专题7.6 复数全章八大压轴题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册）

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专题7.6 复数全章八大压轴题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1根据复数的相等条件求参数1．（2023·高一单元测试）已知复数1+xii=2−yi，x，y∈R，则x−y=（    ）A．3 B．1 C．−1 D．−3【解题思路】利用复数相等的充要条件，求出x、y，进而求出x−y.【解答过程】∵1+xii=2−yi，∴−x+i=2−yi，∴x=−2y=−1，∴x−y=−1.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b∈R，复数z1=−1+ai，z2=b−3i（i为虚数单位），若z1=z2，则a+b=（    ）A．1 B．2 C．－2 D．－4【解题思路】根据复数相等的定义列方程求解即可．【解答过程】解：由z2=b−3i得z2=b+3i，∵z1=z2，∴−1=ba=3，解得a=3b=−1，∴a+b=2．故选：B．3．（2023·江苏·高一专题练习）分别求满足下列条件的实数x，y的值．(1)2x−1+(y+1)i=x−y+(−x−y)i ；(2)x2−x−6x+1+(x2−2x−3)i=0.【解题思路】（1）（2）利用复数相等或复数等于0直接列式计算作答.【解答过程】（1）因x，y∈R，2x−1+(y+1)i=x−y+(−x−y)i，则有2x−1=x−yy+1=−x−y，解得x=3y=−2，所以x=3y=−2.（2）因x∈R，x2−x−6x+1+(x2−2x−3)i=0，于是得x2−x−6x+1=0x2−2x−3=0，解得x=3，所以x=3.4．（2023·全国·高一随堂练习）求满足下列条件的实数x，y的值：(1)12x−y+4x+23yi=5+14i；(2)x+y−xyi=−2+15i；(3)x2−x−2+2y2+5y+2i=0.【解题思路】（1）（2）根据实部与虚部对应关系解方程即可；（3）令实部为0且虚部为0解方程即可.【解答过程】（1）由12x−y+4x+23yi=5+14i可得x2−y=54x+2y3=14，解得x=4y=−3；（2）由x+y−xyi=−2+15i可得x+y=−2−xy=15，解得x=−5y=3或x=3y=−5（3）由x2−x−2+2y2+5y+2i=0可得x2−x−2=02y2+5y+2=0，解得x=2或−1，y=−12或−2，故答案为：x=2y=−12或x=2y=−2或x=−1y=−12或x=−1y=−2.题型2复数的模的几何意义1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知z1=2−2i，|z2−i|=1，则z2−z1的最大值为（    ）A．23 B．22 C．5+1 D．13+1【解题思路】设z2=x+yi x,y∈R，利用|z2−i|=1得出x2+y−12=1，表示以0,1为圆心，半径为1的圆，z2−z1=x−2+y+2i=x−22+y+22，表示x,y与2,−2之间的距离，求z2−z1的最大值，即求2,−2与x2+y−12=1圆上任意一点的距离最大值.【解答过程】设z2=x+yi x,y∈R，则|z2−i|=x+y−1i=x2+y−12=1，所以x2+y−12=1，表示以0,1为圆心，半径为1的圆，则z2−z1=x−2+y+2i=x−22+y+22，表示x,y与2,−2之间的距离，即2,−2与x2+y−12=1圆上任意一点的距离，因22+−2−12>1，所以2,−2在x2+y−12=1圆外，所以z2−z1max=2−02+−2−12+1=13+1.故选：D.2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设z∈C，则在复平面内3≤z≤5所表示的区域的面积是（    ）A．5π B．9π C．16π D．25π【解题思路】在复平面内作出满足3≤z≤5的复数z对应的点的轨迹，可知所求区域为圆环，确定两圆的半径，结合圆的面积公式可求得结果.【解答过程】满足条件z=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，满足条件z=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为5的圆，则在复平面内3≤z≤5所表示的区域为圆环，如下图中阴影部分区域所示：所以，在复平面内3≤z≤5所表示的区域的面积是π×52−32=16π.故选：C.3．（2023·全国·高一课堂例题）设z∈Z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)z=2；(2)2