陕西省西安高新第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式组解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如果把分式中和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）
A. 不变B. 缩小为原来的倍C. 扩大为原来的倍D. 扩大为原来的倍
6. 如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连接，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
7. 将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点P，已知点P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
9. 关于的不等式组：有5个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11. 当分式有意义时，x应满足的条件是______．
12. 因式分解：_______________________．
13. 如图，点、分别在轴和轴上，，，若将线段平移至，则的值为 _____．

14. 当时，的值是_____．
15. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A度数是_____．
16. 若a，b，c是的三边，且满足，则是______三角形．
17. 如图所示，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是_________．
三、解答题（共8题，计69分）
18. 计算：
（1）解不等式：，并将解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 先化简，再求值∶，请从，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点，点，点，请解答下列问题：
（1）画出绕点O逆时针旋转后得到的，并写出的坐标：______
（2）画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标：______
22. 线段与的位置关系如图1所示，，与的交点为O，且，分别将和平移到的位置（如图2）．
（1）求的长和的度数；
（2）在图2中求证：．
23. 我校运动会需购买，两种奖品，其中奖品的单价是元；奖品的单价是元．计划购买两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍．
（1）求出种奖品的数量范围；
（2）设购买费用为元，写出（元）与种奖品数量（件）之间的函数关系，并确定最少费用的值．
24. 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法．
（1）探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______．
（2）探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______．
（3）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值．
25. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长．
（3）如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路的长．