2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式（学生版），共9页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【考点预测】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函数的诱导公式
【常用结论】
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【方法技巧】
1.利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
4.诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
5.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响．
二、【题型归类】
【题型一】“知一求二”问题
【典例1】已知α是第四象限角，且tan α＝－eq \f(3,4)，则sin α＝( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
【典例2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为________．
【典例3】已知cs α＝－eq \f(5,13)，则13sin α＋5tan α＝ .
【题型二】sin α，cs α的齐次式问题
【典例1】已知eq \f(tan α,tan α－1)＝－1，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)；
(2)sin2α＋sin αcs α＋2.
【典例2】已知sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
【典例3】已知tan α＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝ ；sin2α＋sin αcs α＋2＝ .
【题型三】sin α±cs α，sin αcs α之间的关系
【典例1】已知α∈(－π，0)，sin α＋cs α＝eq \f(1,5).
(1)求sin α－cs α的值；
(2)求eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)的值．
【典例2】已知tan α＝－eq \f(3,4)，则sin α(sin α－cs α)＝( )
A.eq \f(21,25) B.eq \f(25,21)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
【题型四】诱导公式
【典例1】已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
【典例2】eq \f(tanπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－α－πsin－π－α)的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【典例3】已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)等于( )
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
【题型五】基本关系式与诱导公式的综合应用
【典例1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A．eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(3\r(7),7)
C．eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(1,3)
【典例2】已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）).
①化简f(α)；
②若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值；
③若α＝－420°，求f(α)的值．
【典例3】已知tan(－2 019π＋θ)＝－2，则2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝( )
A．－2 B．eq \f(2\r(3)＋1,5)
C．eq \f(2\r(3)＋3,5) D．eq \f(3,5)
三、【培优训练】
【训练一】已知α为第二象限角，则cs αeq \r(1＋tan2α)＋sin αeq \r(1＋\f(1,tan2α))＝________.
【训练二】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是eq \f(1,25)，则sin2θ－cs2θ的值是________.
【训练三】(多选)已知f(α)＝eq \f(2sin αcs α－2,sin α＋cs α＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤α≤\f(π,2)))，则下列说法正确的是( )
A．f(α)的最小值为－eq \r(2)
B．f(α)的最小值为－1
C．f(α)的最大值为eq \r(2)－1
D．f(α)的最大值为1－eq \r(2)
【训练四】已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
【训练五】已知sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))，求sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1的取值范围．
【训练六】在△ABC中，
(1)求证：cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2 eq \f(C,2)＝1；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
求证：△ABC为钝角三角形．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 已知α∈(0，π)，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
2. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
3. lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)))的值为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
4. 若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \f(π,2)，πeq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,))，则sin(π－2α)＝( )
A．－eq \f(24,25) B．－eq \f(12,25)
C.eq \f(12,25) D.eq \f(24,25)
5. 若eq \f(1＋cs α,sin α)＝2，则cs α－3sin α＝( )
A．－3 B．3
C．－eq \f(9,5) D.eq \f(9,5)
6. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
7. 已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则tan α＋eq \f(1,tan α)＝( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．3 D．2
8. 已知α∈R，sin α＋2cs α＝eq \f(\r(10),2)，则tan 2α＝( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
【多选题】
9. 在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
10. 已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则( )
A.eq \f(π,2)<α<π
B．sin αcs α＝－eq \f(12,25)
C．cs α－sin α＝eq \f(7,5)
D．cs α－sin α＝－eq \f(7,5)
11. 已知角α满足sin α·cs α≠0，则表达式eq \f(sinα＋kπ,sin α)＋eq \f(csα＋kπ,cs α)(k∈Z)的取值可能为( )
A．－2 B．－1或1
C．2 D．－2或2或0
12. 若sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tan α＝eq \f(4,3)
B．cs α＝eq \f(3,5)
C．sin α＋cs α＝eq \f(8,5)
D．sin α－cs α＝－eq \f(1,5)
【填空题】
13. 若eq \f(sin（π－θ）＋cs（θ－2π）,sin θ＋cs（π＋θ）)＝eq \f(1,2)，则tan θ＝________.
14. 若tan α＝－2，则cs2α＋2sin 2α＝________.
15. 已知－eq \f(π,2)＜α＜0，sin α＋cs α＝eq \f(1,5)， 则eq \f(1,cs2α－sin2α)的值为________.
16. 已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
【解答题】
17. (1)已知cs α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan2π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))的值；
(2)已知sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)(018. 已知角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)．
(1)求eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))的值；
(2)若α是第二象限角，求sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π－α)cs α－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值．
19. 已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αtanα＋π,tan－α－πsin－α－π).
(1)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，α是第三象限角，求f(α)的值；
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
20. 已知－eq \f(π,2)<α<0，且函数f(α)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin α·eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,5)，求sin αcs α和sin α－cs α的值．
21. 已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).
(1)化简f(α)；
(2)若cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
22. 是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
奇变偶不变，符号看象限