湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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命题学校：当阳一中 审题学校：宜都一中 三峡高中
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等比数列中，，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知两条直线和相互垂直，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
3. 已知空间向量，，若，则实数（ ）
A. 0B. 2C. D.
4. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
5. 有A、B、C、D、E五位学生参加数学建模比赛，决出了第一到第五的名次，A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为（ ）
A. 6B. 18C. 20D. 24
6. 已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A. 如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法
B. 如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
C. 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
D. 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
10. 已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（ ）
A B. C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于两点，交直线于点，则（ ）
A. 的面积的最大值为2B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有______种.
13. 数列的通项公式为，则它的前100项之和等于______.
14. 已知e是自然对数底数，则的最小值为______.
四、解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设函数，且在区间内单调递增，求实数a的取值范围.
16. 已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为4.
（1）求圆的标准方程；
（2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求最小值.
17. 设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项积.
18. 在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面.
（1）证明：；
（2）若直线与平面所成的角为，为棱上一点（不含端点），试探究上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19. 已知点F1、F2为双曲线（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程是x2+y2=b2．
（1）求双曲线C方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线垂线，垂足分别为P1、P2，求的值；
（3）过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|．