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第03讲 复数（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考）
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这是一份第03讲 复数（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考），文件包含第03讲复数讲义原卷版docx、第03讲复数讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第03讲 复数
目录
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
题型一：复数的概念
例1．（2023·河南安阳·统考三模）已知的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·海南海口·校联考一模）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2B．2或C．D．
例4．（多选题）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数，则（ ）
A．B．z的实部与虚部之差为3
C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限
例5．（2023·辽宁·校联考一模）若是纯虚数，，则的实部为______.
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
例6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数，则（ ）
A．B．1C．D．
例7．（2023·河北衡水·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2023·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
题型三：复数的几何意义
例10．（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（ ）
A．2B．C．D．1
【解题方法总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
例14．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．9B．1C．D．
例15．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例16．（2023·四川宜宾·统考三模）已知复数，且，其中a是实数，则（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·湖北·模拟预测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2B．C．4D．
例18．（2023·四川宜宾·统考三模）已知复数，且，其中a，b是实数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解题方法总结】
复数相等：
共轭复数：．
题型五：复数的模
例19．（2023·河南·统考二模）若，则_______．
例20．（2023·上海浦东新·统考三模）已知复数满足，则__________．
例21．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）设复数，满足，，则=__________.
【解题方法总结】
题型六：复数的三角形式
例22．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A．1B．C．D．i
例24．（2023·河南·统考模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
例25．（2023·全国·高三专题练习）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题方法总结】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
题型七：与复数有关的最值问题
例26．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若，则的最大值与最小值的和为___________.
例27．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.
例28．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
例29．（2023·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例30．（2023·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化
1．（2022·全国·统考高考真题）（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）若．则（ ）
A．B．C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）通过方程的解，认识复数．
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
2022年I卷II卷第2题，5分
2021年II卷第1题，5分
2021年I卷第2题，5分
高考对集合的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第03讲 复数
目录
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
题型一：复数的概念
例1．（2023·河南安阳·统考三模）已知的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·海南海口·校联考一模）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2B．2或C．D．
例4．（多选题）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数，则（ ）
A．B．z的实部与虚部之差为3
C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限
例5．（2023·辽宁·校联考一模）若是纯虚数，，则的实部为______.
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
例6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数，则（ ）
A．B．1C．D．
例7．（2023·河北衡水·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2023·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
题型三：复数的几何意义
例10．（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（ ）
A．2B．C．D．1
【解题方法总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
例14．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．9B．1C．D．
例15．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例16．（2023·四川宜宾·统考三模）已知复数，且，其中a是实数，则（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·湖北·模拟预测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2B．C．4D．
例18．（2023·四川宜宾·统考三模）已知复数，且，其中a，b是实数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解题方法总结】
复数相等：
共轭复数：．
题型五：复数的模
例19．（2023·河南·统考二模）若，则_______．
例20．（2023·上海浦东新·统考三模）已知复数满足，则__________．
例21．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）设复数，满足，，则=__________.
【解题方法总结】
题型六：复数的三角形式
例22．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A．1B．C．D．i
例24．（2023·河南·统考模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
例25．（2023·全国·高三专题练习）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题方法总结】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
题型七：与复数有关的最值问题
例26．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若，则的最大值与最小值的和为___________.
例27．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.
例28．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
例29．（2023·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例30．（2023·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化
1．（2022·全国·统考高考真题）（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）若．则（ ）
A．B．C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）通过方程的解，认识复数．
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
2022年I卷II卷第2题，5分
2021年II卷第1题，5分
2021年I卷第2题，5分
高考对集合的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．
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