2023-2024年高一下学期数学期中考试（人教A版2019必修第二册）

这是一份2023-2024年高一下学期数学期中考试（人教A版2019必修第二册），共22页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围： 平面向量、复数、立体几何为主
第I卷（选择题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合A=y|y=2x，B=x|x2−3x+2≤0则( )
A．A∩B=∅B．A∪B=RC．A⊆BD．B⊆A
2．若复数z满足2z+i⋅z=4+5i，则z在复平面中对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A．f(x)=−lg12xB．f(x)=−|x−1|
C．f(x)=2−xD．f(x)=−x2+x
4．已知a=1,2,b=−1,1，则向量a在b上的投影向量的模长为( )
A．1B．22C．55D．25
5．函数fx=2sinx−sin2x是( )
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ccsB=2a−bcsC，则角C=( )
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
7．如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F．当点P在劣弧EF上运动时，BP⋅DP的取值范围为( )
A．1−22,−12B．1−22,−1
C．−1,1−2D．1−22,1−2
8．如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形，O为AC,BD的交点，PO⊥平面ABCD，∠PBA=∠ABC=60°，则四棱锥P−ABCD的内切球的体积为( )

A．6π2B．6π4C．6π8D．6π16
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设z为复数（i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A．若(1+i)z=−i，则z=1
B．对任意复数z1，z2，有z1z2=z1⋅z2
C．对任意复数z1，z2，有z1⋅z2=z1⋅z2
D．在复平面内，若M={z|z−2≤2}，则集合M所构成区域的面积为6π
10．对于△ABC有如下命题，其中正确的是( )
A．若sin2A+sin2B+cs2CcsB恒成立
D．若B=π3,a=23,且△ABC有两解，则b的取值范围是3,23
11．如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界)，且B1F//平面A1BE，则下列说法正确的有( )

A．动点F轨迹的长度为2
B．三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13
C．B1F与A1B不可能垂直
D．当三棱锥B1−D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为252π
第II卷（非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数fx=ex,x≤1lnx,x>1.若fm=1，则实数m的值为 .
13．△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=2π3，O是△ABC的外心，若AO=xAB+yAC，则x= .
14．已知球O的直径为AB，C，D为球面上的两点，点M在AB上，且AM=3MB，AB⊥平面MCD，若△MCD是边长为3的等边三角形，则球心O到平面BCD的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分) 已知复数z=bi（b∈R)，z−21+i是实数，i是虚数单位.
(1)求z的值；
(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.

16．（15分) 已知向量a=(−3,2)，b=(2,1)，c=(3,−1)，t∈R．
(1)求a+tb的最小值及相应的t值；
(2)若a−tb与c的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
17．（15分) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=a+b+c,sinC，n=(sinA−sinB+sinC,−3a)，且m⋅n=0．
(1)求角B的大小；
(2)若AD=3DC，BD=1，求△ABC的面积的最大值．

18．（17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，PA=AB=2CD=2，∠ADC=90∘，E,F分别为PB,AB的中点．
(1)求证：CE//平面PAD；
(2)求点B到平面PCF的距离.
19．（17分)十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且csA2csB=sinC−π6，点P为△ABC的费马点．
(1)求角B；
(2)若b2−(a−c)2=6，求PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC的值；
(3)若b=1，求|PA|+|PC|−|PB|的取值范围．
参考答案
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A=y|y=2x，B=x|x2−3x+2≤0则（ ）
A．A∩B=∅B．A∪B=RC．A⊆BD．B⊆A
【答案】D
【分析】根据指数函数的值域化简集合A的表示，解一元二次不等式化简集合B的表示，最后根据集合的交集和并集的定义、子集的定义进行判断即可.
【详解】因为A=y|y=2x=y|y>0，B=x|x2−3x+2≤0=x|1≤x≤2，
所以A∩B=x|1≤x≤2≠∅，故选项A不正确；
A∪B=y|y>0≠R，故选项B不正确；
根据子集的定义有B⊆A.
故选：D
【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算，考查了子集的定义，考查了指数函数的值域，考查了解一元二次不等式，考查了数学运算能力.
2．若复数z满足2z+i⋅z=4+5i，则z在复平面中对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】设z=a+bi，代入条件根据复数相等求出a,b，进而可得z在复平面中对应的点所在象限.
【详解】设z=a+bi，
则由2z+i⋅z=4+5i得2a−bi+i⋅a+bi=4+5i，
整理得2a−b+a−2bi=4+5i，
所以2a−b=4a−2b=5，解得a=1b=−2，
所以z=1−2i在复平面中对应的点为1,−2，在第四象限.
故选：D.
3．下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ）
A．f(x)=−lg12xB．f(x)=−|x−1|
C．f(x)=2−xD．f(x)=−x2+x
【答案】C
【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得.
【详解】函数f(x)=−lg12x在区间(0,+∞)上单调递增，A不是；
函数f(x)=−|x−1|=−x+1,x≥1x−1,x