2024年山东省齐鲁名校联盟高考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年山东省齐鲁名校联盟高考数学一模试卷（含详细答案解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=C(A)−C(B),C(A)≥C(B)C(B)−C(A),C(A)0，若对任意x∈[19,+∞)均有f(x)≤ x2a，则实数a的取值范围为( )
A. (0, 24]B. [ 28, 24]C. ( 28, 24]D. (0, 28]
7.设双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，M(0,3b)，若直线l与E的右支交于A，B两点，且F为△MAB的重心，则直线l斜率的取值范围为( )
A. ( 133, 3)∪( 3,+∞)B. (2 139, 3)∪( 3,+∞)
C. (−∞,− 6)∪(− 6,−2 139)D. (−∞,− 6)∪(− 6,−2 133)
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x)，且当x>2时，有xf′(x)+f(x)>2f′(x)，若f(1)=1，则不等式f(x)12,e∈( 22,1)；
方法二：依题意，FM=2FA,FN=2FB，
故A，B分别是线段FM，FN的中点，故OA//FN，OB//FM；
又有OA⊥OB，故FN⊥FM,OM+ON=0，
则|OM|=|ON|=|OF|=c；因为|OM|∈(b,a)，故b0，得到x>1e，令y1′0Δ≤0，解得m2≤198，
即|m|≤ 214，
所以|m|的最大值为 214.
故答案为： 214.
15.【答案】{a|a≤−3}
【解析】解：由不等式exx3−x−alnx≥1对于任意x∈(1,+∞)恒成立，
可得a≤x−3ex−x−1lnx，
令f(x)=x−3ex−x−1lnx，x>1，
则由题意可得a≤f(x)min，
令g(x)=ex−x−1，则g′(x)=ex−1，
当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x0，y1>0，即y1= 2px1，且kMA−p 2px1=py1，
由设A(x1,y1)在第一象限，则B(x1,y2)在第四象限，即x2>0，y26=PQ，所以点M的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长10的椭圆(夹在两海岸线OA，OB区域内的曲线)，
以PQ所在直线为x轴，PQ的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设点M所在的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，
由a=5，c=3得：b2=a2−c2=16，
所以点M所在的椭圆方程为x225+y216=1.
设M(x0,y0)，则S△MPQ=12PQ⋅y0=12×6×y0=3y0，因为y0≤4，
所以S△MPQ=3y0≤12(平方千米)，当且仅当MP=MQ=5(千米)时取得等号．
所以，四边形MPOQ面积的最大值为12+3 3(平方千米).
方法二：在△MPQ中，设MP=m，MQ=n(单位：千米)，∠PMQ=α，则m+n=10，
由余弦定理得：PQ2=MP2+MQ2−2MP⋅MQ⋅csα，
即62=m2+n2−2mncsα=(m+n)2−2mn(1+csα)=102−2mn(1+csα)，
故mn=321+csα≤(m+n2)2=25，
从而csα≥725，当且仅当m=n=5时取得等号．
所以，△MPQ的面积S=12mnsinα=16sinα1+csα=16 1−csα1+csα=16 −1+21+csα，
令csα=t≥725，则S=16 −1+21+t，
因为S=16 −1+21+t关于t单调递减，所以当csα=725时，△MPQ的面积取得最大值，最大值为12×6× 52−32=12(平方千米)，
所以，四边形MPOQ面积的最大值为12+3 3(平方千米).
【解析】(1)设OP=x，OQ=y，(单位：千米)在△OPQ中，由余弦定理得：PQ2=OP2+OQ2−2OP⋅OQ⋅cs∠POQ，
推出xy≤12，然后求解三角形的面积的最大值．
(2)由(1)知，要求四边形MPOQ面积的最大值，只需求△MPQ面积的最大值．
方法一：在△MPQ中，MP+MQ=10>6=PQ，所以点M的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长10的椭圆(夹在两海岸线OA，OB区域内的曲线)，以PQ所在直线为x轴，PQ的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出椭圆方程，利用椭圆的简单性质，求解四边形MPOQ面积的最大值．
方法二：在△MPQ中，设MP=m，MQ=n(单位：千米)，∠PMQ=α，则m+n=10，由余弦定理得：PQ2=MP2+MQ2−2MP⋅MQ⋅csα，结合基本不等式推出mn=321+csα≤(m+n2)2=25，
然后求解三角形的面积S=16 −1+21+t，然后求解最大值即可．
本题考查函数与方程的应用，实际问题的处理方法，转化思想的应用，是中档题．
18.【答案】(1)证明：取AC的中点M，连接NM，BM，
因为AD=DF=FC=1，所以AC⊥NM，
又因为AB=BC=AC=2，所以AC⊥BM，
又因为BM∩NM=M，BM，NM⊂平面BNM，
所以AC⊥平面BNM，
又因为BN⊂平面BNM，所以AC⊥BN；
(2)解：由(1)知，BM⊥AC，NM⊥AC，所以∠NMB是二面角D−AC−B的平面角，
以M为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(−1,0,0)，
N(0, 32csθ, 32sinθ)，F(−12, 32csθ, 32sinθ)，D(12, 32csθ, 32sinθ)，
所以CB=(1, 3,0)，CF=(12, 32csθ, 32sinθ)，
设平面BEFC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CB=0n⋅CF=0，即x+ 3y=012x+ 32csθy+ 32sinθz=0，
令y=1，得n=(− 3,1,1−csθsinθ)，
又因为AD=(−12, 32csθ, 32sinθ)，
设直线AD与平面BEFC所成的角为α，则|cs|=sinα= 217，
即 3 4+1−2csθ+cs2θsin2θ= 217，
化简得2cs2θ−csθ−1=0，解得csθ=1或csθ=−12，
由题意知csθ=−12，所以θ=2π3，
所以θ=2π3时，直线AD与平面BEFC所成角的正弦值为 217.
【解析】本题考查了直线与平面垂直的判断问题，考查利用空间向量解决线面角问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
(1)取AC的中点M，连接NM，BM，由AC⊥NM，AC⊥BM，证明AC⊥平面BNM，即可得出AC⊥BN；
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面BEFC的一个法向量n，利用直线AD与平面BEFC所成角的正弦值，列方程求出csθ和θ的值．
19.【答案】解：(1)由题知，随机变量X服从二项分布，X∽B(n,12)，
由P(X=3)=P(X=97)，得n=100，E(X)=50.
(2)①A=“X1=x1，X2=x2，…X10=x10”，
P(A)=(C101p(1−p)9)3(C102p2(1−p)8)3(C103p3(1−p)7)2(C104p4(1−p)6)(C106p6(1−p)4)，
P(A)=(C101)3(C102)3(C103)2(C104)2p25(1−p)75，
②记g(p)=ln(C101)3(C102)3(C103)2(C104)2+25lnp+75ln(1−p)，
则g′(p)=25p−751−p=25−100pp(1−p)，
当0