2023-2024学年广东省湛江市坡头区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江市坡头区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利70元记作+70元，那么亏本50元记作( )
A. −50元B. −70元C. +50元D. +70元
2.从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次.其中70000000用科学记数法表示为( )
A. 7×103B. 7×105C. 7×106D. 7×107
3.在应用有理数减法法则计算−2−(−3)时，其中需要把“−”变成“+”的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
4.将如图中的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知等式a=b，则下列等式中不一定成立的是( )
A. a−c=b−cB. am=bmC. an=bnD. a2=b2
6.下列说法正确的是( )
A. 单项式3ab的次数是1B. 多项式−4a2b+3ab−5的常数项是5
C. 单项式−3πxy2的系数是−32D. 3a−2a2b−1是三次三项式
7.若关于x的方程4+ax=5的解是x=−2，则a的值是( )
A. 2B. −2C. −12D. 12
8.如图，C，D为线段AB上的两点，AC=12CD=12DB，E是线段DB的中点，若AB=10cm，则CE的长是( )
A. 8cmB. 7cmC. 6cmD. 5cm
9.某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进价仍获得20%，则该商品的进价是( )
A. 95元B. 90元C. 85元D. 80元
10.规定：f(x)=|x−2|，g(y)=|y+3|.例如f(−4)=|−4−2|，g(−4)=|−4+3|.下列结论中，(1)若f(x)+g(y)=0，则2x−3y=13；②若x<−3，则f(x)+g(x)=−1−2x；③能使f(x)=g(x)成立的x的值不存在；④式子f(x−1)+g(x+1)的最小值是7.其中正确的所有结论是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.数轴上，点A对应的数是1，点B对应的数是7，则线段AB的长度为______．
12.代数式5a2b与−an+1b是同类项，则常数n的值为______．
13.如图，点O是直线AB上一点，∠AOC=50°，则∠BOC的度数为______．
14.已知关于x的方程(a−1)x|a|−1=0是一元一次方程，则a= ______．
15.若关于x的方程3x2+ax+23=b有无数解，则2a+3b的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)−7+(+5)−(−10)；
(2)3÷(−13)×(−3)．
17.(本小题8分)
解方程：
(1)3x−2=5x+6；
(2)14x−16x=4．
18.(本小题8分)
先化简下式，再求值：2a2b+3(23a2b−2ab2)−5(15a2b−ab2)，其中a=−13，b=2．
19.(本小题9分)
尺规作图．
如图，已知在平面上有三个点A，B，C，请按下列要求作图：
(1)作直线AB；
(2)作射线AC；
(3)在射线AC上作线段AD，使AD=2AB．
20.(本小题9分)
如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
(1)射线OC的方向是______；
(2)求∠COD的度数；
(3)若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
21.(本小题9分)
某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元．
(1)表中a的值为______；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若8月份老李家用电的平均电价为0.76元/度，求老李家8月份的用电量．
22.(本小题12分)
已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图1所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．
(1)若∠CON=10°，则∠AOM是______°；
(2)若∠BON=3∠NOC，求∠AOM的度数；
(3)如图2，D是射线OB上一点，且∠ODN=90°，试猜想∠OND与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
23.(本小题12分)
如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+(b−5)2=0．
(1)a=______，b=______；
(2)点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB=PC，请求出点P对应的数；
(3)点A，B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB−mOM为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如果盈利70元记作+70元，那么亏本50元记作−50元，
故选：A．
根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：70000000=7×107．
故选：D．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3.【答案】C
【解析】解：−2−(−3)=−2+(+3)，
∴需要把“−”变成“+”的号的是②③．
故选：C．
根据有理数的减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数即可求得．
本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则是关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据“面动成体”可得，旋转后的几何体为两端略粗，中间稍细的几何体，
因此选项B中的几何体符合题意，
故选：B．
根据“面动成体”可得答案．
本题考查“面动成体”，理解点、线、面、体的关系是正确判断的前提．
5.【答案】B
【解析】解：A.在等式a=b的两边同时减去c，所得的结果仍是等式，即a−c=b−c，故本选项不符合题意．
B.如果m=0，则am=bm没有意义，故本选项符合题意；
C.在等式a=b的两边同时乘以n，所得的结果仍是等式，即an=bn，故本选项不符合题意；
D在等式a=b的两边同时乘以a，所得的结果仍是等式，即a2=ab=b2，故本选项不符合题意；
故选：B．
等式的性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式的性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)，所得结果仍是等式．根据等式的基本性质作出判断即可．
本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是理解并掌握等式的基本性质．
6.【答案】D
【解析】解：A.单项式3ab的次数是2，说法错误，不符合题意；
B.多项式−4a2b+3ab−5的常数项是−5，说法错误，不符合题意；
C.单项式−3πxy2的系数是−32π，说法错误，不符合题意；
D.3a−2a2b−1是三次三项式，说法正确，符合题意．
故选：D．
单项式的次数是各字母次数之和，多项式次数要找所组成的单项式中次数最高的那一项．根据定义逐项判断即可．
本题考查单项式和多项式的次数与系数，明确概念是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意知，4+a×(−2)=5，
解得，a=−12，
故选：C．
由题意知，4+a×(−2)=5，计算求解即可．
本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵AC=12CD=12DB，AB=10cm，
∴AC=2cm，CD=BD=4cm，
∵E是线段BD的中点，
∴DE=BE=12BD=2cm，
∴CE=CD+DE=4+2=6(cm)，
故选：C．
根据AC=12CD=12DB，AB=10cm，求得AC=2cm，CD=BD=4cm，根据E是线段BD的中点，得DE=BE=12BD=2cm，进而求得CE的值．
本题考查了线段和的意义和线段中点的意义，利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可，熟练掌握两个概念并灵活运用进行线段的计算是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．亦可根据利润=售价−进价列方程求解．商品的实际售价是标价×90%=进货价+所得利润(20%⋅x).设该商品的进货价为x元，根据题意列方程得x+20%⋅x=120×90%，解这个方程即可求出进货价．
【解答】
解：设该商品的进货价为x元，
根据题意列方程得x+20%⋅x=120×90%，
解得x=90．
故选B．
10.【答案】B
【解析】解：∵f(x)+g(y)=0，即|x−2|+|y+3|=0时，
解得x=2，y=−3，
∴2x−3y=2×2−3×(−3)=13，
∴语句①表述符合题意；
∵若x<−3，
则f(x)+g(x)=|x−2|+|x+3|=−x+2−x−3=−1−2x
∴语句②表述符合题意；
∵当x<−3时，若f(x)=g(x)，即−x+2=−x−3，此时无解，
当−3≤x<2时，若f(x)=g(x)，即−x+2=x+3，解得x=−12，
当x≥2时，若f(x)=g(x)，即x−2=x+3，此时无解，
∴语句③表述不符合题意；
∵由题意得，f(x−1)+g(x+1)=|x−1−2|+|x+1+3|=|x−3|+|x+4|，
当x<−4时，f(x−1)+g(x+1)=−x+3−x−4=−2x−1>7，
当−4≤x≤3时，f(x−1)+g(x+1)=−x+3+x+4=7，
当x>3时，f(x−1)+g(x+1)=x−3+x+4=2x+1>7，
∴语句④表述符合题意；
故选：B．
根据定义对各语句进行计算、讨论、辨别．
此题考查了运用绝对值的运算解决新定义方面的问题，关键是能准确理解题意，并能进行正确地列式、讨论和计算．
11.【答案】6
【解析】解：∵点A对应的数是1，点B对应的数是7，
∴线段AB的长度为7−1=6．
故答案为：6．
根据数轴上两点的距离等于它们表示的数差的绝对值求解即可．
本题考查数轴上两点的距离，掌握数轴上两点的距离等于它们表示的数差的绝对值是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：∵代数式5a2b与−an+1b是同类项，
∴n+1=2，
解得n=1．
故答案为：1．
根据同类项的定义解答即可．
本题考查了同类项定义，要熟记同类项的两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数相同，是易错点，因此成了中考的常考点．
13.【答案】130°
【解析】本题主要考补角的概念，熟练掌握补角的概念是解题的关键．
根据补角的概念直接计算即可．
解：∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−50°=130°，
故答案为：130°．
14.【答案】−1
【解析】解：∵方程(a−1)x|a|−1=0是一元一次方程，
∴|a|=1且a−1=0，
解得a=−1，
故答案为：−1．
根据一元一次方程的基本步骤解答即可．
本题主要考查一元一次方程的定义，掌握“只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0的方程是一元一次方程”是解题的关键．
15.【答案】−7
【解析】解：3x2+ax+23=b，
去分母得：9x+2(ax+2)=6b，
去括号得：9x+2ax+4=6b，
移项得：9x+2ax=6b−4，
合并同类项得：(9+2a)x=6b−4，
∵关于x的方程3x2+ax+23=b有无数解，
∴关于x的方程(9+2a)x=6b−4有无数解，
∴9+2a=0，6b−4=0，
∴2a=−9，3b=2，
∴2a+3b=−9+2−=−7，
故答案为：−7．
先解方程得到(9+2a)x=6b−4，再根据方程有无数解得到9+2a=0，6b−4=0，据此求出2a=−9，3b=2，然后代值计算即可．
本题主要考查了解一元一次方程的拓展，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
16.【答案】解：(1)−7+(+5)−(−10)
=−2+10
=8；
(2)3÷(−13)×(−3)
=3×(−3)×(−3)
=27．
【解析】(1)按照从左到右的顺序进行计算，即可解答；
(2)按照从左到右的顺序进行计算，即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3x−2=5x+6，
移项得，3x−5x=6+2，
合并同类项得，−2x=8，
系数化为1，得，x=−4，
∴原方程的解为：x=−4；
(2)14x−16x=4，
合并同类项的，(14−16)x=4，整理得，112x=4，
系数化为1，得，x=4÷112，
∴原方程的解为：x=48．
【解析】(1)方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
(2)先合并同类项，再化系数为1，即可求解．
本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤．
18.【答案】解：2a2b+3(23a2b−2ab2)−5(15a2b−ab2)
=2a2b+(2a2b−6ab2)−(a2b−5ab2)
=2a2b+2a2b−6ab2−a2b+5ab2
=3a2b−ab2，
当a=−13，b=2时，
原式=3×(−13)2×2−(−13)×22=2．
【解析】先去括号，再合并同类项，再代值计算即可．
本题考查整式加减的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)所作直线AB如图所示；
(2)所作射线AC如图所示；
(3)所作线段AD如图所示．

【解析】本题考查了画直线、射线和线段，解题的关键是：明白直线没有端点，射线只有一个端点，并能熟练的利用尺规作图画出已知线段的2倍．
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)以A点为圆心，线段AB长为半径作圆，交射线AC于点E，再以E点为圆心，线段AB长为半径作圆，交射线AC与点D，线段AD即是所求．
20.【答案】解：(1)北偏东70°
(2)因为∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，
所以∠BOC=110°．
又因为射线OD是OB的反向延长线，
所以∠BOD=180°．
所以∠COD=180°−110°=70°．
(3)因为∠COD=70°，OE平分∠COD，
所以∠COE=35°．
因为∠AOC=55°．
所以∠AOE=90°．
【解析】【分析】
此题主要考查了方向角和角的和差，掌握方向角的定义和表示方法是解题的关键．
(1)先求出∠AOB=55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
(2)根据∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°，进而求出∠COD的度数；
(3)根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE=35°，再利用∠AOC=55°求出答案即可．
【解答】
解：(1)因为OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
所以∠NOB=40°，∠NOA=15°，
∠AOB=∠NOB+∠NOA=55°，
因为∠AOB=∠AOC，
所以∠AOC=55°，
所以∠NOC=∠NOA+∠AOC=70°，
所以OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
(2)见答案;
(3)见答案．
21.【答案】0.6
【解析】解：(1)依题意得：200a=120，
解得：a=0.6．
故答案为：0.6．
(2)设老李家9月份的用电量为x度，
∵0.6×240=144(元)，144<183，
∴x>240．
依题意得：144+0.65(x−240)=183，
解得：x=300．
答：老李家9月份的用电量为300度．
(3)∵三个档次的平均价格为0.65+0.6+0.93≈0.71(元)，8月份老李家用电的平均电价为0.76元/度，
∴老李家8月份用电量一定超过400度，
设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得：144+0.65×(400−240)+(0.6+0.3)(y−400)=0.76y，
解得：y=800．
答：老李家8月份的用电量为800度．
(1)利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
(2)设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出x>240，再利用电费=144+0.65×超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
(3)设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.76元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键．
22.【答案】20
【解析】解：(1)∵∠MON=90°，∠CON=10°，
∴∠MOC=90°−∠CON=80°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM=2∠MOC=160°，
∴∠AOM=180°−∠BOM=20°，
故答案为：20；
(2)∵∠BON=3∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC=∠BOC=4∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC=∠MON=90°，
∴4∠NOC+∠NOC=90°，
∴5∠NOC=90°，
∴∠NOC=18°，
∴∠BON=3∠NOC=54°，
∴∠AOM=180°−∠MON−∠BON
=180°−90°−54°
=36°；
(3)∠AOM=2∠NOC，
令∠NOC=β，∠AOM=γ，则∠MOC=∠BOC=90°−β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°，
∴γ+(90°−β)+(90°−β)=180°，
∴γ−2β=0，即γ=2β，
∴∠AOM=2∠NOC，
∵∠OND=90°−∠NOD=∠AOM，
∴∠OND=2∠NOC．
(1)先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM=180°−∠BOM计算即可；
(2)根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；
(3)令∠NOC=β，∠AOM=γ，则∠MOC=∠BOC=90°−β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°，由两角互余得到∠OND=∠AOM，即可得到∠OND与∠NOC满足的数量关系．
本题考查了角平分线的意义，角度互补和互余的意义，掌握各个角之间的关系是关键．
23.【答案】解：(1)−10，5；
(2)设点P对应的数为x，
因为PA+PB=PC，
所以|x−(−10)|+|x−5|=|x−10|，
解得：x=−15或x=−5，
所以满足PA+PB=PC的点P对应的数是−15或−5；
(3)存在．
设经过t秒，则点A运动t秒后表示的数是−10+2t，点B运动t秒后表示的数是5+3t，点M运动t秒后表示的数是5t，
所以AM=5t−(−10+2t)=3t+10，OB=5+3t，OM=5t，
所以3AM+2OB−mOM=3(3t+10)+2(5+3t)−m⋅5t=(15−5m)t+40，
所以当15−5m=0，即m=3时，3AM+2OB−mOM的值为定值，这个定值为40．
【解析】【分析】
本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的应用等知识，掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键．
(1)利用非负数的性质即可求出a，b的值；
(2)设点P对应的数为x，利用数轴上两点之间的距离公式列出方程求解即可；
(3)设经过t秒，分别用含t的式子表示AM，OB，OM及3AM+2OB−mOM，再令t的系数为0即可得答案．
【解答】
解：(1)因为|a+10|+(b−5)2=0，
所以a+10=0，b−5=0，
所以a=−10，b=5，
故答案为：−10，5；
(2)见答案；
(3)见答案．档次
月用电量
电价(元/度)
第1档
不超过240度的部分
a
第2档
超过240度但不超过400度的部分
0.65
第3档
超过400度的部分
a+0.3