浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数则等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，是边上的一点，且平分，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知四边形内接于圆，且满足，，，则圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
8．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱的中点，下列说法正确的有（ ）
A．多面体是三棱柱
B．直线与互为异面直线
C．平面与平面的交线平行于
D．四棱锥和四棱锥的体积之比为
11．定义一种向量运算“”：其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。
12．设为虚数单位，且，则______．
13．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______．
14．已知函数，若实数满足，则的最大值是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）已知，，且满足
（1）求实数的值；
（2）设，求与的夹角的余弦值．
16．（本小题15分）设函数．
（1）若角满足，求的值；
（2）求函数的值域．
17．（本小题15分）如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．
（1）求证：平面
（2）若，求四棱锥的表面积．
（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．
18．（本小题17分）已知在中，角所对的边分别为，且满足．
（1）求；
（2）若，求的面积；
（3）求的最大值，并求其取得最大值时的值．
19．（本小题17分）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数．
（1）若，求集合；
（2）若，求的所有可能的值组成的集合；
（3）若，求证：．
2023学年第二学期浙南名校联盟期中联考
高一年级数学学科 试题答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．
12．13．14．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
（1），，，
解法2 ，
，，
（2）设，，
（此处公式代入正确得2分，消元1分，答案正确2分，只有一个答案扣1分）
与的夹角的余弦值为
另解：由题意可不妨令
又
与的夹角的余弦值为
16．（本小题15分）
解：（1）已知，则，
则，
所以当，，
当，．
（2），
所以，
所以，
所以的值域为．
17．（本小题15分）
解：（1）取中点，连，
，且，同时，且
四边形是平行四边形，
又平面平面
平面
（2）
，
四棱锥的面积
（3）由（1）知平面，
平面平面
，
又，，
18．（本小题17分）
解：（1）方法一：，，
又，，
又在中，，，
，，
又在中，，
方法二：，，
，
，．
，
又在中，，．
（2），，
即，解得或，
当时，
当时，
（3），，．
其中，，，
在中，，
当时，取到最大值，
此时，．
19．（本小题17分）
解：（1）由，则，
．
（2）当，不妨记集合为，且让，
则必有，
和中剩下的满足，
并且，下列有四种可能：
一是，则；
二是与与与三对数有两对相等，另一对不相等，则；
三是与与与三对数有一对相等，其它两对不相等，则；
四是与与与三对数全不相等，则；
综上述，的所有可能的值组成的集合为（要求写明得到每个值的原因）．
（3）当，不妨记集合为，且让，
则必有，
和中剩下的元素为，满足，
所以有两种可能，当，；当，；
ⅰ）当，不妨记这6个元素为，且让，则必有，所以；
ⅱ）当，，
不妨记，，，，，
则，则必有，积中剩下的满足，则，
下面先证明．
假设，由，则，
即，所以，
令，由，则，
所以，则，与事实不符，所以．
下面再证明．
由上述分析知：要使，积中剩下的满足，必有两对积与七对中的两对相等，有如下五种情况：
一是，则可推得，令其比值为，则，于是，由，则，则，显然无解，故此情况不能；
二是，则可推得，令，显然，由，则，所以，而显然，故此情况不可能；
三是，则可推得，令其比值为，则，由，又，则，这与矛盾，故此情况不可能；
四是，可推得，令其比值为，则，
于是，，，，
于是由，则，所以，代入得，所以，推得，所以，所以，有，所以，这与是有理数相矛盾，所以此情况不能；
五是，可推得，令其比值为，则，于是，由，则，则，显然无解，故此情况不可能．所以．
综上，所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
D
C
A
A
B
题号
9
10
11
答案
ABC
BCD
BCD