





第03讲 复数(讲义)-2024年高考数学一轮复习讲义(新教材新高考)
展开2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”,应在老师的指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系,确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”,但更重要的是寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
第03讲 复数
目录
知识点一、复数的概念
(1)叫虚数单位,满足,当时,.
(2)形如的数叫复数,记作.
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应,叫z的实部,b叫z的虚部;Z点组成实轴;叫虚数;且,z叫纯虚数,纯虚数对应点组成虚轴(不包括原点).两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
= 2 \* GB3 ②两个复数相等(两复数对应同一点)
= 3 \* GB3 ③复数的模:复数的模,也就是向量的模,即有向线段的长度,其计算公式为,显然,.
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
(1)
(2)
其中,叫z的模;是的共轭复数.
(3).
实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则)都适用于复数.
注意:复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形,对角线表示的向量就是复数所对应的向量.对应的向量是.
2、复数的几何意义
(1)复数对应平面内的点;
(2)复数对应平面向量;
(3)复平面内实轴上的点表示实数,除原点外虚轴上的点表示虚数,各象限内的点都表示复数.
(4)复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
3、复数的三角形式
(1)复数的三角表示式
一般地,任何一个复数都可以表示成形式,其中是复数的模;是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线)为终边的角,叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式,简称三角形式.
(2)辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差的整数倍.规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作,即.复数的代数形式可以转化为三角形式,三角形式也可以转化为代数形式.
(3)三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
(4)复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和,即
.
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为,把向量绕点按逆时针方向旋转角(如果,就要把绕点按顺时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍,得到向量,表示的复数就是积.
(5)复数三角形式的除法运算
两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差,即.
题型一:复数的概念
例1.(2023·河南安阳·统考三模)已知的实部与虚部互为相反数,则实数( )
A.B.C.D.
例2.(2023·浙江绍兴·统考二模)已知复数满足,其中为虚数单位,则的虚部为( )
A.B.C.D.
例3.(2023·海南海口·校联考一模)若复数为纯虚数,则实数的值为( )
A.2B.2或C.D.
例4.(多选题)(2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测)若复数,则( )
A.B.z的实部与虚部之差为3
C.D.z在复平面内对应的点位于第四象限
例5.(2023·辽宁·校联考一模)若是纯虚数,,则的实部为______.
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分,所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.
题型二:复数的运算
例6.(2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模)已知复数,则( )
A.B.1C.D.
例7.(2023·河北衡水·模拟预测)若,则( )
A.B.
C.D.
例8.(2023·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习)已知复数z满足,则( )
A.B.C.D.
例9.(2023·全国·模拟预测)已知复数满足,则( )
A.B.C.D.
【解题方法总结】
设,则
(1)
(2)
(3)
题型三:复数的几何意义
例10.(2023·河南郑州·三模)复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
例11.(2023·全国·高三专题练习)已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称,则( )
A.B.C.D.
例12.(2023·湖北·校联考三模)如图,正方形OABC中,点A对应的复数是,则顶点B对应的复数是( )
A.B.C.D.
例13.(2023·全国·校联考模拟预测)在复平面内,设复数,对应的点分别为,,则( )
A.2B.C.D.1
【解题方法总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点,其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标,这是研究复数几何意义的最重要的出发点.
题型四:复数的相等与共轭复数
例14.(2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)已知(是虚数单位)是关于的方程的一个根,则( )
A.9B.1C.D.
例15.(2023·贵州贵阳·统考模拟预测)已知,,,若,则( )
A.,B.,
C.,D.,
例16.(2023·四川宜宾·统考三模)已知复数,且,其中a是实数,则( )
A.B.C.D.
例17.(2023·湖北·模拟预测)已知复数满足,则的共轭复数的虚部为( )
A.2B.C.4D.
例18.(2023·四川宜宾·统考三模)已知复数,且,其中a,b是实数,则( )
A.,B.,
C.,D.,
【解题方法总结】
复数相等:
共轭复数:.
题型五:复数的模
例19.(2023·河南·统考二模)若,则_______.
例20.(2023·上海浦东新·统考三模)已知复数满足,则__________.
例21.(2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测)设复数,满足,,则=__________.
【解题方法总结】
题型六:复数的三角形式
例22.(2023·四川成都·成都七中统考模拟预测)1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式(x∈R,i为虚数单位),这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,下面四个结果中不成立的是( )
A.B.
C.D.
例23.(2023·全国·高三专题练习)任何一个复数都可以表示成的形式,通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:,我们称这个结论为棣莫弗定理.则( )
A.1B.C.D.i
例24.(2023·河南·统考模拟预测)欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起,充分体现了数学的和谐美.若复数z满足,则的虚部为( )
A.B.C.1D.
例25.(2023·全国·高三专题练习)棣莫弗公式(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解题方法总结】
一般地,任何一个复数都可以表示成形式,其中是复数的模;是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线)为终边的角,叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式,简称三角形式.
题型七:与复数有关的最值问题
例26.(2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测)若,则的最大值与最小值的和为___________.
例27.(2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测)在复平面内,已知复数满足,为虚数单位,则的最大值为____________.
例28.(2023·全国·模拟预测)设是复数且,则的最小值为( )
A.1B.C.D.
例29.(2023·重庆·统考二模)复平面内复数满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
例30.(2023·全国·校联考三模)已知复数满足,则的最大值为( )
A.B.C.4D.
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化
1.(2022·全国·统考高考真题)( )
A.B.C.D.
2.(2022·全国·统考高考真题)设,其中为实数,则( )
A.B.C.D.
3.(2022·全国·统考高考真题)若.则( )
A.B.C.D.
考点要求
考题统计
考情分析
(1)通过方程的解,认识复数.
(2)理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
(3)掌握复数的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
2022年I卷II卷第2题,5分
2021年II卷第1题,5分
2021年I卷第2题,5分
高考对集合的考查相对稳定,每年必考题型,考查内容、频率、题型、难度均变化不大.复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点,难度较低,预测高考在此处仍以简单题为主.
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