江西省部分地区2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份江西省部分地区2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，且，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．4
3．在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐．新能源汽车作为新能源产业中的重要支柱产业之一取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型，进行估计，其中为第年底新能源汽车的保有量，为年增长率，为饱和量，为初始值（单位：万辆）．若该省2021年底新能源汽车的保有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2031年底该省新能源汽车的保有量约为（采取四舍五入法，精确到1万辆）（参考数据：）（ ）
A．62万B．63万C．64万D．65万
4．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．12B．14C．22D．24
5．已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，四边形为正方形，平面，则三棱锥的体积为（ ）
A．12B．6C．D．
8．已知直线与轴和轴分别交于两点，且，动点满足，则当变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（ ）
A．存在点，使得B．存在点，使得
C．存在点，使得D．存在点，使得
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增D．的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为______．
13．在中，内角的对边分别是平分交于．则面积的最小值为______；若，则的面积为______．
14．已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
记为公比不为1的等比数列的前项和，．
（1）求；
（2）设，由与的公共项从小到大组成数列，求的前项和．
16．（本小题满分15分）
如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面分别为的中点，且在棱上，且满足，连接．
（1）求证：平面；
（2）设，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如下表，其中．
（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望；
②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？
18．（本小题满分17分）
已知抛物线是轴下方一点，为上不同两点，且的中点均在上．
（1）若的中点为，证明：轴；
（2）若在曲线上运动，求面积的最大值．
19．（本小题满分17分）
记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．
（1）判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；
（2）设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
高三数学参考答案、提示及评分细则
1．A 由题意得且，解得．故选A．
2．C 由知，则，解得，故．故选C．
3．C 由题意知，因为，所以，所以．故选C．
4．B 按工厂接收的女生人数分类，第一类：工厂仅接收1名女生有种分配方法；第二类：工厂接收2名女生有种分配方法．综上知不同的分配方法有种．故选．
5．A 在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，则．故选A．
6． 由，得的定义域为，，故为偶函数，而在上单调递增，故在上单调递增，则可化为解得或．故选D．
7．B 如图所示，连接交于点，连接．因为四边形为正方形，所以．因为平面平面，所以，又平面，所以平面．又，过作于，易得四边形为矩形，则，所以，，，由余弦定理得，所以，所以．所以．故选B．
8．B 由，得，故由，得，由，得，设，则，即，即点轨迹为半径为的动圆．设该动圆圆心为，则，整理得，代入中，得，即轨迹的圆心在圆上，故点与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为．故选B．
9．ACD ，又，所以，所以，即，故A正确；当，时，，故B错误；，又，所以，所以，即，故C正确；因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D正确．故选ACD．
10．ABD 对于，易得，A正确；对于，由，得以为直径的圆与椭圆有4个交点，因而存在点使得，B正确；对于C，设，由，解得，与矛盾，C错误；对于，设，因为，而，所以，所以存在点，使得，D正确．故选ABD．
11．BCD 因为
，
所以为周期函数，但最小正周期不是，故A错误；，所以的图象关于直线对称，故B正确；因为，所以，当时，，因为且，则，故，此时，所以在上单调递增，故C正确；由于为周期函数，且是的一个周期，只需求出在上的值域，即为在上的值域，当时，，因为且，则，故，此时，所以在上单调递减，所以当时，，又因为，所以，因此的值域为，故D正确．故选BCD．
12． 因为，所以，则在上的投影向量为．
13． ，即，所以，所以，所以（当且仅当时，等号成立），所以；因为，即，又，所以，即，因为，解得，因此．
14． 由双曲线的定义得：，所以，所以，因为，①当即时，，当且仅当时等号成立，所以此时，即，不符合题意；②当即时，，当且仅当时等号成立，所以此时，解得，符合题意．
15．解：（1）设的公比为，因为，所以，
所以，解得．
又，解得．
故．
（2）因为，
则是首项为0，公差为2的等差数列，
又是首项为，公比为的等比数列，所以是首项为2，公比为4的等比数列，
所以．
16．（1）证明：连接，如图所示．在中，因为分别为的中点，，
所以为的重心，所以，
又，所以，
又平面平面，所以平面．
（2）解：连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，所以平面，
又平面，所以．
因为为等边三角形，为的中点，所以．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，
所以．
设平面的法向量，
则令，解得，
所以平面的一个法向量，
．
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17．解：（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为，按等级用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为（件）
记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，则．
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，
二级品的概率为，三级品的概率为，
由题意，的所有可能的取值为，
所以，
，
，
，
所以，或者；
②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：
；
乙型号减排器的利润率的平均值：
；
，又，
则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大．
18．（1）证明：设，则，
所以的中点为，代入的方程，得，
同理，
所以是方程的两根，由题意，，所以判别式，
所以，所以，
所以直线的方程为，所以轴．
（2）解：由题意知直线的斜率一定存在，则，
所以其方程为，即．
所以，
又点到直线的距离，
所以．
又点在曲线上，所以，且，
所以，所以（当且仅当时等号成立），
所以，即面积的最大值为24．
说明：根据（1）中证明的结论，计算也可以．
19．解：（1）令，
则，
当时，；当时，．
所以当时，函数在区间上具有性质，当时，函数在区间上不具有性质．
（2）因为，所以，
因为在处取得极值，且为奇函数，
所以在处也取得极值，
所以解得
所以，
当时，令，解得；令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，满足在处取得极值，
所以，
当时，恒成立，
所以存在实数，使得在区间上具有性质的取值范围是．
（3）因为，所以，
令，则，
令，则，
当时，在区间上单调递增，
又因为，
所以存在，使，
因为当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以当时，的最小值为，
由，有，
所以，
因为，所以，
又因为恒成立，所以，
因为且，所以的最大值为3．综合得分的范围
减排器等级
减排器利润率
一级品
二级品
三级品