专题07 易错题集锦07之二次根式专题-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）

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一．二次根式定义的理解。
1．若式子a+1a−2有意义，则a的取值范围为（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞﹣1
试题分析：既要使二次根式a+1有意义，即a+1≥0，又要使分式有意义，即a﹣2≠0即可．
答案详解：解：由题意得，
a+1≥0且a﹣2≠0，
即a≥﹣1且a≠2，
所以选：C．
2．如果代数式1x−2有意义，那么x的取值范围是 x＞2 ．
试题分析：根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
答案详解：解：由题意可得：x﹣2＞0，
解得：x＞2．
所以答案是：x＞2．
二．二次根式的化简。
3．化简a1−a得（ ）
A．aB．−aC．−aD．−−a
试题分析：根据二次根式的性质化简即可．
答案详解：解：原式＝a•−a−a
=−−a．
所以选：D．
4．已知|a|＝3，b2=5，且|a+b|＝a+b，那么a+b的值是（ ）
A．2或8B．2或﹣8C．﹣2或8D．﹣2或﹣8
试题分析：根据二次根式的性质与化简，立方根的意义，进行计算逐一判断即可解答．
答案详解：解：∵|a|＝3，b2=5，
∴a＝±3，b＝±5，
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b≥0，
∴当a＝3，b＝5时，a+b＝3+5＝8，
当a＝﹣3，b＝5时，a+b＝﹣3+5＝2，
综上所述：a+b的值是2或8，
所以选：A．
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|﹣a|+(a−b)2的结果是（ ）
A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．无意义
试题分析：利用绝对值的意义和二次根式的性质化简运算即可．
答案详解：解：由实数a，b在数轴上对应点的位置可得：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴﹣a＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝﹣a+（b﹣a）
＝﹣a+b﹣a
＝﹣2a+b，
所以选：A．
6．已知12＜a＜1，化简：|a−(a−1)2|＝ 2a﹣1 ．
试题分析：利用二次根式的性质和绝对值的意义化简运算即可．
答案详解：解：∵12＜a＜1，
∴a﹣1＜0，2a﹣1＞0．
原式＝|a﹣（1﹣a）|
＝|a﹣1+a|
＝|2a﹣1|
＝2a﹣1．
所以答案是：2a﹣1．
7．已知2＜a＜3，化简：a2−2a+1+(a−4)2= 3 ．
试题分析：利用二次根式的性质化简求值即可．
答案详解：解：原式=(a−1)2+(a−4)2，
∵2＜a＜3，
∴原式＝a﹣1+（4﹣a）＝3．
所以答案是：3．
8．已知12x是整数，那么正整数x的最小值是 3 ．
试题分析：把12分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．
答案详解：解：∵12＝4×3，
∴12x是整数的正整数x的最小值是3．
所以答案是：3．
9．已知n是正整数，18n是整数，则n的最小值为 2 ．
试题分析：由n为正整数，18n也是正整数，知18n是一个完全平方数，再将18分解质因数，从而得出结果．
答案详解：解：n为正整数，18n也是正整数，
则18n是一个完全平方数，
又18n＝2×32n＝32•（2n），
则2n是一个完全平方数，
所以n的最小值是2．
所以答案是：2．
10．若二次根式3a+5是最简二次根式，则最小的正整数a＝ 2 ．
试题分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
答案详解：解：二次根式3a+5是最简二次根式，则最小的正整数a＝2，
所以答案是：2．
三．二次根式的双重非负性。
11．已知y=2x−1−1−2x+8x，则4x+5y−6的算术平方根为 2 ．
试题分析：根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求出4x+5y−6的值，再根据算术平方根的定义解答．
答案详解：解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥12且x≤12，
∴x=12，
∴y=2x−1−1−2x+8x＝0+0+8×12=4，
∴4x+5y−6=4×12+5×4−6=4，
∴4x+5y−6的算术平方根是2．
所以答案是：2．
12．若y=x−3+6−2x+2，则2x﹣y的算术平方根为 2 ．
试题分析：直接利用二次根式的定义得出x的值，进而得出y的值，再根据算术平方根的定义解答即可．
答案详解：解：由题意得x−3≥06−2x≥0，
解得x＝3，
所以y＝2，
所以2x﹣y＝6﹣2＝4，
所以2x﹣y的算术平方根为2．
所以答案是：2．
13．已知y=1−2x+2x−1+2，则xy= 1 ．
试题分析：直接利用二次根式的性质得出x的值以及y的值，进而得出答案．
答案详解：解：∵y=1−2x+2x−1+2，
∴1﹣2x＝0，
∴x=12，
∴y＝2，
∴xy=12×2＝1．
∴xy=1．
所以答案是：1．
14．已知y＝1+2x−1+1−2x，则2x+3y的平方根为 ±2 ．
试题分析：先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，根据平方根的定义即可得出结论．
答案详解：解：∵2x−1≥01−2x≥0，
∴x=12，
∴y＝1，
∴2x+3y＝2×12+3×1＝4，
∴2x+3y的平方根为±2．
所以答案是：±2．
四．二次根式与完全平方公式。
15．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：5+26=(2+3)+22×3=(2)2+(3)2+22×3=(2+3)28+27=(1+7)+21×7=12+(7)2+2×1×7=(1+7)2
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将7+210化成另一个式子的平方．
【变式探究】
（2）若a+221=(m+n)2且a，m，n均为正整数，求a值．
试题分析：（1）根据所给的方法进行求解即可；
（2）利用所给的方法进行分析，即可求解．
答案详解：解：（1）7+210
＝（2+5）+22×5
＝（2）2+（5）2+22×5
＝（2+5）2；
（2）∵a+221=(m+n)2，
∴a+23×7=（m+n）2，
a+221×1=（m+n）2，
∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．
16．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b2=（m+n2）2＝m2+2n2+2mn2（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b5=（m+n5）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝ m2+5n2 ，b＝ 2mn ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+43=（m+n3）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简5+26= 2+3 ．
试题分析：（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
（3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
答案详解：解：（1）（m+n5）2＝m2+25mn+5n2，
∵a+b5=（m+n5）2，且a、b、m、n均为整数，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
所以答案是：m2+5n2，2mn；
（2）（m+n3）2＝m2+23mn+3n2，
∵x+43=（m+n3）2，
∴2mn=4m2+3n2=x，
又∵x、m、n均为正整数，
∴m=1n=2x=13或m=2n=1x=7，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式=(2)2+26+(3)2
=(2+3)2
=2+3，
所以答案是：2+3．
五．分母有理化。
17．设x=45+3，y=5−3，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x≥yC．x＜yD．x＝y
试题分析：把x的值分母有理化，再比较．
答案详解：解：∵x=4(5−3)−4=3−5＞0，y=5−3＜0．
∴x＞y，
所以选：A．
18．阅读材料：我们已经知道，形如ca±b的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：32−3=3×(2+3)(2−3)(2+3)=6+3322−(3)2=6+334−3=6+33．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：7+43该如何化简？
建立模型：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样(a)2+(b)2=m，a⋅b=n，
那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b），
问题解决：化简：7+43，
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4)2+(3)2=7，4×3=12
∴7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）6+25；
（2）13−410；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4−3，AC=3，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
试题分析：（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（3）根据勾股定理求出即可．
答案详解：解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，
即12+（5）2＝6，1×5=5，
所以：6+25
=12+2×1×5+(5)2
=(1+5)2
＝1+5；
（2）首先把13−410化为13−240，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，
即（5）2+（8）2＝13，5×8=40，
所以13−410
=13−240
=(5)2−2×5×8+(8)2
=(5−8)2
=8−5
＝22−5；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
所以，(3)2+BC2=(4−3)2
所以，BC=16−83=23−2．
六．二次根式的混合运算。
19．（1）3−27+|2−3|−9+(12)2；
（2）40−5110−10．
试题分析：（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；
（2）先把每一个二根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．
答案详解：解：（1）3−27+|2−3|−9+(12)2
=3−27+2−3−3+14
=−1114；
（2）40−5110−10
＝210−102−10
=102．
20．（1）计算：8⋅6−343；
（2）计算：45+|2−5|−(π−3)0．
试题分析：（1）先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化为最简二次根式，去绝对值，算零指数幂，再合并即可．
答案详解：解：（1）原式=48−3×233
＝43−23
＝23；
（2）原式＝35+5−2﹣1
＝45−3．
21．计算：
（1）212−613+348
（2）213×318÷56
（3）(5−2)(5+2)+(3−1)2
试题分析：（1）根据二次根式的加减进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的乘除进行计算即可求解；
（3）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
答案详解：解：（1）原式=2×23−6×33+3×43
=43−23+123
=143；
（2）原式=613×18÷56
=66×65
=6×615
=3655；
（3）原式=5−2+(3−23+1)
=3+4−23
=7−23．
七．二次根式的化简求值。
22．先化简，再求值：x(6−x)+(x+5)(x−5)，其中x=6−2．
试题分析：先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把x=6−2代入化简后的结果，即可求解．
答案详解：解：原式=6x−x2+x2−5=6x−5，
当x=6−2时，
原式=6(6−2)−5=6−23−5=1−23．
23．先化简，再求值：(a−2)(a+2)+a(a−1a)，其中a=−3．
试题分析：先用平方差公式和乘法法则化简，再代入即可．
答案详解：解：原式＝a2﹣2+a2﹣1
＝2a2﹣3，
把a=−3代入得：
原式＝2×（−3）2﹣3
＝2×3﹣3
＝6﹣3
＝3．
24．已知x=2−1，y=2+1，求x2−2xy+y2x2−y2的值．
试题分析：首先将分式因式分解进而将已知代入求出即可．
答案详解：解：∵x=2−1，y=2+1，
∴x2−2xy+y2x2−y2
=(x−y)2(x+y)(x−y)
=x−yx+y
=2−1−2−12−1+2+1
=−222
=−22．
八．二次根式与找规律---钥匙：化成相同的形式
25．观察下列等式：①12−1=2+1；②13−2=3+2；③14−3=4+3；…，请用字母n表示你所发现的律：即1n+1−n= n+1+n（n为正整数） ．
试题分析：根据所给的等式即可求出规律．
答案详解：解：由所给的式子可知：原式=n+1+n（n为正整数）
所以答案是：n+1+n（n为正整数）
26．观察下列等式：
第1个等式：a1=11+2=2−1，
第2个等式：a2=12+3=3−2，
第3个等式：a3=13+2=2−3，
第4个等式：a4=12+5=5−2，
…
按上述规律，请写出第n个等式：an＝ 1n+n+1=n+1−n ．
试题分析：根据所列举等式的所呈现的规律可得答案．
答案详解：解：根据规律可得，第n个等式：an=1n+n+1=n+1−n，
所以答案是：1n+n+1=n+1−n．
27．已知：对于正整数n，有1(n+1)n+nn+1=1n−1n+1，若某个正整数k满足
121+12+132+23+143+34+⋯+1(k+1)k+kk+1=23，则k＝ 8 ．
试题分析：读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成1n−1n+1的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．
答案详解：解：∵121+12+132+23+143+34+⋯+1(k+1)k+kk+1=23，
∴11−12+12−13+13−14+⋯+1k−1k+1=23，
即1−1k+1=23，
∴1k+1=13，
解得k＝8．
所以答案是：8．
28．阅读下列解题过程：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2
14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3；
…
则：
（1）110+9= 10−3 ；1100+99= 10﹣311 ；
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子1n−n−1= n+n−1 ；
（3）利用这一规律计算：（12+1+13+2+14+3+⋯+12009+2008）（2009+1）的值．
试题分析：（1）先分母有理化，再求出即可．
（2）根据已知的算式的结果得出即可．
（3）先根据已知得出（2−1+3−2+4−3+⋯+2009−2008）（2009+1），合并后根据平方差公式求出即可．
答案详解：解：（1）110+9=10−9(10+9)(10−9)=10−9=10−3，
1100+99=100−99(100+99)(100−99)=100−99=10﹣311
所以答案是：10−3，10﹣311．
（2）1n−n−1=n+n−1，
所以答案是：n+n−1．
（3）原式＝（2−1+3−2+4−3+⋯+2009−2008）（2009+1）
＝（2009−1）（2009+1）
＝2009﹣1
＝2008．
九．阅读与新定义。
29．我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．
例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）与（1，12）．
（1）求数对（25，4）的一对“对称数对”；
（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（3，33），求ab的值．
试题分析：（1）根据“对称数对”的定义求解．
（2）根据“对称数对”定义建立关于y的方程求解．
（3）根据“对称数对”的定义建立关于a，b的方程求解．
答案详解：解：（1）由题意得：m=125=15，n=4=2，
∴（25，4）的一对“对称数对”为（15，2）与（2，15）．
（2）由题意，m=13=33，n=y，
∵数对（3，y）的一对“对称数对”的两个数对相同，
∴m＝n，
∴33=y，
∴y=13．
（3）由题意得：1a=3，b=33或1a=33，b=3，
∴a=13，b＝27或a=127，b＝3．
∴ab＝9或ab=19．
30．请阅读下面材料，并解决问题：
海伦——秦九韶公式
海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：
假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积
S=p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式称为海伦公式．
秦九韶（约1202﹣1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．
问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．
试题分析：代入公式，进行二次根式的化简．
答案详解：解：∵AB＝6，AC＝7，BC＝8，
∴a＝8，b＝7，c＝6，
∴S=14×[64×49−(64+49−362)2]=21154．
31．阅读下列材料，并回答问题：
把形如a+bm与a﹣bm(a、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
（1）请你举出一对共轭实数： 3+2 和 3−2 ；
（2）﹣25和25是共轭实数吗？若是，请指出a、b的值；
（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是43，请求出这两个共轭实数．
试题分析：（1）根据题意，可以写出一组共轭实数，本题答案不唯一；
（2）根据共轭实数的定义，可以判断﹣25和25是共轭实数，并写出a和b即可；
（3）根据两个共轭实数的和是10，差的绝对值是43，可以求得a、b、m的值，从而可以写出这两个共轭实数．
答案详解：解：（1）由题意可得，
3+2与3−2是共轭实数，
所以答案是：3+2，3−2；
（2）﹣25和25是共轭实数，a＝0，b＝2；
（3）设这两个共轭实数为a+bm与a﹣bm，
∵两个共轭实数的和是10，差的绝对值是43，
∴（a+bm）+（a﹣bm）＝10，|（a+bm）﹣（a﹣bm）|＝43，
∴2a＝10，|2bm|＝43，
∴a＝5，b＝2或b＝﹣2（舍去），m＝3，
∴这两个共轭实数是5+23，5﹣23．