2024年河南省周口市郸城县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年河南省周口市郸城县中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣8的倒数是（ ）
A．﹣8B．8C．﹣D．
2．（3分）灵宝剪纸具有粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色，分为单色和染色两种，制作以剪为主，也有刻纸的方式．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）河南是全国重要的能源生产和消费大省，在规模化开发新能源方面，预计到2025年，全省风电光伏装机达到7500万千瓦．数据“7500万”用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×107B．7.5×108C．75×106D．0.75×108
4．（3分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
6．（3分）关于整式的运算，下列正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．a6÷a2＝a3
C．a4•a3＝a12D．（a3）3＝a9
7．（3分）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是（ ）
A．1B．3C．6D．﹣8
8．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝2B．x1+x2＝﹣2C．x1x2＝4D．x1x2＝8
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为3，则D点坐标为（ ）
A．（，1）B．（，1）C．（，）D．（，）
10．（3分）在矩形ABCD中，AC为矩形对角线，AB＞BC，有一动点P，沿AB→BC→CA方向运动，每秒运动1个单位长度，设点P运动的时间为x秒，线段AP的长为y，y随x变化的函数图象如图所示，则线段BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．2.5
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：﹣2 ﹣1（填“＞或＜或＝”）．
12．（3分）不等式组的解集为 ．
13．（3分）优秀的中华民族有很多传统习俗，其中端午节吃粽子就是一种．某食品厂为了了解市民对去年销售较好的A、B、C、D四种粽子的喜好情况．在端午节前通过发放粽子对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），其中A种粽子发放了70个，B种粽子发放了220个，根据不完整扇形统计图，C种粽子所在扇形的圆心角的度数是 ．
14．（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在小正方形的顶点上，BC＝2，则的长为 ．
15．（3分）如图，AC＝2，B为线段AC的中点，∠ACD＝60°，P是射线CD上一点，当∠APB＝30°时，BP的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）下面是一道例题及其解答过程的一部分．
①若M是一个单项式，则这个单项式是 ．
②将该例题的解答过程补充完整．
17．（9分）郑州市某校为了准备初中毕业升学体育考试，对九年级学生的立定跳远和实心球开展训练．在经过一段时间训练后，对立定跳远进行了一次测评，下面是某班男生女生的立定跳远测评成绩（满分14分）统计图表：
女生立定跳远成绩的频数分布表
其中男生成绩在10＜x≤12分的有：12 12 11.5 11.5 11 11 11 11 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5
【分析数据】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）若全班同学都参加了立定跳远测评，则该班共有学生 人．
（2）a＝ ．
（3）九年级体育老师杨老师和王老师结合此次立定跳远成绩，计划对各班成绩薄弱学生成立两个集训队进行集训，该班有三名同学A、B、C三人被选入集训队，若杨老师打算从中随机任选两人加入他的集训队，请用列表或画树状图的方法求A、B两人被选到杨老师集训队的概率．
18．（9分）随着人民生活水平的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球是一项深受市民喜欢的球类运动．如图，某数学兴趣小组想要测量操场上某篮球架的高度，已知∠PED＝90°，∠ABC＝145°，∠PDE＝45°，测得DE＝1.05m，BC＝0.84m，AB＝2.21m，篮板顶端P点到篮框F的距离PF＝0.90m，支架AB、PE垂直水平地面，支架CE平行水平地面，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
19．（9分）如图，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数y＝（a≠0，x＞0）的图象交于点A（1，m），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣2，0）．
（1）求k与a的值．
（2）P是x轴正半轴上一点，若BP＝BC，求△PAB的面积．
20．（9分）为拓展公园绿地服务功能，更好地满足市民亲近自然、休闲游憩、运动健身需求，郑州市园林局积极开展绿地开放共享试点工作，自2023年9月1日正式对外开放36个试点公园广场、廊道，共计共享绿地71处，共享面积约24万平方米．小明计划购置一批露营桌椅供游客租赁，已知购买20套甲型桌椅和40套乙型桌椅需要5200元；若购买30套甲型桌椅和10套乙型桌椅需要2800元．
（1）求每套甲型桌椅和每套乙型桌椅的价格．
（2）若小明需要购买甲型和乙型桌椅共计200套（两种型号均需购买），购买甲型桌椅的数量
不超过乙型桌椅数量的，为使购买桌椅的总费用最低，应购买甲型桌椅和乙型桌椅各多少套？购买桌椅的总费用最低为多少？
21．（9分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以A为圆心，AB的长为半径作圆，CE是⊙A的切线与BA的延长线交于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作BC的垂线交EC的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接BD．
①试判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由．
②若tanE＝，⊙A的半径为3，求DB的长．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝m．
（1）若对于x1＝﹣1，x2＝﹣2，有y1＝y2，求m的值．
（2）若对于﹣1≤x1＜0，x2＝0，都有y1≥y2，求m的取值范围．
23．（10分）综合实践课上，王老师组织同学们通过等腰直角三角形的旋转发现问题，解决问题．如图，△ABC和△PBQ均为等腰三角形，∠ACB＝∠PQB＝90°，AC＝BC，BQ＝PQ，连接AQ，过点P作PM∥AQ，过点A作AM∥PQ，AM与PM的交点为M，连接CM，CQ．
初步探究
（1）如图1，当点P在BC上时，点Q在AB上，线段CM与线段CQ的数量关系为 ；位置关系为 ．
探究迁移
（2）如图2，在（1）的基础上，将△PQB绕点B在平面内顺时针旋转，线段CM与线段CQ的数量关系和位置关系是否发生变化？请仅就图2的情况说明理由．
拓展探究
（3）在（2）的探究中，已知BC＝4，PB＝4，△PQB绕点B在平面内旋转过程中，当点C、P、Q在同一条直线上时，请直接写出AQ的长．
2024年河南省周口市郸城县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣8的倒数是（ ）
A．﹣8B．8C．﹣D．
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，﹣8×（﹣）＝1，即可解答．
【解答】解：根据倒数的定义得：﹣8×（﹣）＝1，
因此﹣8的倒数是﹣．
故选：C．
2．（3分）灵宝剪纸具有粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色，分为单色和染色两种，制作以剪为主，也有刻纸的方式．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
3．（3分）河南是全国重要的能源生产和消费大省，在规模化开发新能源方面，预计到2025年，全省风电光伏装机达到7500万千瓦．数据“7500万”用科学记数法表示为（ ）
A．7.5×107B．7.5×108C．75×106D．0.75×108
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：7500万＝75000000＝7.5×107，
故选：A．
4．（3分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看底层是两个小正方形，上层左边一个小正方形，
故选：C．
5．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】由AD⊥AC知∠CAD＝90°，由AB∥CD知∠DCA+∠CAB＝180°，结合∠BAD＝35°得∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠BAD，据此可得答案．
【解答】解：∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，
又∵∠BAD＝35°，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠BAD＝55°，
故选：C．
6．（3分）关于整式的运算，下列正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．a6÷a2＝a3
C．a4•a3＝a12D．（a3）3＝a9
【分析】根据整式相关运算法则逐项判断即可．
【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项A错误，不符合题意；
a6÷a2＝a4，故选项B错误，不符合题意；
a4•a3＝a7，故选项C错误，不符合题意；
（a3）3＝a9，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
7．（3分）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是（ ）
A．1B．3C．6D．﹣8
【分析】由新数据是将原数据每个均减去2所得，知新数据与原数据的波动幅度保持不变，据此可得答案．
【解答】解：由题意知，新数据是将原数据每个均减去2所得，
所以新数据与原数据的波动幅度保持不变，
所以数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是3，
故选：B．
8．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝2B．x1+x2＝﹣2C．x1x2＝4D．x1x2＝8
【分析】根据根与系数的关系，可以求得两根之和和两根之积，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根，
∴x1+x2＝2，故选项A符合题意，选项B不符合题意；
x1x2＝﹣8，故选项C、D均不符合题意；
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为3，则D点坐标为（ ）
A．（，1）B．（，1）C．（，）D．（，）
【分析】根据位似图形的概念得到AD∥BG，得到△OAD∽△OBG，根据相似三角形的性质求出OA，进而求出D点坐标．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，正方形BEFG的边长为3，
∴正方形ABCD的边长为1，AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，即＝，
解得：OA＝，
∴D点坐标为（，1），
故选：B．
10．（3分）在矩形ABCD中，AC为矩形对角线，AB＞BC，有一动点P，沿AB→BC→CA方向运动，每秒运动1个单位长度，设点P运动的时间为x秒，线段AP的长为y，y随x变化的函数图象如图所示，则线段BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．2.5
【分析】由函数图象可知，当运动7秒时点P运动到了点C，此时AP＝5，即AC＝5，AB+BC＝7，设BC＝m，则AB＝7﹣m，利用勾股定理得到52＝（7﹣m）2+m2，解方程即可得到答案．
【解答】解：由函数图象可知，当运动7秒时点P运动到了点C，此时AP＝5，即AC＝5，
∵点P每秒运动1个单位长度，
∴AB+BC＝7，
设BC＝m，则AB＝7﹣m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，
∴52＝（7﹣m）2+m2，
解得m＝3或m＝4（不合题意，舍去），
∴BC＝3，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：﹣2 ＜ ﹣1（填“＞或＜或＝”）．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1．
故答案为：＜．
12．（3分）不等式组的解集为 ﹣2≤x＜8 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4x+11≥3得：x≥﹣2，
解不等式5（x+1）＞6x﹣3得：x＜8，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜8，
故答案为：﹣2≤x＜8．
13．（3分）优秀的中华民族有很多传统习俗，其中端午节吃粽子就是一种．某食品厂为了了解市民对去年销售较好的A、B、C、D四种粽子的喜好情况．在端午节前通过发放粽子对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），其中A种粽子发放了70个，B种粽子发放了220个，根据不完整扇形统计图，C种粽子所在扇形的圆心角的度数是 79.2° ．
【分析】先求出四种粽子的总数量，再计算出A种粽子占比和C种粽子占比，C种粽子圆心角的度数＝360°×C种粽子占比，计算即可．
【解答】解：∵B种粽子发放了220个，占比为44%，
∴四种粽子的总数量为：220÷44%＝500（个），
∵A种粽子发放了70个，
∴A种粽子占比为：70÷500＝14%，
∴C种粽子占比为：1﹣（14%+44%+20%）＝22%，
∴C种粽子圆心角的度数是：360°×22%＝79.2°，
故答案为：79.2°．
14．（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在小正方形的顶点上，BC＝2，则的长为 ．
【分析】圆心为O，连接OA，OB，OC，解直角三角形求出∠AOB＝60°，∠BOC＝90°，OB＝OC＝，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，
在Rt△BCD中，BD＝1，BC＝2，
∴sin∠BCD＝＝，
∴∠BCD＝30°，
∴∠AOB＝2∠BCD＝60°，
在Rt△BAD中，BD＝1＝AD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴∠BOC＝2∠DAB＝90°，
∴OB＝OC＝×2＝，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°，
∴的长为＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，AC＝2，B为线段AC的中点，∠ACD＝60°，P是射线CD上一点，当∠APB＝30°时，BP的长为 1或 ．
【分析】过点A作AP⊥CD于点P，根据直角三角形的性质得∠A＝30°，BP＝BA＝BC＝1，则∠APB＝∠A＝30°，此时点P符合题意，BP＝1；过点B作BP⊥AC交射线CD于P，证△PAC为等边三角形得∠APB＝30°，此时点P符合题意，然后在Rt△PAB中利用直角三角形的性质及勾股定理求出BP即可．
【解答】解：过点A作AP⊥CD于点P，如图1所示：
在Rt△APC中，∠ACD＝60°，AC＝2，点B为AB的中点，
∴∠A＝90°﹣∠ACD＝30°，BP＝BA＝BC＝1，
∴∠APB＝∠A＝30°，
∴点P符合题意，此时BP＝1；
过点B作BP⊥AC交射线CD于P，如图2所示：
∵点B为AB的中点，AC＝2，
∴BP为线段AC的垂直平分线，AB＝BC＝1，
∴PA＝PC，
又∵∠ACD＝60°，
∴△PAC为等边三角形，
∴∠APB＝30°，
∴点P符合题意，
在Rt△PAB中，∠APB＝30°，AB＝1，
∴PA＝2，
由勾股定理得：BP＝＝．
综上所述：BP的长为1或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）下面是一道例题及其解答过程的一部分．
①若M是一个单项式，则这个单项式是 x ．
②将该例题的解答过程补充完整．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；
（2）①根据题意可得：M＝，然后进行约分化简，即可解答；
②先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）
＝4﹣1+
＝5﹣1；
（2）①由题意得：M＝＝＝x，
故答案为：x；
②÷（x﹣）
＝÷÷（﹣）
＝÷
＝•
＝．
17．（9分）郑州市某校为了准备初中毕业升学体育考试，对九年级学生的立定跳远和实心球开展训练．在经过一段时间训练后，对立定跳远进行了一次测评，下面是某班男生女生的立定跳远测评成绩（满分14分）统计图表：
女生立定跳远成绩的频数分布表
其中男生成绩在10＜x≤12分的有：12 12 11.5 11.5 11 11 11 11 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5
【分析数据】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）若全班同学都参加了立定跳远测评，则该班共有学生 53 人．
（2）a＝ 11.5 ．
（3）九年级体育老师杨老师和王老师结合此次立定跳远成绩，计划对各班成绩薄弱学生成立两个集训队进行集训，该班有三名同学A、B、C三人被选入集训队，若杨老师打算从中随机任选两人加入他的集训队，请用列表或画树状图的方法求A、B两人被选到杨老师集训队的概率．
【分析】（1）求出男生、女生的人数，即可得出结论；
（2）由中位数的定义即可得出结论；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中A、B两人被选到杨老师集训队的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵女生人数为：4+9+6+1＝20（人），男生人数为：1+2+16+14＝33（人），
∴若全班同学都参加了立定跳远测评，则该班共有学生人数为：20+33＝53（人），
故答案为：53；
（2）男生立定跳远成绩的中位数a＝11.5分，
故答案为：11.5；
（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中A、B两人被选到杨老师集训队的结果有2种，
∴A、B两人被选到杨老师集训队的概率为＝．
18．（9分）随着人民生活水平的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球是一项深受市民喜欢的球类运动．如图，某数学兴趣小组想要测量操场上某篮球架的高度，已知∠PED＝90°，∠ABC＝145°，∠PDE＝45°，测得DE＝1.05m，BC＝0.84m，AB＝2.21m，篮板顶端P点到篮框F的距离PF＝0.90m，支架AB、PE垂直水平地面，支架CE平行水平地面，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【分析】延长AB、EC交于点M，根据题意可得：∠BMC＝∠PED＝90°，然后在Rt△PDE中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出FE的长，再利用平角定义可得∠CBM＝35°，从而在Rt△BCM中，利用锐角三角函数定义求出BM的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：延长AB、EC交于点M，
由题意得：∠BMC＝∠PED＝90°，
在Rt△PDE中，DE＝1.05m，∠PDE＝45°，
∴PE＝DE•tan45°＝1.05（m），
∵PF＝0.90m，
∴EF＝PE﹣PF＝1.05﹣0.90＝0.15（m），
∵∠ABC＝145°，
∴∠CBM＝180°﹣∠ABC＝35°，
在Rt△BCM中，BC＝0.84m，
∴BM＝BC•cs35°≈0.84×0.82≈0.6888（m），
∴AB+BM+EF＝2.21+0.6888+0.15≈3.1（m），
∴篮框F到水平地面的距离约为3.1m．
19．（9分）如图，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数y＝（a≠0，x＞0）的图象交于点A（1，m），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣2，0）．
（1）求k与a的值．
（2）P是x轴正半轴上一点，若BP＝BC，求△PAB的面积．
【分析】（1）将CA（﹣2，0）代入y＝kx+1之中可得k＝，进而得一次函数的表达式为y＝x+1，再将点A（1，m）代入y＝x+1，得m＝，则点A，然后将点A的坐标代入y＝之中可得a的值；
（2）过点A作AH⊥x轴于H，则AH＝，OC＝2，再由BP＝BC，BO⊥PC得OP＝OC＝2，则PC＝4，再求出点B（0，1），则OB＝1，分别求出S△PAC＝PC•AH＝3，S△PBC＝PC•OB＝2，再根据S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC可得出答案．
【解答】解：（1）将CA（﹣2，0）代入y＝kx+1，得：0＝﹣2k+1，
解得：k＝，
∴一次函数的表达式为y＝x+1，
将点A（1，m）代入y＝x+1，得：m＝×1+1＝，
∴点A，
将点A（1，3/2）代入y＝a/x，得：a＝1×＝，
故k＝，a＝，
（2）过点A作AH⊥x轴于H，如图所示：
∵点A（1，），点C（﹣2，0），
∴AH＝，OC＝2，
∵BP＝BC，BO⊥PC，
∴OP＝OC＝2，
∴PC＝4，
对于y＝x+1，当x＝0时，y＝1，
∴一次函数y＝x+1与y轴交点B（0，1），
∴OB＝1，
∵S△PAC＝PC•AH＝×4×＝3，S△PBC＝PC•OB＝×4×1＝2，
∴S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC＝3﹣2＝1．
20．（9分）为拓展公园绿地服务功能，更好地满足市民亲近自然、休闲游憩、运动健身需求，郑州市园林局积极开展绿地开放共享试点工作，自2023年9月1日正式对外开放36个试点公园广场、廊道，共计共享绿地71处，共享面积约24万平方米．小明计划购置一批露营桌椅供游客租赁，已知购买20套甲型桌椅和40套乙型桌椅需要5200元；若购买30套甲型桌椅和10套乙型桌椅需要2800元．
（1）求每套甲型桌椅和每套乙型桌椅的价格．
（2）若小明需要购买甲型和乙型桌椅共计200套（两种型号均需购买），购买甲型桌椅的数量
不超过乙型桌椅数量的，为使购买桌椅的总费用最低，应购买甲型桌椅和乙型桌椅各多少套？购买桌椅的总费用最低为多少？
【分析】（1）设每套甲型桌椅x元，每套乙型桌椅y元，由题意列方程组解出x和y的值即可；
（2）设购买甲型桌椅m套，总费用为w元，则购乙型桌椅 （200﹣m） 套，根据购买甲型桌椅的数量不超过乙型桌椅数量的 ，列不等式，解出m的范围，进而列出函数关系式解答．
【解答】解：（1）设每套甲型桌椅x元，每套乙型桌椅y元，由题意列方程组得：
，
解得，
答：每套甲型桌椅60元，每套乙型桌椅100元；
（2）设购买甲型桌椅m套，总费用为w元，则购乙型桌椅 （200﹣m） 套，
∵购买甲型桌椅的数量不超过乙型桌椅数量的 ，
∴，
解得m≤50，
根据题意得 w＝60m+100（200﹣m）＝﹣40m+20000，
∵﹣40＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝50时，w取最小值，最小值＝﹣40×50+20000＝18000（元），
∴200﹣m＝200﹣50＝150．
答：购买购买甲型桌椅50套，乙型桌椅150套，总费用最低，最低总费用为18000元．
21．（9分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以A为圆心，AB的长为半径作圆，CE是⊙A的切线与BA的延长线交于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作BC的垂线交EC的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接BD．
①试判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由．
②若tanE＝，⊙A的半径为3，求DB的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；
（2）①结合（1）证明∠ABC+∠DBC＝90°，即可解决问题；
②利用锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，AD为所作垂线；
（2）①BD与⊙A相切，理由如下：
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC的垂线，
∴∠ABC＝∠ACB，且AD是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠DBC．
∵CD与⊙A相切于点C，
∴∠BCD+∠ACB＝90°，
即∠ABC+∠DBC＝90°，
∴BD与⊙A相切；
②在Rt△AEC中，
∵＝，AC＝3，
∴EC＝6，
根据勾股定理，得AE＝＝3，
∴，
在Rt△BDE中，
∵，
∴．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝m．
（1）若对于x1＝﹣1，x2＝﹣2，有y1＝y2，求m的值．
（2）若对于﹣1≤x1＜0，x2＝0，都有y1≥y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可；
（2）根据抛物线的对称性求得2m≤x1＜0，结合﹣1≤x1＜0得出2m≤﹣1，解得即可．
【解答】解：（1）∵x＝﹣1，x＝﹣2，有y1＝y2，抛物线的对称轴为直线x＝m．
∴m＝；
（2）∴点 （0，y2） 关于对称轴对称的点为 （2m，y2），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵y1≥y2，
∴2m≤x1＜0，
∴2m≤﹣1，
∴m≤﹣．
23．（10分）综合实践课上，王老师组织同学们通过等腰直角三角形的旋转发现问题，解决问题．如图，△ABC和△PBQ均为等腰三角形，∠ACB＝∠PQB＝90°，AC＝BC，BQ＝PQ，连接AQ，过点P作PM∥AQ，过点A作AM∥PQ，AM与PM的交点为M，连接CM，CQ．
初步探究
（1）如图1，当点P在BC上时，点Q在AB上，线段CM与线段CQ的数量关系为 CM＝CQ ；位置关系为 CM⊥CQ ．
探究迁移
（2）如图2，在（1）的基础上，将△PQB绕点B在平面内顺时针旋转，线段CM与线段CQ的数量关系和位置关系是否发生变化？请仅就图2的情况说明理由．
拓展探究
（3）在（2）的探究中，已知BC＝4，PB＝4，△PQB绕点B在平面内旋转过程中，当点C、P、Q在同一条直线上时，请直接写出AQ的长．
【分析】（1）证明四边形AMPQ为矩形，得出PQ＝AM，∠MAQ＝90°，证明△MAC≌△QBC（SAS），得出CM＝CQ，∠ACM＝∠BCQ，则可得出结论；
（2）延长PQ与AB交于点N．证出四边形PMAQ 是平行四边形，得出AM＝PQ，∠MAN＝∠PNB＝90°﹣∠ABQ，证明△CAM≌△CBQ（SAS），得出CM＝CQ，∠ACM＝∠BCQ，则可得出结论；
（3）分两种情况，当点P在线段CQ上时，当点P在CQ延长线上时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∵PM∥AQ，AM∥PQ，
∴四边形AMPQ为平行四边形，
∵∠PQB＝∠PQA＝90°，
∴四边形AMPQ为矩形，
∴PQ＝AM，∠MAQ＝90°，
∵PQ＝QB，∠PQB＝90°，
∴∠B＝45°，AM＝BQ，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∴∠MAC＝∠B＝45°，
∴△MAC≌△QBC（SAS），
∴CM＝CQ，∠ACM＝∠BCQ，
∴∠MCQ＝∠ACM+ACQ＝∠BCQ+∠ACQ＝∠ACB＝90°，
∴CM⊥CQ，
故答案为：CM＝CQ，CM⊥CQ；
（2）不发生变化．
理由：如图1，延长PQ与AB交于点N．
∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠CBQ＝∠CBA﹣∠ABQ＝45°﹣∠ABQ．
∵△PBQ为等腰直角三角形，∠PQB＝90°，PQ＝QB，
∴∠PNB＝90°﹣∠ABQ．
∵PM∥AQ，AM∥PQ，
∴四边形PMAQ 是平行四边形，
∴AM＝PQ，∠MAN＝∠PNB＝90°﹣∠ABQ，
∴AM＝QB．
∵∠CAM＝∠MAN﹣∠CAB＝∠PNB﹣45°，
∴∠CAM＝90°﹣∠ABQ﹣45°＝45°﹣∠ABQ．
∴∠CAM＝∠CBQ．
又∵MA＝QB，AC＝BC，
∴△CAM≌△CBQ（SAS），
∴CM＝CQ，∠ACM＝∠BCQ，
∵∠ACQ+∠BCQ＝90°，
∴∠ACQ+∠ACM＝90°，
即∠MCQ＝90°，
∴CM⊥CQ，
∴线段CM与线段CQ的数量关系和位置关系不会发生变化；
（3）AQ的长为 或．
∵△PQB是等腰直角三角形，∠PQB＝90°，PB＝4，
∴，
如图2，当点P在线段CQ上时，
在Rt△CQB中，，
根据勾股定理可得，
∴，
由（2）知∠MCQ＝90°，
在Rt△MCP 中 ，
∴；
如图3，当点P在CQ延长线上时，，
同理，在Rt△MCP 中，＝，
∴，
综上所述，或．
例：化简：÷（M﹣）．
解：原式＝÷（﹣）．
…
分数/分
频数
12＜x≤14
4
10＜x≤12
9
8＜x≤10
6
6＜x≤8
1
平均分
中位数
众数
男生
10.61
a
10.5
女生
10.255
10
10、11
例：化简：÷（M﹣）．
解：原式＝÷（﹣）．
…
分数/分
频数
12＜x≤14
4
10＜x≤12
9
8＜x≤10
6
6＜x≤8
1
平均分
中位数
众数
男生
10.61
a
10.5
女生
10.255
10
10、11