适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用课时规范练24利用导数证明不等式课件新人教A版

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(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率;(2)当x>0时,求证:f(x)>1.
3.(2024·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=aex- x2-x.(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,证明:∀x∈(-2,+∞),f(x)>sin x.
h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时,函数h(x)取得极大值且为最大值,最大值h(0)=1,所以a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).
要证f(x)>sin x,只需证f(x)>1.①当x∈(0,+∞)时,令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,因此f(x)单调递增,所以f(x)>f(0)=1;②当x=0时,可得f(0)=1且sin 0=0,所以f(0)>sin 0,满足f(x)>sin x;
因此f(x)>sin x.综上可得,∀x∈(-2,+∞),都有f(x)>sin x.
4.(2024·湖南益阳模拟)已知函数f(x)= ax2-xln x.(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若a=2e,证明:f(x)即h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,因此h(x)max=h(1)=1,所以a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞).
5.(2024·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=aln x+x2,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明:f(x)≤x2+x-1;
(2)证明 当a=1时,f(x)=ln x+x2,要证明f(x)≤x2+x-1,即证ln x≤x-1,即证ln x-x+1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)= ,令g'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)在x=1处取得极大值,且极大值为最大值,所以g(x)≤g(1)=0,即ln x-x+1≤0.f(x)≤x2+x-1得证.