辽宁省部分学校2024届高三下学期3月二模考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省部分学校2024届高三下学期3月二模考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．某体育老师记录了班上12名同学1分钟内的跳绳次数,得到如下数据：88,114,94,96,101,98,89,99,98,100,102,116,则这组数据的第80百分位数是( )
A.100B. 101C. 101.5D. 102
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．展开式中的系数为( )
A.15B.20C.75D.100
4．已知圆与圆关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.B.
C.D.
5．已知A,B,C是表面积为的球O的球面上的三个点,且,,则三棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
6．已知双曲线的左焦点为F,渐近线方程为,焦距为8,点A的坐标为,点P为C的右支上的一点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则的值为( )
A.-2B.-3C.3D.2
8．若,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题为真命题的有( )
A.若,,则
B. 若,,则
C.若,,则
D.若m,n为异面直线,,, ,,则
10．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数在区间上单调递减
C.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象
D.若,则
11．已知抛物线的焦点为F,过F的直线交E于A,B两点,点P满足,其中O为坐标原点,直线交E于另一点C,直线交E于另一点D,其中,,记,的面积分别为,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．若复数,则______________．
13．已知函数的定义域为R,满足,且当时,,则的值为___________．
14．如图,在矩形中,,,点E,F分别在线段,上,且,则的最小值为__________．
四、解答题
15．已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求a的值;
（2）求的单调区间和极值.
16．如图,在直三棱柱中,,,,点D是棱上的一点,且,点E是棱的中点．
（1）求证：平面平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生,报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程,其中前4项流程选拔均通过,则被确认为有效招飞申请,然后参加高考,由招飞院校择优录取．据统计,每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为,,,1．假设学生能否通过这5项流程相互独立,现有某校高三学生A,B,C这三人报名民航招飞．
（1）求A,B,C这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率;
（2）根据A,B,C这三人的平时学习成绩,预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为,,设随机变量X为A,B,C这三人中能被招飞院校录取的人数,求X的分布列和数学期望．
18．如图,已知椭圆的左顶点为,离心率为,M,N是直线上的两点,且,其中O为坐标原点,直线AM与E交于另外一点B,直线与E交于另外一点C．
（1）记直线,的斜率分别为,,求的值;
（2）求点O到直线的距离的最大值．
19．如果数列,,其中,对任意正整数都有,则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
（1）若,求,,的值;
（2）若数列是等差数列,且公差为,求证：数列是等差数列;
（3）若数列满足,且,记数列,的前n项和分别为,试判断是否存在正整数n,使得？若存在,请求出正整数n的最小值;若不存在,请说明理由．（参考数据：）
参考答案
1．答案：D
解析：先将数据由小到大排序:88,89,94,96,98,98,99,100,101,102,114,116,
又,故这组数据的第80百分位数是第10个数据102.
故选：D.
2．答案：B
解析：,,
,
所以,
故选：B.
3．答案：A
解析：展开式中：
若提供常数项3,则提供含有的项,可得展开式中的系数：
若提供项,则提供含有的项,可得展开式中的系数：
由通项公式可得．
可知时,可得展开式中的系数为．
可知时,可得展开式中的系数为．
展开式中的系数为：．
故选：A．
4．答案：C
解析：圆,圆心,半径,
,圆心,半径,
由题意知,l是圆和圆圆心连线的垂直平分线,
,,的中点,
圆心连线的斜率为,则直线l的斜率为2,
故的方程：,即,故C正确．
故选：C．
5．答案：D
解析：设球O的半径为R,因为球O的表面积为,解得.
在中,由余弦定理可得,
所以的外接圆半径为,所以,
设的外接圆的圆心为G,则平面,
则球心O到平面的距离为,则,
所以三棱锥的体积为.
故选：D.
6．答案：C
解析：如图所示
由题意知,解得,,
记C的右焦点为,即,
由双曲线的定义,得,即
所以,
当且仅当点P在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为,
由正弦定理得,即,
由余弦定理得,
化简得,即,
因为,当且仅当时等号成立,
又,故,因为,故,则,
由,则,
整理得,故
故选：A.
8．答案：B
解析：令,则,
令,则在区间上恒成立,
即在区间上单调递减,又,
而,所以,
即在区间上单调递增,所以,
得到,即,所以,
令,则,当时,,
即在区间上单调递增,
所以,得到,即,所以,
综上所述,,
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于A,若,,,是两个不同的平面,则可得,即A正确;
对于B,若,,,当m,n都平行于两平面的交线时,,可知B错误;
对于C,若,,则可能会,即C错误;
对于D,若,,,又m,n为异面直线,所以,即D正确.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：,
对于A,的周期为,A正确,
对于B,当,则,故B错误,
对于C,将函数的图象向右平移个单位长度,得到,故C正确,
对于D,,则,
故,
故,D正确,
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：由题意知,.
设,,,,显然.
那么由经过点F,有,
也就是,即,
也就是,也就是,
同时,经过点P,所以,
也就是,也就是,
也就是,也就是,
同理,,
综上,我们有,,,,,,,,.
故,,
所以,,,.
这就得到：,所以,A错误;
,所以,B正确;
由于,故,同理,这就说明,且相似比为.
所以,,得C,D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：,
,
故答案为：.
13．答案：
解析：函数的定义域为R,满足,
且当,时,,
,
,
,
,
,
．
故答案为：．
14．答案：
解析：设,则,
故,
故
,
当,时,,即时,
此时取最小值.
故答案为：．
15．答案：（1）
（2）单调递减区间为和,单调递增区间为,的极大值为,极小值为.
解析：（1）因为,所以,
则,因为函数在点处的切线与直线垂直,
故,解得;
（2）因为,所以,
令,解得或,令得或,令得,
列表如下：
故的单调递减区间为和,单调递增区间为,
的极大值为,极小值为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为直三棱柱中,,,故,所以,,两两垂直,
分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,点E是棱的中点
所以,,
所以,,,,,,
所以,,,
设平面法向量为,则,
令,则,,所以平面法向量．
设平面法向量为,则,
令,则,,所以平面的法向量．
由于,故,
因此平面平面;
（2）由（1）知平面的法向量．
设直线与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为,,,1且能否通过相互独立,
所以每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为,
故A,B,C这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率.
（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为,且预估A,B,C能被招飞院校录取的概率分别为,,
所以A能被招飞院校录取的概率为,
B能被招飞院校录取的概率为,
C能被招飞院校录取的概率为,
由题知,X的可能取值为0,1,2,3,
所以,
,
,
,
所以X的分布列为
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,,所以,
又,所以,
又,,
所以
（2）由题意可知,解得,,
所以椭圆E的方程为
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,
由,消去y,得,
则,
所以,,
由（1）知,所以,
整理得,
所以,整理得,
即,解得,或
当时,直线的方程为,过定点,不符合题意,舍去;
当,直线的方程为,过定点
当直线的斜率不存在时,易得,,
所以直线的方程为,
由,消去y,得,解得,或,
所以,同理得,
此时直线的方程是,过定点
综上,直线过定点
又,
所以点O到直线的距离的最大值为.
19．答案：（1）,,
（2）证明见解析
（3）存在,17
解析：（1）由题：令,则,即,故,
得,又,,同理可得,,.
（2）由题意,
故,,
从而,即,
因为,,所以,即,故数列是等差数列.
（3）因为,则,解得,
又,故是以为首项,公比为的等比数列,
则,即,
当n为奇数时,,易知单调递减,
故,得,进一步有;
当n为偶数时,,易知单调递增,
故,即,得,进一步有;
综上,,
易知,
当n为偶数时,;由,得,即,无解;
当n为奇数时,
由,得即,
故,所以存在正整数n,使得,正整数n的最小值为17.
x
-1
3
0
+
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
X
P