江苏省南通、扬州、泰州等七市2024届高三第三次调研测试数学试题

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位℃），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（ ）
A．2B．3C．6D．7
4．已知为复数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．设数列的前项和为，若，则（ ）
A．65B．127C．129D．255
7．已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ）
A．23B．24C．25D．26
8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．在正方体中，为的中点，是底面上一点，则（ ）
A．为中点时，
B．为中点时，平面
C．满足的点在圆上
D．满足直线与直线成角的点在双曲线上
11．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数在处取得极大值，则实数__________．
13．已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________．
14．已知是椭圆的左、右焦点，是上一点．过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．若的交点在上（均在轴上方，且，则的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
16．（15分）
如图，在直三棱柱中，，．
（1）当时，求证：平面；
（2）设二面角的大小为，求的取值范围．
17．（15分）
已知函数．
（1）若，求的最小值；
（2）设数列前项和，若，求证：．
18．（17分）
已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，．
（1）求的方程；
（2）若点的横坐标为2，求；
（3）设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值．
19．（17分）
“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定珄大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．）
（1）若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；
（2）若拋郑一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且．
（ⅰ）当时，求的值；
（ⅱ）求证：．