2024年山东省济南市中考数学模拟预测考试题（原卷版+解析版）

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本试卷共8页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上提号提示的区域作答，在本试题上作答无效．
3．考试结束后将本试题卡一并交回．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形逐一进行判断即可．
【详解】解：A、主视图是三角形，不符合题意；
B、主视图是四边形，不符合题意；
C、主视图是圆，符合题意；
D、主视图矩形，不符合题意；
故选C．
2. 今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：尔滨，你让我感到陌生！因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“59.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】∵，
故选D．
3. 如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质．首先利用三角形外角性质得到，然后利用平行线性质得出结果．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
4. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，由数轴先判断出的符号和绝对值大小，再逐项判断即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，，
∴，，
∴，
∴错误，正确，
故选：．
5. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人视觉上以镂空的感觉和艺术享受．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形、中心对称图形的识别， “一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”，根据定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C，该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D，该图形即是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
6. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减和乘除运算，正确理解整式的加减和乘除运算的法则是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，幂的运算法则即可判断答案．
【详解】选项A，与不是同类项，不能合并，故选项A错误，不符合题意；
选项B，，故选项B错误，不符合题意；
选项C，，故选项C错误，不符合题意；
选项D，计算正确，符合题意．
故选D．
7. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先判断出函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大，判断出，，的大小关系，即可获得答案．
【详解】解：∵对于反比例函数，
∴该函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大，
∵，
∴，，
∴．
故选：A．
8. 新考法与新定义结合，如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．先画树状图得出所有等可能结果数，从中找到“回文数”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图，
由图可知，所有可能组成的数有共有24种，其中恰好是“回文数”的共有8种，
∴从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是，
故选：B．
9. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
如图，过点作交于．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
10. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“关联点”．已知点，有下列结论：
①点都是点的“关联点”；
②若直线上的点是点的“关联点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“关联点”；其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数上点的坐标特征，根据“关联点”的定义进行计算即可判断①；设直线上的点为，则，求解即可判断②；设抛物线上的点为，则，求解即可得出答案，理解题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征以及一次函数上点的坐标特征是解此题的关键．
【详解】解：，，
点是点的“关联点”，不是点的“关联点”，故①错误，不符合题意；
设直线上的点为，
，
解得：，
点的坐标为，故②正确，符合题意；
设抛物线上的点为，
，
解得：或，
点的坐标为，，
抛物线上存在两个点是点的“关联点”，故③正确，符合题意；
综上所述，正确的有：②③，
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接写答案．
11. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是______ 个
【答案】
【解析】
【分析】根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数．
【详解】解：由题意：设棋子的总数为个
解得
故答案为：20．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13. 已知一元二次方程3x2+2x___＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是___．（只需填满足条件的任意一个整数即可）
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可．
【详解】解：由题意，设一元二次方程为
则
，解得
所以，被污染的常数项可以为0
故答案为0（答案不唯一）
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，熟练掌握根与判别式的关系是解题的关键．
14. 如图，扇形中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，若，则阴影部分的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质．连接，得出是等边三角形，进而可得，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】连接，
如图所示．由题意，
是等边三角形．
阴影部分的周长为．
故答案为：．
15. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
16. 如图，在矩形中，，，点E是边上一动点．把沿着折叠，当点对应点恰好落在矩形的对称轴上时，__________．

【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，分两种情况：当点落在对边和的中垂线上时，过点作垂直，分别交、于点、，求出，再由计算即可；当点落在对边和的中垂线上时，则，证明，得出，设，即，求解即可．
【详解】解：分两种情况：（1）如图1，当点落在对边和的中垂线上时，过点作垂直，分别交、于点、．

，，
，则，
，
，
；
（2）如图2，当点落在对边和的中垂线上时，则，

，则，
．
，
，
，
，
，
，
设，即，
解得．
，
综上所述，或，
故答案为：或．
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用负整数指数幂运算法则、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
18 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可．
【详解】解：
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
19. 如图，在菱形中，点E、F分别是和上的点，且，求证：．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．根据菱形的性质得到，，进一步推得，根据全等三角形的判定，即得答案．
【详解】四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
．
20. 春节期间，白居寺长江大桥凭借其独特的造型、科幻的氛围、“星际穿越”的视感吸引众多游客纷纷前来打卡拍照．某校数学社团的同学们欲测量白居寺长江大桥桥塔的高度，如图2，他们在桥下地面上架设测角仪（测角仪垂直于地面放置），此时测得白居寺长江大桥桥塔最高点的仰角，然后将测角仪沿方向移动100.5米到达点处，并测出点的仰角，测角仪高度米．（点在同一水平线上，）

（1）白居寺长江大桥桥塔的高度约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：，，，）
（2）如图3，在（1）问条件下，小明在某大楼处测得白居寺长江大桥桥塔最高点的仰角，最低点的俯角，则小明所在地处与的水平距离约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）236.1
（2）141.66
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过仰角俯角问题测量物体高度，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）延长，交于点，设, 则，在中, ，可得，在中，，，求出，再根据得出答案；
（2）延长交于点，由题意可知，，根据题意可得 ，设，则，根据，，可得，解得，从而可得的值．
【小问1详解】
解：如图所示，延长，交于点，

由题意得, ,
设, 则
在中,
在中，，
经检验是原方程的解且符合题意
米
白居寺长江大桥桥塔的高度约为米；
【小问2详解】
解：延长交于点，由题意可知，

，
设，则
解得
故处与的水平距离约为米
21. 疫情期间，学校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式”的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
（1）本次调查人数有______ 人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是______ ；
（2）补全条形统计图；
（3）学校共有人，请估计喜欢在线听课的学生大约有多少人；
（4）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率．
【答案】（1），；
（2）图见解析 （3）估计喜欢在线听课的学生大约有人；
（4）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图等知识，理解两个统计图中的数量关系，正确画出树状图是解题的关键．
（1）样本中“在线阅读”的人数有人，占调查人数的，可求出调查人数；再求出“在线答疑”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体即可；
（4）画出树状图表示所有可能出现的结果情况，进而求出甲、乙两个人选择同一种方式的概率．
【小问1详解】
解：（人），即本次调查人数有人，
“在线答疑”的人数为（人），
在扇形图中的圆心角度数为；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：补全条形统计图如图所示：
；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计喜欢在线听课的学生大约有人；
【小问4详解】
解：四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用、、、表示，画树状图如图：

共有个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有个，
甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为．
22. 如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．

（1）若，求的度数．
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，即可求解．
（2）根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵于点，
∴，
∴．
小问2详解】
∵是切线，是的半径，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价的和为20元，用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种商品的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品的件数少于乙种商品的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1100元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，试问该商场如何进货利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元
（2）该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元
【解析】
【分析】（1）设每件甲种商品的进价元，则每件乙种商品的进价为元，根据“用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同”列出方程，即可求解，
（2）总购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“进货的总资金不超过1100元”求出的范围，列出总利润关于进货量的一次函数关系式，即可求解，
本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：找出方程中的等量关系．
【小问1详解】
解：设每件甲种商品的进价元，则每件乙种商品的进价为元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，
所以，
故答案为：每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元，
【小问2详解】
解：总利润为元，购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，，
∴，
∵比例系数，
∴随着的增大而减小，
∴当时，由最大利润（元），，
故答案为：该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元．
24. 【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图像的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为 x、y，则 ，，即，，那么满足要求的(x，y)应该是函数 与 的图像在第_______象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图像
①画函数(x＞0)的图像；
②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图像可以看成是的图像向上平移_____个单位长度到．
（3）研究函数图像
平移直线，观察两函数的图像；
①当直线平移到与函数 (x＞0)的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长 m的值为______；
②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长 m的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为 10 的矩形的周长 m 的取值范围为__________．
【答案】(1)一；（2）①画图见详解，②画图见详解，；(3)①（2，2），8；②0个交点时，0＜m＜8；1个交点时，m=8；2个交点时，m＞8；（4）．
【解析】
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象，根据图象回答即可；
（3）①把点（2，2）代入y=-x+即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合函数的图象，即可求解；
（4）方法同前面的思路联立两个函数的解析式得一元二次方程，满足方程有根，求出m取值即可．
【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
故答案为：一；
（2）如图，
的图像可以看成是由的图像向上平移个单位长度得到．
故答案为：；
（3）①当直线平移到与函数（x＞0）的图像有唯一公共点的位置时，如图，
从图象可以看出，公共点的坐标为（2，2）
把点（2，2）代入y=-x+得：
2=-2+，
解得：m=8，
故答案为：（2，2），8；
②由①并结合图象知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8；
（4）当矩形的面积为10，相邻的两边长为x、y，周长为m时，则有
，
∴，即
两个函数有交点时，
解得，或（不符合题意，舍去）
∴，
故答案为：．
【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数图象平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，抛物线顶点的坐标为，直线与对称轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为直线右方抛物线上的一点（点不与点重合），设点的横坐标为，记四点所构成的四边形面积为S，若，请求出的值；
（3）点是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点，使得与的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或2
（3）存在，或+1或
【解析】
【分析】（1）根据顶点D的坐标得出，再利用待定系数法求解即可；
（2）设，先确定直线的解析式，再确定，则可根据三角形面积公式计算出，然后分类讨论：当点M在轴上方时，即，利用得到；当点M在轴下方时，即，连接，利用得到，再分别解关于的一元二次方程求出；
（3）存在．直线交轴于，利用两点间的距离公式计算出，分类讨论：①于P，证明，利用相似比可计算出，则；②于，证明，利用相似比计算出，，在中，设，，，则利用勾股定理可得，解得，于是；③于，作于，利用①得结论可得，，而，则，根据折叠性质得，则根据角平分线性质得，接着证明，利用相似比可得，所以当为或或时，将沿边翻折得到，使得与的重叠部分图形为直角三角形．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，即，
∴抛物线的解析式为，
将点A和点D坐标代入得：
，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：令，
解得：或3，
∴，
令，则，
∴，设的表达式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
当时，，则，
，
当点M在轴上方时，即，如图1，
，
，
，
解得，（舍去）；
当点M在轴下方时，即，如图2，连接，
，
，
，
解得（舍去），；
综上所述，m的值为：或2；
【小问3详解】
解：存在．设直线交轴于，；
①如图3，于P，沿边翻折得到，
，，
，
，即，
解得：，
；
②如图4，于，
，，
，
，即，
解得：，，
在中，设，，，
，
解得，
；
③如图5，于，作于，由①得，，
，
，
沿边翻折得到，
，
，
，
，
，即，
，
综上所述，当为或+1或时，将沿边翻折得到，使得与的重叠部分图形为直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和折叠的性质；三角形相似的判定和性质，会利用待定系数法求二次函数解析式；灵活运用相似比和勾股定理计算线段的长；会利用分类讨论的思想解决数学问题；本题难度较大，综合性较强．
26. 在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、点、点的对应点分别为点、点、点．
（1）如图①，当点落在边上时，直写出线段的长度为______；
（2）如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．
①求证：；
②求线段的长度．
（3）如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）；
（2）①证明见详解；②；
（3）存在，最大值为：；
【解析】
【分析】（1）本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案；
（2）①矩形的性质，旋转的性质及三角形全等的判定，根据旋转及矩形得到，，即可得到证明；②本题考查三角形全等的性质与勾股定理，根据得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案；
（3）本题考考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①证明：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，，
在与中，
∵，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，解得：，
∴；
【小问3详解】
解：存在
，
∵为边的中点，
∴，
∴，
过A作，
∴当，，三点共线时高最大，三角形面积最大如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴．