新高考艺术生40天突破数学90分讲义第18讲平面向量(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第18讲平面向量(原卷版+解析)，共56页。
一、向量的基本概念
1.向量概念
既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.
注：谈到向量必须说明其方向与大小.
向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.
2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量
零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.
单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.
平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.
规定零向量与任何向量平行（共线），即.
注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③， ，不一定有，因为可能为.
二、向量的线性运算
1.向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.

向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量=.
2．向量的减法
（1）相反向量.
与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作.
（2）向量的减法.
向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即=.
向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，，则向量.
3.向量的数乘
（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：
①
②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ0时，的方向与的方向相同；当λ 0 ， n > 0 ，

当且仅当 即
又∵ ∴时取等号，
的最小值为 9 .
故答案为：9
54．（2022·江苏·高三专题练习）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于________________
【答案】
【分析】
把作为基底，利用向量的加减法法则和平面向量基本定理把用基底表示出来，从而可得答案
【详解】
为的中点，且为的中点，
所以，
，
，.
因此，，
故答案为：.
55．（2022·浙江·高三专题练习）已知向量的夹角为60°，，则= ______ .
【答案】
【分析】
见模平方，结合数量积公式，即可求得答案.
【详解】
试题分析：，
所以.
故答案为：
56．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为___________.
【答案】##
【分析】
设，进而根据求出，然后根据平面向量夹角公式求得答案.
【详解】
由题意，设，又，设与的夹角为，所以，所以.
故答案为：.
57．（2022·上海·高三专题练习）非零向量，满足，且，与夹角为，则___________.
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积的运算律及数量积的定义计算可得；
【详解】
解：且，，
所以，
，
即，
，
，
．
故答案为：
58．（2022·河北·高三专题练习）已知，则与的夹角的余弦值为__________.
【答案】
【分析】
由得，进而由夹角公式求解即可.
【详解】
由，得
可得，
代入，可得，
所以与的夹角的余弦值为
故答案为：.
59．（2022·全国·高三专题练习）在中，点为的外心，，则______.
【答案】18
【分析】
结合图象，利用转化法求得.
【详解】
因为点为的外心，
取点为的中点，
则，
所以.
故答案为：
60．（2022·全国·模拟预测）已知向量，若向量的夹角为，则的值为_________.
【答案】
【分析】
根据条件求出，，再利用数量积公式列方程求解.
【详解】
由得，
由得，
又
所以，
即得到，解得
故答案为：.