2023-2024学年云南省昆明市禄劝一中高二（下）段考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省昆明市禄劝一中高二（下）段考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等比数列{an}中，a2=2，a5=−274，则公比q=( )
A. −32B. −23C. 23D. 32
2.函数f(x)=2x+sinx在区间[0,π]上的( )
A. 最小值为0，最大值为π+1B. 最小值为0，最大值为2π
C. 最小值为π+1，最大值为2πD. 最小值为0，最大值为2
3.在数列{an}中，若a1=−1，an=11−an−1(n≥2)，则a2024=( )
A. 2B. −1C. 12D. 1
4.如图，向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变(即单位时间内注入水量相同)，若池子中水的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x>0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)=2x，g(x)=4ln(2x+1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元．( )
A. 12B. 32C. 52D. 72
6.已知函数f(x)满足f(x)=f′(2)ex−2−f(0)x+12x2，则f(x)的单调递减区间为( )
A. (−∞,0)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (0,+∞)
7.若函数f(x)=lnx+12x2−ax在(12,3)上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (2,52)B. (2,52]C. (52,103)D. (2,103)
8.在数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=1，又函数f(x)=x3−an+1sinx+(2an+1)x+1，若f′(0)=0，则S2024=( )
A. 22023−2024B. 22024−2025C. 22025−2026D. 22026−2027
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义：设f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数f(x)=ax3+bx2+53(ab≠0)的对称中心为(1,1)，则下列说法中正确的有( )
A. a=13，b=−1
B. 函数f(x)既有极大值又有极小值
C. 函数f(x)有三个零点
D. 过(−1,13)可以作两条直线与y=f(x)图像相切
10.已知函数f(x)=lnx−1−2x−1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的单调递增区间是(0,1)，(1,+∞)
B. f(x)的值域为R
C. f(lg20232024)+f(lg20242023)=1
D. 若f(a)=eb+1eb−1−b，a∈(0,1)，b∈(0,+∞)，则aeb=1
11.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2+an，n∈N*，则( )
A. {an}是递减数列B. an>n(n>2)
C. a2024≤22023D. 1a1+1+1a2+1+⋅⋅⋅+1an+10，
所以f(x)在区间[0,π]上单调递增，
因此f(x)的最小值为f(0)=0，最大值为f(π)=2π．
故选：B．
先求得函数f(x)的导数，进而得到f(x)在区间[0,π]上单调性，即可求得f(x)在区间[0,π]上的最小值和最大值．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵数列{an}中，a1=−1，an=11−an−1(n≥2)，
∴a2=11−(−1)=12，
a3=11−12=2，
a4=11−2=−1，
故数列{an}是周期为3的数列，
∴a2024=a2=12．
故选：C．
根据数列的递推关系式求得数列的规律，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由半球形水池可知，当t=0时，水的高度为0，
当注满水前，随着时间的增加，水上升的高度越来越慢，
结合选项可知，只有选项B符合题意．
故选：B．
根据题意可得随着时间的增加，水上升的高度越来越慢，由此得解．
本题考查函数图象的实际运用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设投入经B商品x千元(0≤x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5−x)千元，
所获得的收益S(x)千元，
则S(x)=2(5−x)+4ln(2x+1)=4ln(2x+1)−2x+10(0≤x≤5)．
求导得s′(x)=4×22x+1−2=6−4x2x+1，
当0≤x0，函数S(x)单调递增；
当32an，所以数列{an}是递增数列，故A项错误；
对于B，由选项A知an>an−1>⋅⋅⋅>a2>a1=1，所以当n≥2时，an2>an>1，
由an+1=an2+an，得an+1−an=an2，
所以当n≥2时，an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋅⋅⋅+(a2−a1)+a1=an−12+⋅⋅⋅+a12+a1>n，
综上所述，对任意n>2，都有an>n成立，故B项正确；
对于C，由an+1=an2+an=an(an+1)，得an+1an=an+1，
则an=anan−1⋅an−1an−2⋅⋅⋅a2a1⋅a1=(an−1+1)⋅(an−2+1)⋅⋅⋅(a1+1)>(1+1)×(1+1)×⋅⋅⋅(1+1)=2n−1，
所以a2024>22023，故C项错误；
对于D，根据已知等式得到an+1=an(an+1)，
两边取倒数得1an+1=1an(an+1)=1an−1an+1，移项可得1an+1=1an−1an+1，
所以1a1+1+1a2+1+⋯+1an+1=1a1−1a2+1a2−1a3+…+1an−1an+1=1−1an+10，判断{an}是递增数列；
选项B，由{an}是递增数列得出an2>an>1，结合an+1−an=an2，变形得an>n(n>2)；
选项C，由an+1=an2+an=an(an+1)得an+1an=an+1，可得出a2024>22023；
选项D，由an+1=an2+an=an(an+1)推导出1an+1=1an−1an+1，累加求和得出结论．
本题考查了数列的递推公式、运用函数的性质研究数列问题等知识，属于中档题．
12.【答案】an=6n−7，n∈N*
【解析】解：由Sn=3n2−4n，可得a1=S1=3−4=−1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n2−4n−3(n−1)2+4(n−1)=6n−7，
上式对n=1也成立，
所以an=6n−7，n∈N*．
故答案为：an=6n−7，n∈N*．
由数列的通项与前n项和的关系，化简可得所求．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】0
【解析】解：因为f(x)=ax−lnx，定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=a−1x=ax−1x，
当a≤0时，则f(x)在(0,+∞)上单调递减，无最小值；
当a>0时，令f′(x)=0，得x=1a，
当00，−sinx≥0，−xcsx≥0，则f′(x)>0，
故f(x)在x∈(−1,0]上单调递增．
又因为f(0)=0，所以f(x)在x∈(−1,0]上的零点个数为1．
【解析】(1)当a=0时，求出f(π2)=−π2，f′(π2)=−1，从而可求出切线方程．
(2)当a=1时，利用导数求出f(x)在x∈(−1,0]上单调递增．又f(0)=0，从而可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】证明：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=anan+4，
∴1an+1=an+4an=4an+1，
∴1an+1+13=4(1an+13)，1a+13=43，
∴{1an+13}是以43为首项，以4为公比的等比数列．
(2)∵{1an+13}是以43为首项，以4为公比的等比数列，
∴1an+13=4n3，∴an=34n−1．
∴an=34n−1=32(12n−1−12n+1).
∴Sn=32(11−13+13−15+…+12n−1−12n+1)
=32(1−12n+1)0时，h(x)≥(e−2)x+1”．
证明：设m(x)=h(x)−(e−2)x−1=ex−x2−(e−2)x−1，x>0，
则m′(x)=ex−2x−(e−2)，令F(x)=m′(x)，则F′(x)=ex−2且在(0,+∞)上单增，
当x∈(0,ln2)时，F′(x)0，故m′(x)单调递增，
又m′(0)=3−e>0，m′(1)=0，00时，h(x)≥φ(x)
【解析】(1)由导数的几何意义，求出函数在x1=1时的切线方程，然后令y=0，求出x的满足题意的近似值即可；
(2)设Pn(xn,0)，得Qn(xn,f(xn))，由f(x)=2x，求得点Qn(xn,f(xn))处的切线方程，得到xn+1−xn=−1ln2，再根据x1=0得到xn=−n−1ln2，从而P1P2=P2P3=⋅⋅⋅=PnPn+1=1ln2，f(xn)=2−n−1ln2=(2−lg2c)n−1=1en−1求解；
(3)由曲线y=f(x)在(xn,f(xn))处的切线方程得到切线与x轴交点横坐标为xn+1=xn−f(xn)f′(xn)，再由函数f(x)=x2，得到a=1，b=2，进而得到h(x)=ex−x2，曲线y=h(x)的一条切线方程为y=(e−2)x+1，然后将问题转化为ex+(1−e)x−xlnx−1≥0，先证明h(x)≥(e−2)x+1，ex+(2−e)x−1x≥x，x>0，再由ex≥x+1，得到x≥ln(x+1)，放缩即可证明．
本题考查导数的综合应用，属难题．