初中数学5.1 二次函数同步达标检测题

这是一份初中数学5.1 二次函数同步达标检测题，共26页。
注意事项：
本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·江苏南通九年级校考）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏徐州统考）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏无锡·九年级）根据下列表格的对应值：
由此可判断方程必有一个解满足（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏泰州校考二模）已知抛物线（b为常数）的顶点不在抛物线（c为常数）上，则c应满足（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·江苏南通九年级）如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，当函数值时，自变量的取值范围是（ ）

A．B．C．D．或
6．（2023·江苏淮安·校考三模）关于的方程的两根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（ ）
A．B．C．2D．3
7．（2023·江苏南京校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（ ）

A．B．C．D．
8．（2023秋·江苏苏州·九年级阶段练习）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点．

A．①②B．①③C．②③④D．①③④
9．（2023·江苏泰州·统考二模）已知点，，均在抛物线上，其中．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
10．（2023·江苏南通·统考一模）二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，，则a的值为（ ）
A．4B．2C．D．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023·江苏镇江·统考中考真题）二次函数的最大值为．
12．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）点，，在抛物线上，则，，的大小关系是．（用＜连接）
13．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）二次函数的顶点在y轴上，则．
14．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为．
15．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当m时，矩形土地的面积最大．

16．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于两点，且满足：．当时，该函数的最大值与满足的关系式是．
17．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是．
18．（2023·江苏无锡·无锡市校考一模）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是．
三、解答题（10小题，共76分）
19．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线y= x2+(m-1)x+m-3（m为常数），求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点．
20．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）。
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为_______；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为_______．
21．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过A（0,2），B（1,-3）两点．
（1）求b和c的值；
（2）试判断点P（-1,4）是否在此函数图像上？
22．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
（1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
（2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
23．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax-5交x轴于点A，B，已知点A的坐标为（-1,0）．

（1）求点B的坐标和抛物线的表达式．
（2）将抛物线顶点向上平移m个单位得点P，过点P作AB的平行线交抛物线于点C，D．若，求m的值．
24．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）已知二次函数y1=x2-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求点A、B、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像；
（2）设一次函数y2=kx+b(k≠0)的图像经过B、C两点，请直接写出满足y1＜y2的x的取值范围．
25．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现：
①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示：

请结合上述信息解决下列问题：
（1）经计算得，当0＜t≤20时，y关于t的函数关系式为；则当20＜t≤40时，y关于t的函数关系式为_____．观察表格，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的刻画m与t的关系，请写出m关于t的函数关系式为_____．
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
26．（2023秋·江苏徐州·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2+bx+4交x轴A于A（-4,0）、B（2,0）两点，交y轴于点C，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段AC上方的抛物线上一动点，过P作PF⊥AC，当PF最大时，求出此时P点的坐标以及PF的最大值．
27．（2023·江苏常州·统考一模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞0时，抛物线最高点的纵坐标值为4，当x≤0时，抛物线最高点的纵坐标值为3．
（1）求a、b的关系式（用含b的代数式表示a）；
（2）若OA=OB，求该抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AB，M为抛物线对称轴上一点，过点M作直线CD∥AB，交抛物线于C、D两点，若线段CD满足3≤CD≤6，求M点纵坐标的取值范围．
28．（2023秋·江苏苏州·九年级阶段练习）已知如图，抛物线y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接OE，CD．
（1）填空：∠OBC=_______°；
（2）设h=OC-DE，请写出h关于m的函数表达式，并求出h的最大值；
（3）将△OCE沿点C到点D的方向平移，使得点C与点D重合．设点E的对应点为点E’’，问点E’’能否落在二次函数y=-x2+2mx+2m+1的图象上？若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由．1
1.1
1.2
0.84
时间t（天）
1
3
5
7
9
…
日销售量m（件）
94
90
86
82
78
…
参考答案
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．B
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是二次函数，故本选项符合题意；
C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数．
2．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
3．C
【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足．
【详解】解：时，，
时，，
∴时，有一个根满足，
即方程必有一个解x满足．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．D
【分析】先求出抛物线（b为常数）的顶点为，求出顶点在上时，c的取值范围，即可得到顶点不在抛物线（c为常数）上时c的取值范围．
【详解】解：由知，抛物线（b为常数）的顶点为，
当顶点在上时，则，则，
∴抛物线（b为常数）的顶点不在抛物线（c为常数）上时，则c应满足．
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点和准确计算是解题的关键．
5．D
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于和两点，函数开口向下，
∴函数值时，自变量x的取值范围是或，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，以及这些点代表的意义及函数特征．
6．C
【分析】将，代入方程，求得，的值，得到二次函数解析式，进而求得点和点的坐标，即可求得答案．
【详解】解：将，代入方程，得
解得
二次函数解析式为．
点坐标为．
将代入二次函数，得
，
解得，．
点坐标为．
的长为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，以及二次函数的图象和性质，牢记一元二次方程及二次函数的有关知识是解题的关键．
7．C
【分析】设点的坐标为，则，，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出当最小时，的值，据此即可求解．
【详解】解：设点的坐标为，
，，
，
，
∴当时，最短，此时点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，二次函数的性质，表示出的长度是解题的关键．
8．B
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故②错误；根据对称轴求出，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④错误．
【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为，
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴，故②错误；
∵中，，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为，
∵点向上平移1个单位后的坐标为，
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
9．C
【分析】先证得点是该抛物线的顶点，根据点，均在抛物线上，，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线，然后分再分类讨论，分，，，讨论，从而可以求得的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：由得，
直线是抛物线的对称轴，且此时，且，
为抛物线的顶点，且抛物线开口向上，
当时，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，，不符合题意，
当时，，关于直线对称，此时，不符合题意，故；
当时，点，重合，不符合题意，故；
当时，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，，符合题意，
当时，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，，符合题意，
综上所述：且．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是分类讨论的思想方法．
10．D
【分析】作轴，交x轴于点D，设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，根据勾股定理进行线段之间的转换，列出方程，再根据韦达定理，即可解答．
【详解】
解：如图，作轴，
设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，
轴，
，
，
，
，
，
整理得，，
二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，
是的解，
，
，
，
∵点在抛物线上，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的关系式与系数的关系，结合题意绘图解答是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．9
【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值．
【详解】解：∵二次函数的表达式为，
∴当时，二次函数取得最大值，为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
13．
【分析】根据二次函数的顶点坐标公式结合y轴上点的横坐标为0求解即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点在y轴上，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和y轴上点的坐标特点，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键．
14．
【分析】将抛物线整理成的形式，可得当时，无论m取何值，函数图象恒过定点，据此求解．
【详解】解：∵，
∴当时，无论m取何值，函数图象恒过定点，
此时，，
即定点A的坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键．
15．50
【分析】设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设，则，
所以四边形的面积为，
∵，开口向下，
∴当时，S取得最大值为3750平方米，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了二次函数函数的实际应用，涉及到二次函数的性质，属于基础题．
16．
【分析】首先确定该函数的对称轴为直线为，结合可得，故当时，该函数的最大值为其顶点的纵坐标，即可获得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴该函数的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴当时，该函数的最大值是时．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据确定二次函数对称轴的位置是解题的关键．
17．
【分析】由完美点的概念可得：，即，由只有一个完美点可得判别式，得方程根为2，从而求得，所以得出函数解析式，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围．
【详解】由题意可得，，即
图象上有且只有一个完美点，
，则，
方程根为
函数
该二次函数顶点坐标为，与y轴交点为，
根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点，
在左侧，随的增大而增大;
在右侧，随的增大而减小;
且当时，函数的最小值为，最大值为1，
则
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
18．
【分析】根据抛物线过点，两点，得轴，且m、n是方程的两根，所以，，又根据线段AB的长不大于4，得，从而得，解得，再根据当时，的值随a的增大而增大，当时，的值最小，最小值．
【详解】解：又∵抛物线过点，两点，
∴轴，且m、n是方程的两根，
∴，，
∴，
∵线段AB的长不大于4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值随a的增大而增大，
∴当时，的值最小，最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系，根据题意求得是解题的关键．
三、解答题（10小题，共76分）
19．见解析
【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明．
【详解】证明：∵，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．
20．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4．
【分析】（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）根据图象即可得到结论；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，即二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m的取值范围．
【详解】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3，
所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，
方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，
即有两个实数根，
∴，即，
解得m≥﹣4．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
21．（1）；（2）不在
【分析】（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值；
（2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上．
【详解】（1）解：把，两点代入二次函数得
，
解得，；
（2）解：由（1）得，
把代入，得，
点在不在此函数图象上．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
22．（1）18元
（2）销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元
【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果；
（2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值．
【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：，
解得：，，
∵要尽可能让利于顾客，只能取，
∴售价应为（元），
答：每千克特产商品的售价应为18元；
（2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则
∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元．
【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键．
23．（1）点坐标为；抛物线解析式为；（2）
【分析】（1）把点坐标代入中求出得到抛物线解析式；解方程得点坐标；
（2）利用配方法得到，则抛物线的顶点坐标为，则，利用和抛物线的对称性得到点坐标为，然后把代入得，最后解关于的方程即可．
【详解】（1）把代入得，解得，
抛物线解析式为，
当时，，解得，，
点坐标为；
（2），
抛物线的顶点坐标为，
抛物线顶点向上平移个单位得点，
，
，
而点与点关于直线对称，
点坐标为，，即，
把代入得，
解得．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
24．（1），图见解析；（2）
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴有交点的计算方法，将二次函数一般式变为顶点式即可求解；
（2）根据题意分别求出点的坐标，运用待定系数法可求出一次函数解析式，再与二次函数联立方程组求解，可得交点坐标，并绘图，根据图示即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，令时，则有，解得，，，
∴，
由二次函数可得顶点式为，
∴，图像如图所示：

（2）解：由（1）可知，
∵二次函数与轴交于点，∴，
∵一次函数的图像经过两点，
∴，解得，，
∴一次函数解析式为，
∴一次函数与二次函数联立方程组，
，解得，或，
∴一次函数与二次函数的交点坐标为，，
∴由题意画出直线的图像，如图所示，

∴由图像可得，当时，．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数求解析式，联立方程组求交点坐标，根据交点坐标求不等式的解集是解题的关键．
25．（1）；；（2）第14天利润最大，最大利润为578元
【分析】（1）当时，y是t的一次函数，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；通过表中数据知，m与t成一次函数关系，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；
（2）前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量，列出函数关系式，再根据函数的性质分别求出最大值，然后比较求最大值时的t的值即可．
【详解】（1）当时，y关于t的函数关系式为，
则，
解得：，
∴y关于t的函数关系式为；
通过表中数据知，m与t成一次函数关系，设,
将代入，得：
，
解得：，
∴m与t的函数关系为．
故答案为：；；
（2）前20天的日销售利润为元，后20天的日销售利润为元，
则，
∵，
∴当时，有最大值，为元；
，
∵，
∴当时，随t的增大而减小，
∴当时，最大，为513元，
∴第14天利润最大，最大利润为578元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据题意分两种情况列出函数关系式．
26．（1）抛物线的解析式为；
（2）当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过P点作轴交于于E点，直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数性质即可求得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于、两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴，交于点E，如图，

∵抛物线交y轴于点C，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由题意得：，，整理即可求解；
（2）由待定系数法即可求解；
（3）由，得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线最高点的纵坐标值为4，
∴，
∵当时，抛物线最高点的纵坐标值为3，
即抛物线与y轴交点的纵坐标为3，
∴，
整理得：；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，
，
则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：或（舍去），
故抛物线的表达式为：①；
（3）由点、的坐标知，直线和轴负半轴的夹角为，
，则直线和轴负半轴的夹角为，
设点，
则直线的表达式为：②，
联立①②并整理得：，
设点、的横坐标分别为：，，
则，，
则，
，则，
即，
解得：，
即点纵坐标的取值范围为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是设点的坐标，表示出有关线段的长．
28．（1）45；（2），的最大值为；（3）
【分析】（1）先求出点的坐标，得出，根据，即可得到答案；
（2）先求出顶点的坐标，然后求出直线的解析式，求出点的坐标，根据，得出，并求出的最大值即可；
（3）根据平移求出点的坐标，把点代入抛物线，得出关于的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，，
，
，
，
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为，
，
把代入得：，
点的坐标为，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：45；
（2）解：抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入，
得，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
把代入得：，
，
，
，
，
当时，有最大值，且最大值为；
（3）解：，，
点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，可以得到点，
，
根据平移可知，点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
当在抛物线上时，，
解得：或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数与轴、轴的交点及定点坐标。