2024高考数学二轮复习压轴题型分类专练（新高考用）-专题02函数与导数（含解析）

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（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
（2021•新高考Ⅱ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
（2023•山东济南•模拟预测）设函数f(x)=emxx+1(x>-1)，已知f(x) ≥ 1恒成立．
(1)求实数m的值；
(2)若数列{ an }满足an+1=lnf( an )，且a1=1-ln2，证明：|ean-1|elnx+csx.
（2023·海南·联考模拟预测）已知函数fx=xlnx-ax2.
(1)当a=1时，讨论函数fx的单调性；
(2)若不等式fx>aex+1-ax2-x恒成立，求实数a的取值范围.
（2023·河北·模拟预测）已知函数fx=e-aex+xa∈R.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若存在实数a，使得关于x的不等式fx≤λa恒成立，求实数λ的取值范围.
（2023·广东东莞·校联考阶段）已知函数fx对任意实数x,y恒有fx+y=fx+fy，当x>0时，fx0，fx的最小值是1+lnm，求实数m的取值范围.
（2023·天津·统考高考真题）已知函数fx=1x+12lnx+1．
(1)求曲线y=fx在x=2处切线的斜率；
(2)当x>0时，证明：fx>1；
(3)证明：560，得x>0;
令g'(x)=ex-10，fx单调递增；
所以fx的单减区间为-∞,1-ln2，单增区间为1-ln2,+∞.
（2）设函数hx=2ex-ex-elnx+1，
则h'x=2ex-e-ex，x>0，
易得h'x在0,+∞上单调递增，且h'1=0，
所以当x∈0,1，h'x0，讨论m'x与0的大小可得mx0，可得x>1；
令φ'x0，u'(a)>0，故u(a)在(2e,+∞)上单调递增，
所以u(a)min=u(2e)=-1e，所以λ≥-1e，
即实数λ的取值范围是-1e,+∞.
【8】
【解题思路】（1）令x=y=0，求得f0=0，再令y=-x，从而得f-x=-fx，从而证明求解.
（2）设x1,x2∈R且x10，
解得：m>2或me分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答即可；
（2）利用（1）中信息，按m≤e和m>e探讨，利用导数研究函数fx的最小值求解即可.
【解答过程】（1）函数fx的定义域为0,+∞，
所以f'x=me-x-xe-x+1-1x=1exx-1exx-m，
令ux=exx-m，则u'x=exx-1x2，
令u'x0时，h'x>0，则hx在0,+∞上单调递增，
当x1，
φ'x=ex-2>0，φx在1,+∞上单调递增，即φx>φ1=e-2>0，
即有v'x>0，即vx在1,+∞上单调递增，
即vx>v1=e-2>0，所以ex>x2，
当x>m>e时，ux>x2x-m=x-m>0，此时∃x2∈1,+∞，使得ux2=0，
因此x∈0,x1，f'xe时，∃x1∈0,1，使得ux1=0，∃x2∈1,+∞，使得ux2=0，
所以fx在0,x1上单调递减，在x1,1上单调递增，在1,x2上单调递减，在x2,+∞上单调递增，
其中exixi-m=0i=1,2，即xi=lnm+lnxi，所以fxmin=minfx1,fx2=1+lnm，
而fxi=mxiexi+xi-lnxi=1+lnm符合要求，所以m>e，
综上可得，实数m的取值范围为mm≥e.
【13】
【解题思路】（1）利用导数的几何意义求斜率；
（2）问题化为x>0时lnx+1>2xx+2，构造g(x)=lnx+1-2xx+2，利用导数研究单调性，即可证结论；
（3）构造h(n)=lnn!-n+12lnn+n，n∈N*，作差法研究函数单调性可得h(n)≤h(1)=1，再构造φ(x)=lnx-(x+5)(x-1)4x+2且x>0，应用导数研究其单调性得到lnx≤(x+5)(x-1)4x+2恒成立，对h(n)-h(n+1)作放缩处理，结合累加得到h(1)-h(n)0时fx=1x+12lnx+1>1，即证lnx+1>2xx+2，
令g(x)=lnx+1-2xx+2且x>0，则g'(x)=1x+1-4(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2>0，
所以g(x)在(0,+∞)上递增，则g(x)>g(0)=0，即lnx+1>2xx+2.
所以x>0时fx>1.
（3）设h(n)=lnn!-n+12lnn+n，n∈N*，
则h(n+1)-h(n)=1+(n+12)lnn-(n+12)lnn+1=1-(n+12)ln(1+1n)，
由（2）知：x=1n ∈(0,1]，则f(1n)=(n+12)ln(1+1n)>1，
所以h(n+1)-h(n)56，
令φ(x)=lnx-(x+5)(x-1)4x+2且x>0，则φ'(x)=(x-1)2(1-x)x(2x+1)2，
当0