2023-2024学年宁夏石嘴山一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏石嘴山一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若Cn3=Cn4，则n=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.曲线f(x)=ex+x2−2x−5在x=0处的切线的倾斜角是( )
A. 5π6B. 2π3C. π4D. 3π4
3.( x−2)5的展开式中，x2的系数为( )
A. −5B. 5C. −10D. 10
4.若函数f(x)=ax3+3x2−x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )
A. (−3,0)B. (0,+∞)
C. (−∞,−3)∪(0,+∞)D. (−3,0)∪(0,+∞)
5.把2个相同的红球、1个黄球、1个蓝球放到A，B，C三个盒子里，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法种数为( )
A. 18B. 20C. 21D. 24
6.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法中不正确的是( )
A. f(x)一定存在极小值点
B. f(x)一定有最小值
C. 不等式f(x)x2时，都有2x1+f(x2)>2x2+f(x1)，则实数a的取值范围为( )
A. [12e,+∞)B. [1,+∞)C. [1e,+∞)D. [2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)=2，则△x→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2
B. (csxx)′=xsinx+csxx2
C. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=12
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
10.下列说法正确的有( )
A. 某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种
B. 某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种
C. 两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种
D. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种
11.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数f′(x)满足f′(x)−f(x)x+1>0，对于函数g(x)=f(x)ex，下列结论正确的是( )
A. 函数g(x)在(−∞,−1)上为增函数B. x=−1是函数g(x)的极小值点
C. 函数g(x)必有2个零点D. e2f(e)>eef(2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有______种.
13.若函数f(x)=13x3−4x+m在[0,3]上的最小值为4，则m= ______．
14.函数f(x)=12ax2+bx(a>0,b>0)在点(2,f(2))处的切线斜率为2，则8a+bab的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．
①若x=9，则可以组成多少个能被3整除的三位数？
②若x=0，则可以组成多少个不同的三位数？
(2)已知(x+12 x)n的展开式中的第二项和第三项的系数相等，求n的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax+3，a∈R．
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)当a>0时，若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB//CD,CD⊥AD,PC=AB=2CD=2,BC= 2，E是棱PB上一点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知曲线f(x)=aex−x+b在x=0处的切线过点(1,a2+2a−1)．
(1)试求a，b满足的关系式；(用a表示b)
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)证明：当a>0时，f(x)>2lna+32．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax3−bx2+c，其中实数a>0，b∈R，c∈R．
(1)b=3a时，求函数y=f(x)的极值点；
(2)a=1时，x2lnx≥f(x)−2x−c在[3,4]上恒成立，求b的取值范围；
(3)证明：b=3a，且5a−3且a≠0．
故选：D．
由题意得f′(x)=3ax2+6x−1 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可．
本题考查函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种步进行分析：
①先把4个球分成3堆，分法有4种：(红红，黄，蓝)、(红黄，红，蓝)、(红蓝，红，黄)、(红，红，蓝黄)，
②前3种分法，把3堆球放入3个盒子中，各有A33=6种放法，
最后一种分法，把3堆球放入3个盒子中，由于红球是相同的，有3种放法，
所以共有3×6+3=18+3=21种放法．
故选：C．
根据题意，先将先把4个球分成3组，进而将3组放进3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由f′(−1)=0，f′(1)=0可得x=−1，x=1可能为f(x)的极值点，
当x0，则 g′(x)>0，所以 g(x)是增函数；
当x0)，则f′(x)=1x−1=1−xx，列表
∴函数f(x)的极大值为f(1)=2，无极小值；
(2)首先讨论函数y=f(x)的单调性，f′(x)=1x−a=1−axx(x>0)，
当a>0时，对x∈(0,1a),f′(x)>0，f(x)是增函数，
对x∈(1a,+∞),f′(x)0时，f(x)在(0,1a)是增函数，在(1a,+∞)是减函数．
因为f(x)=lnx−ax+3≤0恒成立，则f(x)的最大值为f(1a)≤0，
∴f(1a)=ln1a−1+3=−lna+2≤0，即lna≥2，故a≥e2．
∴实数a的取值范围为[e2,+∞)．
【解析】(1)将a=1代入，求导列表，根据极值定义即可得解；
(2)研究函数的单调性，求出最大值，则最大值小于等于0即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为AB/​/CD，CD⊥AD，PC=AB=2CD=2，BC= 2，
取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB，
CM= BC2−BM2=1，CM=12AB，
所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PC⊥AC，
又BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，
所以AC⊥平面PBC，
又因为AC⊂平面EAC，
所以平面EAC⊥平面PBC．
(2)以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系：

因为E是PB的中点，则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,−1,0),P(0,0,2),E(12,−12,1)，
所以CA=(1,1,0),CE=(12,−12,1)，
设平面EAC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CA=x+y=0m⋅CE=12x−12y+z=0，
令x=1，则y=−1，z=−1，
所以平面EAC的法向量为m=(1,−1,−1)，
显然，平面PDC的法向量为n=(1,0,0)，
设平面PDC和平面EAC的夹角为α，α为锐角，
则csα=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=1 3= 33，
所以平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为 33．
【解析】(1)利用面面垂直的判定定理证明．
(2)利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由f(x)=aex−x+b，得f′(x)=aex−1，则f(0)=a+b，f′(0)=a−1，
故曲线f(x)在x=0处的切线方程为y−a−b=(a−1)(x−0)，即y=(a−1)x+a+b，
由题意得a2+2a−1=a−1+a+b，即a2=b，
即a，b满足的关系式为b=a2；
(2)由(1)知f(x)=aex−x+a2，定义域为R，f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)0时，由f′(x)=aex−1=0，得x=−lna，
当x0，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增；
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增；
(3)证明：由(2)得f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，
要证明f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−lna−12>0，
令g(a)=a2−lna−12,(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a) 22，
故g(a)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增，
故g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，
即g(a)=a2−lna−12>0恒成立，
即当a>0时，f(x)>2lna+32．
【解析】(1)求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线的切线方程，即可求得答案；
(2)分类讨论a的取值范围，根据导数与函数单调性的关系，即可得答案；
(3)结合(2)得f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，故要证明f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，由此构造函数g(a)=a2−lna−12,(a>0)，求出其最小值，说明最小值大于0恒成立，即可证明结论．
本题考查了导数的几何意义的应用、函数单调性的讨论以及不等式的证明，解答的关键是将不等式的证明问题转化为构造新函数，求解函数的最值问题，即可解决，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为b=3a，所以f(x)=ax3−3ax2+c，定义域为：R．
则f′(x)=3ax2−6ax=3ax(x−2)，
因为a>0，所以f′(x)>0⇒x2，f′(x)