数学必修 第二册8.2 立体图形的直观图精品学案设计

这是一份数学必修 第二册8.2 立体图形的直观图精品学案设计，文件包含第02讲立体图形的直观图教师版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册docx、第02讲立体图形的直观图学生版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册docx等2份学案配套教学资源，其中学案共63页， 欢迎下载使用。

目标导航
知识精讲
知识点
直观图的概念
一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形，这种用来表示空间
图形的平面图形叫做空间图形的直观图．
水平放置的平面图形的直观图
1．斜二测画法及其规则
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图．斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°．
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点．
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图．
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为坐标轴．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为坐标轴；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为坐标原点．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
空间几何体的直观图
1．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°．
（2）画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．
（3）已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
（5）画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
2．画空间几何体的直观图的原则
（1）坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．
（2）要先画出底面的直观图，然后画出其余各面．
（3）与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变.
【微点拨】
常见几何体的三视图
【即学即练1】关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（ ）
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D．斜二测坐标系取的角可能是
【即学即练2】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
【即学即练3】用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ）
①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；
③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形
A．1B．2C．3D．4
【即学即练4】一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练5】已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为___________．
【即学即练6】1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形
能力拓展
考法01
水平放置的平面图形的直观图的画法
画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
【典例1】长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )
A．①②B．①②③
C．②⑤D．③④⑤
【典例2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（1，3），B（3，1），C（4，6），D（2，5）．试画出四边形ABCD的直观图．
【典例3】用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图.
考法02
空间几何体的直观图的画法
画空间几何体的直观图的思路是转化为画平面图形的直观图，在原几何体上建立空间直角坐标系O−xyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与x′轴垂直．
【典例4】若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）
A．平行于轴且大小为B．平行于轴且大小为
C．与轴成且大小为D．与轴成且大小为
【典例5】下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（ ）
A．B．C．D．
【典例6】已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【典例7】选择日常生活中的一个空间图形，画出它的直观图.
【典例8】已知圆柱的底面半径和高分别为2cm，3cm，画出该圆柱的直观图.
【典例9】画出底面半径为1cm、高为3cm的圆锥的直观图.
考法03
直观图与原几何体之间的关系
平面图形的直观图与原图形的关系：（1）直观图是由原图形通过斜二测画法得到的．（2）在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．（3）在原图形中互相平行的直线在直观图中一定平行，在直观图中互相平行的直线在原图形中也一定平行．（4）原图形中在同一条直线上的点，在直观图中也在同一条直线上．
【典例10】如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（ ）
A．B．C．D．
【典例11】如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，为的中点，且轴，轴，那么在原平面图形中（ ）
A．与相等 B．的长度大于的长度
C．的长度大于的长度 D．的长度大于的长度
【典例12】给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（ ）
A．水平放置的角的直观图一定是角B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等D．两条平行线段在直观图中仍是平行线段
【典例13】如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．
考法04
直观图的面积与原图面积之间的关系
斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度保持不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减少为原来的一半，同时要倾斜45°，因此直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图中相应点距x轴距离的倍．
【典例14】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【典例15】用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 （ ）
A．B．C．D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．若一个平面图形的直观图是边长为2的正方形，则该平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
3. 下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
4. 若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
5. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（ ）
A．的长度大于的长度B．的长度等于的长度
C．的面积为1D．的面积为
6. 如图，已知等腰三角形，则在如图所示的四个图中，可能是的直观图的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
7. 如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2B．C．D．
8. 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．B．8C．6D．
9. 一个菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（ ）.
A．B．C．D．
10. 如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知，且的面积为16，过点作轴于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
11. 如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
12. 如图，边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体是（ ）
A．一个圆柱
B．一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C．一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体
D．两个同底的圆锥的组合体
13. 已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则原平面图形中最大边长为（ ）
A．2B．C．3D．
14. 把四边形按斜二测画法得到平行四边形(如图所示)，其中，，则四边形一定是一个（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形
15. 已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为，，，四棱锥的高为.如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
题组B 能力提升练
1. （多选题）水平放置的的直观图如图所示,其中,,那么原是一个（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．三边互不相等的三角形D．面积为的三角形
2. 如图所示，表示水平放置的的斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边AB上的高为______．
3. 如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；
4. 在用斜二测画法画水平放置的时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________．
5. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．
6. 如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）①；②；③；④.
7. 已知水平放置的的直观图（斜二测画法）是边长为的正三角形，则原的面积为________.
8. 已知等腰梯形的底角为，腰长和上底长均为1，则其水平放置的直观图的面积为（下底在x轴上）________．
9. 已知水平放置的△ABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC的形状为__________三角形．
C 培优拔尖练
1. 用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
2. 用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
3. 画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.
4. 画出上、下底面边长分别为3cm和5cm，高为4cm的正四棱台的直观图.
5. 如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？
6. 用斜二测画法画出各棱长都为5的正三棱锥的直观图.
7. 如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形．
8.如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
9. 如图，四边形是一个梯形， ，三角形为等腰直角三角形， 为的中点
（1）画出梯形水平放置的直观图
（2）求这个直观图的面积.
10. 如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．
（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
11. 画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.
12.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
课程标准
课标解读
了解中心投影与平行投影及空间几何
的三视图，掌握立体图形的直观图的概念，能识别立体图形的直观图，会画水平放置的平面图形、空间几何体的直观图.
能由平面图形、立体图形的直观图还原
几何图形及几何体.
3.掌握直观图与原图形之间的关系，面积比，会求原图形及直观图的面积及长度.
通过本节课的学习，掌握几何图形及几何体的直观图的识别与画法，会求直观图及原图形的面积及长度.
常见几何体
正视图
侧视图
俯视图
长方体
矩形
矩形
矩形
正方体
正方形
正方形
正方形
圆柱
矩形
矩形
圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆
圆台
等腰梯形
等腰梯形
两个同心的圆
球
圆
圆
圆