2024年山西省吕梁市中阳县多校中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分第卷和第II卷两部分．全卷共10页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3D.
2. 诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ）
A. 学B. 广C. 才D. 以
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 为了参加年青少年校园足球校际联赛，某校足球队组织了次技能考试，其中小明同学的成绩（单位：分）如下表所示：
则小明同学这次成绩的中位数和众数分别为（ ）
A. 分，分B. 分，分C. 分，分D. 分，分
5. 如图，点，分别在直线，上，，G是直线上方一点，，，若平分，则度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，是反比例函数图象上的任意一点，过点作轴于点为轴上一点，连接．若的面积为3，则的值为（ ）
A. 6B. 3C. D.
7. 《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，那么根据题意，得（ ）
A. B.
C. D.
8. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，若矩形与矩形关于原点位似，且矩形的周长为矩形周长的，则点的坐标为（ ）
A B.
C. 或D. 或
10. 如图，在Rt中，．以为边作正方形，延长，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 化简：___．
12. 如图，在中，对角线相交于点，过点作于点，连接．若，则的长为______．

13. 某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售．若打折后每件服装仍能获利，则这批服装每件的标价为______元．
14. 苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第个图形需要______根小木棒．（用含的代数式表示）

15. 如图，在中，以边为直径的恰好经过点，过点作的切线，交的延长线于点平分，分别交边于点，连接．若，，则的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
17. 如图，在中，于点．
（1）尺规作图：作的平分线交边于点．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明．
18. 为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买个A种奖品，且是5的倍数，选择方案一的总费用为元，选择方案二的总费用为元．
（1）请分别写出与之间的函数关系式．
（2）校学生会选择哪种方案支付费用较少？
19. 太原钟楼街是太原市地标性商业文化街，得名于古代钟楼．钟楼见证了太原钟楼街的千年岁月，更牵动着无数老太原人的“乡愁”．某校“综合与实践”小组开展了测量钟楼高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践活动报告．
（1）计算钟楼的高度．（结果精确到）
（2）该小组要写出一份完整的实践活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可）
20. 阅读材料，并解决下列问题：
在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值．我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，
根据图中面积关系，得，
略去，得，解得，∴，
易知，因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，

（1）上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______．（填序号即可）
．数形结合 ．统计 ．分类讨论 ．转化
（2）把上述内容补充完整，使的近似值更加准确．（结果精确到）
21. 每年月日为全民国家安全教育日，某校为提高学生的安全意识，开展了安全知识宣讲和测试，并随机抽取了七年级名学生的测试成绩（满分分，共分为四组：A．；B．；C．；D．，下面是部分信息：
七年级名学生测试成绩为，．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角的度数为______；
（3）若该校七年级共名学生，试估计测试成绩低于分的学生人数；
（4）七年级某班为巩固安全知识宣讲成果，计划在班内开展“提高安全意识”的活动．现要从“主题班会”“主题板报”“实况演习”“安全倡议书”四种形式中任意选择两种形式的活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择“主题班会”和“安全倡议书”的概率．
22. 综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，交于点，过点作，过点作，交于点，连接．
（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由．
猜想论证：
（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则（1）中与之间的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：
（3）将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转，其余操作不变．若，当时，请直接写出的长．
23. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线是直线下方抛物线上一动点．

（1）求两点坐标，并直接写出直线的函数表达式．
（2）过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标．
（3）在（2）条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．次数
成绩/分
活动主题
测量钟楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等
示意图
测量步骤
①站在点B处利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为；
②前进到达点A处，利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为．
注：测点A，B与点O在同一水平线上，测角仪的高度忽略不计
参考数据
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