辽宁省普通高中2023-2024学年高一下学期开学考试（3月初月考）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份辽宁省普通高中2023-2024学年高一下学期开学考试（3月初月考）数学试题（原卷版+解析版），文件包含精品解析辽宁省普通高中2023-2024学年高一下学期开学考试3月初月考数学试题原卷版docx、精品解析辽宁省普通高中2023-2024学年高一下学期开学考试3月初月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
时间：90分钟满分：120分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】

故选A.
2. 某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
则这组数据的分位数、分位数分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将数据从小到大依次排列，而且15×60%=9，15×90%=13.5，故这组数据的60%分位数是第9、10个数的平均数，90%分位数是第14个数．
【详解】将数据从小到大依次排列如下：
85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，
而15×60%=9，15×90%=135，
故这组数据的60%分位数是，
这组数据的90%分位数是96，
故选：D．
3. 幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（ ）
A. B. －1C. 1D. －3
【答案】C
【解析】
【分析】设出幂函数的解析式，待定系数法求出，结合函数的单调性，求出最大值.
【详解】设幂函数，将代入，得：，
解得：，
故，它上单调递减，故当时，取得最大值，
.
故选：C
4. 函数的值域是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数单调性确定函数值域.
【详解】，，，，，
函数的值域为.
故选:A
【点睛】本题考查指数函数单调性与值域，考查基本分析求解能力，属基础题.
5. 设函数，则有（ ）
A. 是奇函数，B. 是奇函数，
C. 是偶函数，D. 是偶函数，
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，由解析式计算一一判定选项即可.
【详解】因为函数表达式为，定义域为，
所以，所以为偶函数；
又，所以C正确.
故选：C
6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于
A. 16B. 20C. 32D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得分别代值计算，比较即可
【详解】，
当时，，
当时，，
故选
【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．
7. 若正数a,b满足a+b=2,则 的最小值是
A. 1B. C. 9D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，所以可得，由基本不等式可得结果.
【详解】∵，∴，
又∵，，
∴
，
当且仅当，
即，时取等号,
的最小值是,故选B.
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
8. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.
【详解】因为是奇函数，又，
所以，
由得或，
而且奇函数在内是增函数，
所以或
解得或，
所以不等式的解集为或
故选：D
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标形式可求，，故可得正确的选项.
【详解】
以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，
则，则.
故，，，故，
解得，故，，，
故选： AB.
10. 设，是两个随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 表示两个事件至少有一个发生
B. 表示两个事件至少有一个发生
C. 表示两个事件均不发生
D. 表示两个事件均不发生
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据随机事件的表示方法，逐项判断即可.
【详解】因为，是两个随机事件，
所以表示两个事件至少有一个发生，故A正确；
表示两个事件恰有一个发生，故B错误；
表示两个事件均不发生，故C正确；
表示两个事件均不发生，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知，下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】解：对于A选项，，，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，，由于，无法判断与的大小关系，故C选项不正确；
对于D选项，由得，故，即，故D选项错误.
故选：AB
12. 函数的图象关于直线对称，那么（ ）
A. B.
C. 函数是偶函数D. 函数是偶函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性及图象变换一一判定选项即可.
【详解】若函数满足，则的图象关于对称，
对A，，则的图象关于对称，符合题意；
对B，，则的图象关于对称，不符合题意；
对C，函数的图象关于直线对称，的图象向左平移一个单位得到的图象，所以的对称轴为轴，
即函数为偶函数，符合题意；
对D，函数的图象关于直线对称，的图象向右平移一个单位得到的图象，
所以的对称轴为，不能判断函数为偶函数，不符合题意；
故选：AC.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 命题“，”否定是___________.
【答案】“，”
【解析】
【分析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】命题“，”的否定为
命题“，”，
故答案为：“，”，
14. 甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为___________.
【答案】0.94
【解析】
【分析】记甲的命中为事件，乙命中为事件，靶子被击中为事件，利用对立事件的概率公式计算．
【详解】记甲命中为事件，乙命中为事件，靶子被击中为事件，，相互独立，
所以．
故答案为：．
15. 已知，，若存在两个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】存在两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求出的取值范围.
【详解】画出函数的图像，如图所示

再画出直线，之后上下移动，直线与函数图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，
故答案为：.
16. 某班级在开学初进行了一次数学测试，男同学平均答对17道题，方差为11，女同学平均答对12道题，方差为16，班级男女同学人数之比为3:2，那么全班同学答对题目数的方差为______．
【答案】
【解析】
【分析】设男同学人数为，女同学人数为，计算全班同学答对题目数的平均数，再根据总体方差公式，计算总体方差即可.
【详解】依题意，设男同学人数为，女同学人数为，
则全班同学答对题目数的平均数为：，
所以全班同学答对题目数的方差为：.
故答案为：.
四、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分）
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）利用换底公式和对数的运算性质求解即可；
（2）利用换底公式的逆应用，结合对数运算的相关公式求解即可.
【小问1详解】
由换底公式可得，；
【小问2详解】
原式
.
18. 甲､乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为和求：
（1）两人都译出的概率；
（2）两人中至少一人译出的概率；
（3）至多有一人译出的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）由相互独立事件同时发生的公式求解；
（2）分甲译出，乙未译出；乙译出，甲未译出，甲乙都译出三个互斥事件求解；
（3）利用两人都译出的对立事件求解.
【详解】甲､乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为和.
两人都译出的概率为：.
两人中至少一人译出的概率为：
.
至多有一人译出的概率：
.
19. 如图所示，在中，点 是的中点，点是靠近点 将分成的一个三等分点，和交于点，设、.

（1）用、表示向量、；
（2）若，求值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解；
（2）由、、三点共线，得到，列出方程，得出方程组，即可求解.
【小问1详解】
解：因为点是的中点，可得，所以，
又点是靠近点将分成的一个三等分点，所以，
所以.
【小问2详解】
解：因为、、三点共线，所以存在实数，使得，
又因为，可得，，
所以，
因为不共线，则，解得.
20. 已知函数（且）.
（1）若，且，求函数的零点；
（2）当时，有最小值，求的值.
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】(1)利用函数零点的定义以及对数的运算求解；(2)根据复合函数的单调性讨论最值求解.
【小问1详解】
时，定义域为，
令，
即，所以，
即解得（舍）或.
所以的零点为6.
【小问2详解】
,，
令，，
则在单调递增，
若，在单调递减，
解得，
若，在单调递增，
无最小值，不满足题意，
所以.