，所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C错误；
甲种水稻产量的方差为
，
乙种水稻产量的方差为
，
所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.
故选ABD.
10．答案：AC
解析：令，，得，解得，故A正确；
令，，所以，解得，令，所以，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故B错误；
因为，令，
则(，)，所以，
令，则，
又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以，
令，
则，
所以
，
所以，
所以，故C正确，D错误.
故选AC.
11．答案：ACD
解析：以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示.
则，，，，
当点P是线段的中点时，，
设，
所以，，，
假设存在点E，使得平面，
则，，
解得，
所以存在点E，使得平面，此时点E与点C重合，故A正确；
取的中点F，连接，，，，，如图所示.
则，，所以，
又易得，，，
所以梯形的面积为
，
所以过A，E，点的平面截该正方体所得的截面的面积为，故B错误；
又，设，
所以，，
所以点E到直线的距离
，
所以，
此时，所以点E到直线的距离的最小值为，故C正确；
取的中点G，连接，，，
易得平面，又平面，
所以，所以，
则点P在侧面内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，
分别交，于，，
则，则，
所以点P的轨迹长度为，故D正确.
故选ACD.
12．答案：8
解析：由题意知，又，
所以，所以，解得，
所以，所以，所以的子集的个数为.
13．答案：
解析：因为，即，
所以，
因为，
所以，解得，，
所以.
14．答案：
解析：因为的面积为，所以，
在中，设，，
由余弦定理可得，
即
，
则，
所以的面积，
所以，
即，由于，所以.
又，所以是等边三角形，即，
由椭圆的定义可得，所以，
则，，所以，
则.
15．答案：(1)
(2)18
解析：(1)因为，
由正弦定理得
，
又，所以，所以，
所以，
又，，所以，，
所以.
(2)设，又，
所以，.
在中，由余弦定理得，
解得，
所以，，
又，所以，，
又，所以，
所以的面积.
16．答案：(1)学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050
(2)分布列见解析
(3)
解析：(1)零假设为：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050.
(2)从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为：人，
女生人数为：人.
X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，
X的分布列为：
(3)由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率，
所以，所以.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：过点C作，垂足为H，
在上取一点M，使得，连接，，
如图所示.
因为，，所以且，
因为D是的中点，且，所以且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
(2)因为，，，平面，所以平面，
又平面，所以，.
又，所以，，两两垂直，
故以E为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，.
设平面的一个法向量，
又，，
所以
令，解得，，
所以平面的一个法向量.
设，
所以
，
设直线与平面所成角的大小为，
所以
，
解得或，所以或.
18．答案：(1)
(2)①3
②
解析：(1)由题意知C的准线为，又C的准线与圆：相切，所以，
解得，所以C的方程为.
(2)设点，点，点，直线方程为，
化简得.
又圆O是的内切圆，
所以圆心到直线的距离为1，即，
故，
易知，上式化简得，，
同理有，
所以m，n是关于t的方程的两个不同的根，
所以，.
所以，
又点P是C上的一点，所以，
所以.
①若，则，
解得或(舍)，所以点P的横坐标为3.
②因为点到直线的距离，
所以的面积
，
令，则，
因为，，
当且仅当时等号成立，所以，
即面积的最小值为.
19．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)若，则，所以，
所以，又，
所以的图象在处的切线方程为，即.
(2)，
令，所以，
当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当，即时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
所以当时，，所以在上单调递减，
所以，不符合题意.
综上，a的取值范围是.
(3)证明：因为，所以，
即，所以是公差为的等差数列，
又，所以，所以.
由(2)知当时，，
所以当，时，，
即.
所以
，
所以，
又，所以.
甲(单位：kg)
250
240
240
200
270
乙(单位：kg)
250
210
280
240
220
喜欢
不喜欢
合计
男生
120
80
200
女生
100
100
200
合计
220
180
400
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P