2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题27简单三角恒等变换（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题27简单三角恒等变换（学生版），共7页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
【考点预测】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
【常用结论】
1.1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)，1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2).(升幂公式)
2.1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升幂公式)
3.sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).(降幂公式)
【方法技巧】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
3.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
4.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
5.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；
(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好.
6.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
二、【题型归类】
【题型一】三角函数式的化简
【典例1】eq \f(2cs 58°＋sin 28°,cs 28°)＝( )
A.－eq \r(3) B.1 C.eq \r(3) D.2
【典例2】化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
【典例3】(tan 10°－eq \r(3))·eq \f(cs 10°,sin 50°)＝________.
【题型二】给角求值
【典例1】sin 40°(tan 10°－eq \r(3))等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【典例2】cs 20°·cs 40°·cs 100°＝ .
【典例3】eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－sin 40°))的值为( )
A．1 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．2
【题型三】给值求值
【典例1】已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(10),10)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝ .
【典例2】若tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋eq \r(2)cs2α的值为 ．
【典例3】已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【题型四】给值求角
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为eq \f(2\r(7),7)，点Q的纵坐标为eq \f(3\r(3),14)，则2α－β的值为________．
【典例2】已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α【典例3】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝－eq \f(1,7)，则2α－β的值为________.
三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))时，求f(x)的值域.
【训练二】如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
【训练三】已知函数f(x)＝Acs(eq \f(x,4)＋eq \f(π,6))，x∈R，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \r(2).
(1)求A的值；
(2)设α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(4π,3)))＝－eq \f(30,17)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4β－\f(2π,3)))＝eq \f(8,5)，求cs(α＋β)的值．
【训练四】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：
①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan eq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)；④taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(17,7).
其中所有正确结论的编号是( )
A．①③ B．①③④
C．①④ D．②③④
【训练五】已知a为正整数，tan α＝1＋lg a，tan β＝lg a，且α＝β＋eq \f(π,4)，则当函数f(x)＝asin θ－eq \r(3)cs θ(θ∈[0，π])取得最大值时，θ＝( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(4π,3)
【训练六】若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( )
A.eq \f(7π,4) B.eq \f(9π,4)
C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
四、【强化测试】
【单选题】
1. 计算：eq \f(4tan\f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3)
C．eq \f(2\r(3),9) D．－eq \f(2\r(3),9)
2. 若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－eq \f(\r(3),5) B．eq \f(3\r(3),5)
C．eq \f(\r(3),19) D．eq \f(\r(3),7)
3. 若eq \f(\r(2)cs 2θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))＝eq \r(3)sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
4. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有一点A，终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，满足|OA|＝|OB|，若∠OAB＝θ，则eq \f(sin 2θ＋2sin2θ,1＋cs 2θ)＝( )
A．eq \f(1,2) B．2
C．4 D．1
5. 已知3π≤θ≤4π，且 eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \f(\r(6),2)，则θ＝( )
A．eq \f(10π,3)或eq \f(11π,3) B．eq \f(37π,12)或eq \f(47π,12)
C．eq \f(13π,4)或eq \f(15π,4) D．eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)
6. 计算：eq \f(1－cs210°,cs 80°\r(1－cs 20°))等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
7. 设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)，则( )
A．3α－β＝eq \f(π,2) B．2α－β＝eq \f(π,2)
C．3α＋β＝eq \f(π,2) D．2α＋β＝eq \f(π,2)
8. 若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( )
A．eq \f(7π,4) B．eq \f(9π,4)
C．eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D．eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
【多选题】
9. 下列各式中值为eq \f(1,2)的是( )
A.1－2cs275°
B.sin 135°cs 15°－cs 45°cs 75°
C.tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°
D.eq \f(cs 35°\r(1－sin 20°),\r(2)cs 20°)
10. 函数f(x)＝sin xcs x的单调递减区间可以是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,4)，kπ－\f(π,4)))(k∈Z)
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
11. 已知f(x)＝eq \f(1,2)(1＋cs 2x)sin2x(x∈R)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2)
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最大值为eq \f(1,4)
D．f(x)的最小正周期T＝π
12. 下列说法不正确的是( )
A．存在x∈R，使得1－cs3x＝lg2eq \f(1,10)
B．函数y＝sin 2xcs 2x的最小正周期为π
C．函数y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))
D．若角α的终边经过点(cs(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
【填空题】
13. 若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3\r(10),10)，则tan 2α＝ .
14. 已知sin α＝cs 2α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan α＝ .
15. 已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝3，则sin 2θ－2cs2θ＝ .
16. eq \f(\r(3)tan 12°－3,4cs212°－2sin 12°)＝ .
【解答题】
17. 已知函数f(x)＝2cs2x＋2eq \r(3)sin x·cs x.
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))的值；
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(11,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，求cs α的值．
18. 如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于eq \f(1,2)？
19. 已知0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，cs α＝eq \f(3,5)，cs(β＋α)＝eq \f(5,13).
(1)求sin β的值；
(2)求eq \f(sin 2α,cs2α＋cs 2α)的值.
20. 已知0<α(1)求sin 2β的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值.
21. 已知α，β为锐角，tan eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
22. 已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,2)＋sin \f(x,2)，2sin \f(x,2)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,2)－sin \f(x,2)，\r(3)cs \f(x,2)))，函数f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取得最大值时x的取值集合；
(2)若α，β为锐角，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，f(β)＝eq \f(6,5)，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值．