2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第14讲正余弦定理与解三角形小题2(原卷版+解析)

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【题型一】图形5：“扩展线”
【典例分析】
在中，是边上的一点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.在中，，，且有，则线段长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.如图，为的边上一点，，，，当取最小值时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
3.在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型二】 向量
【典例分析】
在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【变式演练】
1.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
2.在平行四边形ABCD中，，则cs∠ABD的范围是（ ）
A．B．C．D．
3.设O是的外心，满足，，若，则的面积是
A．4B．C．8D．6
【题型三】 四心1：外心
【典例分析】
在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则
A．B．C．D．
【变式演练】
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为
A．1B．C．1D．
2.在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________．
3.已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为
A．3B．C．D．
【题型四】 四心2：内心
【典例分析】
已知的内角分别为，，且的内切圆面积为，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．
【变式演练】
1..已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
3.已知内接于半径为2的，内角A，B，C的角平分线分别与相交于D，E，F三点，若，则
A．1B．2C．3D．4
【题型五】 四心3：重心
【典例分析】
在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为（ ）
A．B．C．3D．
2.设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数
A．3B．2C．D．
已知四边形的面积为2022，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为___________．
【题型六】 四心4：垂心
【典例分析】
若是垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的
A．外心B．重心C．垂心D．内心
2.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3.的垂心在其内部，，，则的取值范围是_____
【题型七】 解三角形应用题
【典例分析】
某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A．B．C．D．
2.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
3.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，为圆心，且，在上有一座观赏亭，其中，计划在圆弧上再建一座观赏亭，记，当越大时，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，（ ）
A．B．C．D．
【题型八】 超难压轴小题1
【典例分析】
在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，若，则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为1
2.已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型九】 超难压轴小题2
【典例分析】
已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，.如图，分别为两个正方形的中心（其中，，三点不共线），则当的值最大时，的面积为（ ）
A．B．C．2D．
【变式演练】
1.在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．
2.△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________.
3.在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【课后练习】
1.在中，，，点在边上，且，则的取值范围是
A．B．
C．D．

2.若，，则的最大值为
A．B．C．D．

3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0